Küçük iptal teorisi - Small cancellation theory

Grup teorisinin matematik konusunda , küçük iptal teorisi , küçük iptal koşullarını sağlayan grup sunumları tarafından verilen grupları , yani tanımlayıcı ilişkilerin birbirleriyle "küçük örtüşmelerinin" olduğu grupları inceler . Küçük iptal koşulları, grubun cebirsel, geometrik ve algoritmik özelliklerini ifade eder. Yeterince güçlü küçük iptal koşullarını sağlayan sonlu olarak sunulan gruplar , hiperbolik sözcüktür ve Dehn'in algoritması tarafından çözülebilen sözcük problemine sahiptir . Tarski canavarlarının yapımında ve Burnside sorununun çözümünde küçük iptal yöntemleri de kullanılmaktadır .

Tarih

Küçük iptal teorisinin altında yatan bazı fikirler , 1910'larda Max Dehn'in çalışmasına kadar uzanıyor . Dehn, en az iki cinsin kapalı yönlendirilebilir yüzeylerinin temel gruplarının , şimdi Dehn'in algoritması olarak adlandırılan şeyle çözülebilir kelime problemine sahip olduğunu kanıtladı . Kanıtı , hiperbolik düzlemde böyle bir grubun Cayley grafiğini çizmeyi ve Cayley grafiğindeki kapalı bir döngü için Gauss-Bonnet teoremi aracılığıyla eğrilik tahminleri gerçekleştirmeyi içeriyordu ve böyle bir döngünün büyük bir kısmı (yarıdan fazla) içermesi gerektiği sonucuna vardı. tanımlayan bir ilişkidir.

Tartakovski'nin 1949 tarihli bir makalesi, küçük iptal teorisi için doğrudan bir haberciydi: bu makale, küçük iptal tipi varsayımların önemli bir rol oynadığı, karmaşık birleşimsel koşulları karşılayan bir grup sınıfı için kelime probleminin bir çözümünü sağladı. Küçük iptal teorisinin standart versiyonu, bugün kullanıldığı şekliyle, Martin Greendlinger tarafından 1960'ların başlarında, öncelikle "metrik" küçük iptal koşullarıyla ilgilenen bir dizi makalede geliştirildi. Özellikle, Greendlinger , C '(1/6) küçük iptal koşulunu sağlayan sonlu olarak sunulan grupların Dehn'in algoritması tarafından çözülebilen kelime problemine sahip olduğunu kanıtladı . Teori, metrik olmayan küçük iptal koşulları durumunu da ele alan ve birleştirilmiş ücretsiz ürünler ve HNN uzantıları için küçük iptal teorisinin bir versiyonunu geliştiren Lyndon, Schupp ve Lyndon-Schupp'un sonraki çalışmalarında daha da rafine edildi ve resmileştirildi .

Küçük iptal teorisi, teorinin "dereceli" bir versiyonunu geliştiren Alexander Ol'shanskii tarafından daha da genelleştirildi; burada tanımlayıcı ilişkiler kümesinin bir süzme ile donatıldığı ve belirli bir derecenin tanımlayıcı bir bağdaştırıcısının, belirli bir derece ile büyük bir örtüşmeye sahip olmasına izin verildi. daha yüksek bir derecenin akrabasını tanımlamak. Olshaskii, Tarski canavarı da dahil olmak üzere çeşitli "canavar" grupları oluşturmak ve ayrıca büyük tek üslü serbest Burnside gruplarının sonsuz olduğuna dair yeni bir kanıt vermek için kademeli küçük iptal teorisini kullandı (bu sonuç ilk olarak 1968'de Adian ve Novikov tarafından daha fazla kombinatoryal kullanılarak kanıtlandı). yöntemler).

Küçük iptal teorisi , Gromov tarafından 1987'de ufuk açıcı bir monografi olan "Hiperbolik gruplar" da öne sürülen kelime-hiperbolik gruplar teorisi için temel bir dizi örnek ve fikir sağladı .

Ana tanımlar

Aşağıdaki açıklama büyük ölçüde Ch. Lyndon ve Schupp kitabının V.

adet

İzin Vermek

G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)

Bir olmak grup sunumu R ⊆ F ( x ) 'de serbest düşük ve çevrimsel olarak düşük bir kelime kümesi olan serbest grubun F ( x o) örneğin R, bir simetriklestirilir , siklik permütasyon ve tersleri alma altında kapalı olduğunu.

Bir aşikar olmayan serbest düşük kelime u olarak F ( X ) olarak adlandırılan bir parça (*) mevcut ise, iki ayrı elemanlar ile ilgili r ₁ , r, ₂ içinde R sahiptir u maksimal sık ön segment olarak.

Eğer Not tanımlayan ravilerin grubu, bir grup bir sunumudur S simetriklestirilir değildir, her zaman alabilir simetriklestirilir kapatma R ve S burada, R, ve tüm öğeleri siklik permütasyon oluşur S ve S ^-1 . O zaman R simetriktir ve aynı zamanda G'nin bir sunumudur . $G=\langle X\mid S\rangle$ $G=\langla X\orta R\rangle$

Metrik küçük iptal koşulları

Let 0 < λ <1. Sunum (*) Yukarıdaki paragrafta karşılamak için bahsedilen olarak C '( λ ) küçük iptali koşulu zaman eğer U (*) ve benzerleri ile ilgili bir parça U bazılarının bir alt-kelime olan r ∈ R , daha sonra | sen | < λ | r |. Burada | v | bir kelimenin uzunluğudur v .

C ′( λ ) koşuluna bazen bir metrik küçük iptal koşulu denir .

Metrik olmayan küçük iptal koşulları

Let s ≥ 3 olduğu bir tamsayı. Yukarıda tanımlandığı gibi olduğu bir grup sunumu (*) karşılamak için bahsedilen C ( p ) küçük iptal durumunu ise her r ∈ R ve

r=u_{1}\dots u_{m}

nerede u _i parçalardır ve yukarıdaki çarpım yazıldığı gibi serbestçe indirgenirse, m ≥ p . Başka bir deyişle, hiçbir tanımlayıcı bağıntı, p parçadan daha az bir indirgenmiş ürün olarak yazılamaz .

Let q ≥ 3, bir tam sayı. Yukarıda tanımlandığı gibi olduğu bir grup sunumu (*) T (karşılamak için sözü geçen q ) küçük iptal durumunu ise her 3 ≤ t < q ve r, ₁ , ..., r, _t olarak R gibi olduğu R ₁ ≠ r, ₂^-1 , ..., r _t ≠ r ₁⁻¹ o zaman r ₁r ₂ ,..., r _t−1r _t , r _tr ₁ çarpımlarından en az biri yazıldığı gibi serbestçe indirgenir.

Geometrik olarak, T( q ) koşulu, esasen, eğer D , (∗) üzerinden indirgenmiş bir van Kampen diyagramıysa , o zaman D' nin en az üç dereceli her iç köşesinin aslında en az q derecesine sahip olduğu anlamına gelir .

Örnekler

İkinci sıradaki serbest değişmeli grubun standart sunumu olsun . O halde bu sunumun simetrik kapanışı için tek parçalar uzunluk 1'dir. Bu simetrik form , herhangi bir 1 > λ > 1/ için C(4)–T(4) küçük iptal koşullarını ve C ′( λ ) koşulunu karşılar. 4. $G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$
Let burada, k, ≥ 2, standart tanıtım olduğu temel grup cinsi kapalı bir yönlendirilebilen yüzeyinin k . O halde bu sunumun simetrikleştirilmesi için tek parçalar uzunluk 1 olan kelimelerdir ve bu simetrikleştirme C '(1/7) ve C(8) küçük iptal koşullarını karşılar . $G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_ {k},b_{k}]\rangle$
İzin ver . Daha sonra, ters çevirmeye kadar, bu sunumun simetrik versiyonu için her parça , 0 ≤ i , j ≤ 100 olmak üzere, b ⁱ ab ^j veya b ⁱ formuna sahiptir. Bu simetrikleştirme, C ′(1/20) küçük iptal koşulunu karşılar. . $G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle$
Eğer simetrik bir sunum C ′(1/ m ) koşulunu sağlıyorsa, o zaman aynı zamanda C( m ) koşulunu da sağlar.
Let r ∈ F ( x ) içerisinde uygun bir elektrik olmayan bir aşikar olmayan siklik düşük kelime F ( x ) ve izin N ≥ 2. Daha sonra sunum simetriklestirilir kapatma tatmin C (2 N ) ve Cı '(1 / n ) küçük iptal koşulları. $G=\langle X\orta r^{n}\rangle$

Küçük iptal teorisinin temel sonuçları

Greendlinger'ın lemması

Metrik küçük iptal koşuluyla ilgili ana sonuç, genellikle olarak adlandırılan aşağıdaki ifadedir (Bölüm V'deki Teorem 4.4'e bakınız).

Greendlinger lemması : (∗) , 0 ≤ λ ≤ 1/6 olduğunda C ′( λ ) küçük iptal koşulunu sağlayan yukarıdaki gibi bir grup sunumu olsun . Let w ∈ F ( x ) bir aşikar olmayan serbest düşük kelime, olması ağırlık 1 = bölgesindeki G . Daha sonra, bir alt-kelime olduğu hacim arasında ağırlık ve belirleyici relator r ∈ R, öyle ki v aynı zamanda bir alt-kelime olan r ve bu tür

\sol|v\sağ|>\sol(1-3\lambda \sağ)\sol|r\sağ|

λ ≤ 1/6 varsayımının (1 − 3 λ ) ≥ 1/2 olduğunu ima ettiğine dikkat edin , böylece w bir tanımlayıcı bağıntının yarısından fazla bir alt kelime içerir.

Greendlinger lemması, aşağıdaki geometrik ifadenin bir sonucu olarak elde edilir:

Greendlinger en lemmasının varsayımlar altında, izin D azaltılmış olması van Kampen diyagramı üzerinde (*) bu şekilde bir siklik düşük sınır etiketle D en az iki bölge ihtiva eder. Daha sonra, iki farklı bölgeler vardır D ₁ ve D ₂ de D , kendisi için j = 1,2 bölgesi D _j kesiştiği sınır devir ∂ D bölgesinin D uzunluğu daha büyük olan, basit bir yay (1-3 X ) | ∂ D _j |.

Bu sonuç, D için ikili bir diyagram göz önüne alınarak kanıtlanmıştır . Orada bir kombinatoryal eğrilik kavramı tanımlanır (küçük iptal varsayımlarıyla, her iç köşede negatiftir) ve daha sonra Gauss-Bonnet teoreminin kombinatoryal bir versiyonu elde edilir . Greendlinger'in lemması bu analizin bir sonucu olarak kanıtlanmıştır ve bu şekilde kanıt, yüzey grupları durumu için Dehn'in orijinal kanıtının fikirlerini uyandırır.

Dehn'in algoritması

Herhangi bir simetrik grup sunumu (∗) için, aşağıdaki soyut prosedür Dehn algoritması olarak adlandırılır :

X ^±1 üzerinde serbestçe indirgenmiş bir w sözcüğü verildiğinde, aşağıdaki gibi serbestçe indirgenmiş w = w ₀ , w ₁ , w ₂ ,... sözcük dizisini oluşturun .
Diyelim ki w _j zaten inşa edilmiş. Boş kelime ise, algoritmayı sonlandırın. Aksi takdirde, w _j'nin bir v alt sözcüğü içerip içermediğini kontrol edin, öyle ki v aynı zamanda r = vu ∈ R bir tanımlayıcı bağıntısının alt sözcüğüdür, öyle ki | v | > | r |/2. Hayır ise, algoritmayı w _j çıkışıyla sonlandırın . Evet ise, yerine v ile u ^-1 içinde ağırlık _j , o zaman serbest olarak azaltmak Elde edilen serbest indirgenmiş kelime ifade w _{j + 1} ve algoritmanın bir sonraki adıma git.

Her zaman sahip olduğumuza dikkat edin

| w ₀ | > | w ₁ | > | w ₂ | >...

bu, işlemin en fazla | w | adımlar. Ayrıca, tüm kelimeler w _j aynı elemanı temsil eden G olduğu gibi ağırlık ve dolayısıyla boş bir kelime işlem sonlandırıldığında, daha sonra ise ağırlık kimlik elemanı temsil eder , G .

Bir bir simetriklestirilir sunum (*) için söylüyor Dehn algoritması çözer kelime sorun olarak G bir serbest düşük kelime durumunda olduğu tersi de doğru ise, ağırlık olarak F ( x ) bu kelime kimlik elemanı temsil eder , G , ancak ve ancak eğer Dehn algoritması başlayarak ağırlık , boş bir kelime son bulur.

Greendlinger'in önermesi, bir C ′(1/6) sunumu için Dehn'in algoritmasının kelime problemini çözdüğünü ima eder .

Bir ise Cı '(1/6) sunum (*) (her ikisi de olduğu sonlu X ve R, sonlu olan), daha sonra Dehn algoritması gerçek olan belirli olmayan bir algoritma anlamında yineleme teorisi . Bununla birlikte, (∗) sonsuz bir C ′(1/6) sunumu olsa bile , soyut bir prosedür olarak anlaşılan Dehn'in algoritması, X ^±1 jeneratörlerindeki bir kelimenin G'nin kimlik öğesini temsil edip etmediğine yine de doğru bir şekilde karar verir .

asferisite

(*), Bir olsun Cı her (1/6) ya da, daha genel olarak, C (6) tanıtım ' r ∈ R içerisinde uygun bir elektrik değil F ( x ) daha sonra G olan asferik aşağıdaki anlamda. En az bir alt kümesini S ve R ve simetriklestirilir kapak öyle ki S eşittir R . Dolayısıyla, r ve s , S'nin farklı elemanlarıysa, o zaman r , s ^±1'in döngüsel bir permütasyonu değildir ve G için başka bir sunumdur . Let Y olmak sunum kompleksi bu sunum için. Daha sonra, (*) ile ilgili Yukarıdaki varsayımlar altında, (bkz ve teoremi 13.3), Y, a, sınıflandırma alanı için G olduğu, G = π ₁ ( Y ) ve evrensel kapak arasında Y olan , kısaltılabilir . Özellikle bu, G'nin burulma içermediği ve kohomolojik boyutun iki olduğu anlamına gelir . $G=\langle X\mid S\rangle$

Daha genel eğrilik

Daha genel olarak, herhangi bir van Kampen diyagramında çeşitli yerel "eğrilik" türlerini - çok kabaca - köşelerin + yüzlerin - kenarların (Euler'in formülüne göre toplam 2 olması gerekir) ortalama fazlalığı olacak şekilde tanımlamak ve göstermek suretiyle mümkündür. , belirli bir grupta, bunun dahili olarak her zaman pozitif olmayan (veya daha iyisi - negatif) olduğunu, eğriliğin hepsinin sınırda veya yakınında olması gerektiğini gösterin ve böylece problem kelimesine bir çözüm bulmaya çalışın. Ayrıca, aynı sınıra sahip "daha küçük" bir bölge olacak şekilde bir dizi "bölge"yi içermeyen diyagramlara dikkat çekilebilir.

Küçük iptal gruplarının diğer temel özellikleri

(∗) bir C ′(1/6) sunumu olsun. Daha sonra bir eleman g olarak G düzeni vardır , n bir relator vardır, ancak ve ancak> 1 r, içinde R formu r = s ⁿ de F ( x o) bu tür g isimli konjugat için ler de G . Özellikle, eğer R'nin tüm elemanları F ( X )' de uygun güçler değilse , o zaman G burulmasızdır.
(*), Bir sonlu ise Cı '(1/6) sunum, grup G ise kelime hiperbolik .
Eğer R ' ve G sonlu alt kümelerini simetriklestirilir edilir , F ( x eşittir) ile , normal kapaklar içinde F ( X hem de sunum şekildedir) ve tatmin C ' (1/6) durum daha sonra R ' = S . $\langle X\orta R\rangle$ $\langle X\mid S\rangle$
Sonlu bir sunum (∗), C ′(1/6), C ′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3)'ten birini sağlıyorsa –T(6) o zaman G grubu çözülebilir kelime problemine ve çözülebilir eşlenik problemine sahiptir.

Uygulamalar

Küçük iptal teorisinin uygulama örnekleri şunları içerir:

Değişen düğüm grupları için eşlenik problemin çözümü (bkz. Bölüm V, Teorem 8.5 in ), bu tür düğümler için arttırılmış düğüm gruplarının C(4)–T(4) sunumlarını kabul ettiğini göstererek.
Sonlu olarak sunulan C '(1/6) küçük iptal grupları, kelime-hiperbolik grupların temel örnekleridir . Kelime hiperbolik gruplarının eşdeğer karakterizasyonlarından biri, Dehn'in algoritmasının kelime problemini çözdüğü sonlu sunumları kabul edenlerdir .
Her parçanın bir uzunluğuna sahip olduğu sonlu C(4)–T(4) sunumları tarafından verilen sonlu sunulmuş gruplar CAT(0) gruplarının temel örnekleridir : böyle bir sunum için sunum kompleksinin evrensel kapağı bir CAT(0) karesidir karmaşık.
Küçük iptal teorisinin erken uygulamaları, çeşitli gömülebilirlik sonuçlarının elde edilmesini içerir. Örnekler arasında, Sacerdote ve Schupp'ın en az üç üreteci olan her tek-ilişkili grubun SQ-evrensel olduğunun kanıtına sahip 1974 tarihli bir makalesi ve her sayılabilir grubun bir basit grup tarafından oluşturulan basit bir gruba gömülebileceğinin bir kanıtı olan 1976 tarihli bir Schupp makalesi sayılabilir. ikinci dereceden eleman ve üçüncü dereceden bir eleman.
Eliyahu Rips'e bağlı olarak Rips yapısı , kelime hiperbolik gruplarının çeşitli alt grup özelliklerine ilişkin zengin bir karşı-örnek kaynağı sağlar : Rastgele sonlu olarak sunulan bir grup Q verildiğinde , yapı K'nin iki olduğu kısa bir tam dizi üretir. oluşturulur ve burada G burulmadan bağımsızdır ve sonlu bir C ′(1/6) sunumu ile verilir (ve dolayısıyla G kelime hiperboliktir). Yapı , alt grup üyelik problemi, üretim problemi ve sıralama problemi dahil olmak üzere, kelime hiperbolik grupları için çeşitli algoritmik problemlerin çözülemezliğinin kanıtlarını verir . Ayrıca, birkaç istisna dışında, Rips yapısındaki K grubu sonlu olarak sunulabilir değildir . Bu , sonlu olarak oluşturulan ancak sonlu olarak sunulamayan alt grupları içeren tutarlı olmayan kelime hiperbolik gruplarının var olduğu anlamına gelir . $1\to K\to G\to Q\to 1$
Küçük iptal yöntemleri (sonsuz sunumlar için) Ol'shanskii tarafından Tarski canavarı da dahil olmak üzere çeşitli "canavar" grupları oluşturmak ve ayrıca büyük tek üslü ücretsiz Burnside gruplarının sonsuz olduğuna dair bir kanıt vermek için kullanıldı (benzer bir sonuç başlangıçta tarafından kanıtlandı. Adian ve Novikov tarafından 1968'de daha kombinatoryal yöntemler kullanılarak). Ol'shanskii tarafından bu yöntemler kullanılarak oluşturulan diğer bazı "canavar" grupları şunları içerir: sonsuz basit bir Noetherian grubu ; her uygun alt grubun asal sıraya sahip olduğu ve aynı sıradaki herhangi iki alt grubun eşleniği olduğu sonsuz bir grup; her uygun alt grubun döngüsel olduğu bir isimlendirilemez grup ; ve diğerleri.
Bowditch , sürekli olarak birçok yarı-izometri tipi iki üretici grup bulunduğunu kanıtlamak için sonsuz küçük iptal sunumlarını kullandı .
Thomas ve Velickovic böylece bir soruyu yanıtlarken, olmayan iki homeomorphic asimptotik koniler ile sonlu üretilmiş grubunu oluşturmak için küçük iptal teorisini kullanılan Gromov .
McCammond ve Wise, Rips yapısının yarattığı zorlukların nasıl üstesinden gelineceğini ve tutarlı (yani, sonlu olarak oluşturulmuş tüm alt grupların sonlu olarak sunulduğu) ve dahası, yerel olarak yarı dışbükey (yani, tüm sonlu olarak oluşturulmuş alt grupların olduğu yer) küçük iptal gruplarının büyük sınıflarının nasıl üretileceğini gösterdi. yarı dışbükeydir).
Küçük iptal yöntemleri, çeşitli "jenerik" veya "rastgele" sonlu olarak sunulan grupların modellerinin incelenmesinde önemli bir rol oynar (bakınız ). Sabit bir sayı, özellikle de m jeneratörler ≥ 2 ve sabit bir sayı t tanımlayan ilişkileri ≥ 1 ve herhangi X <1, bir rastgele m -jeneratör t -relator grubu tatmin C '( λ ), küçük iptali koşulu. Tanımlayıcı ilişkilerin sayısı t sabit olmasa bile (2 m − 1) ^{εn olarak büyüse bile} (burada ε ≥ 0, ^Gromov'un "rastgele" grupların yoğunluk modelindeki sabit yoğunluk parametresidir ve tanımlayıcı ilişkilerin uzunluğu ^nerededir? ), o zaman bir ε -rastgele grup, ε < 1/12 sağlanan C ′(1/6) koşulunu karşılar . $n\to \infty$
Gromov , (uygun anlamda) sonsuz bir genişletici dizisini "içeren" ve bu nedenle Hilbert uzayına tek tip bir yerleştirmeyi kabul etmeyen sonlu olarak sunulan bir grubun varlığını kanıtlamak için bir grafiğe göre küçük iptal teorisinin bir versiyonunu kullandı . Bu sonuç, Novikov varsayımına karşı-örnekler aramak için bir yön (şu ana kadar mevcut olan tek yön) sağlar .
Osin , nispeten hiperbolik gruplar için Thurston'ın hiperbolik Dehn cerrahi teoreminin bir analogunu elde etmek için küçük iptal teorisinin bir genelleştirmesini kullandı .

genellemeler

Birleştirilmiş serbest ürünlerin ve HNN uzantılarının bölüm grupları için küçük iptal teorisinin bir versiyonu Sacerdote ve Schupp'un makalesinde ve ardından Lyndon ve Schupp'ın kitabında geliştirildi.
Yırtık ve Ol'shanskii ravilerin seti tabakaların artan bir birlik (küçük bir iptal koşulunu sağlayan her tabakada) olarak filtrelenir küçük iptal teorisinin "sınıflandırılmış" versiyonunu geliştirdi ve relator için r bazı tabakadan ve bir relator ler den daha yüksek bir katman, örtüşmelerinin |'e göre küçük olması gerekir. s | ancak | ile ilgili olarak büyük olmasına izin verilir. r |. Bu teori, Ol'shanskii'nin Tarski canavarı da dahil olmak üzere çeşitli "canavar" grupları oluşturmasına ve büyük tek üslü serbest Burnside gruplarının sonsuz olduğuna dair yeni bir kanıt vermesine izin verdi .
Ol'shanskii ve Delzant daha sonra kelime hiperbolik gruplarının bölümleri için küçük iptal teorisinin geliştirilmiş versiyonlarını geliştirdiler .
McCammond, küçük iptal teorisinin daha yüksek boyutlu bir versiyonunu sağladı.
McCammond ve Wise, küçük iptal sunumları üzerinden van Kampen diyagramlarının geometrisine ilişkin standart küçük iptal teorisinin (Greendlinger'in lemması gibi) temel sonuçlarını önemli ölçüde daha ileriye taşıdı .
Gromov , (uygun anlamda) sonsuz bir genişletici dizisini "içeren" ve bu nedenle Hilbert uzayına tek tip bir yerleştirmeyi kabul etmeyen sonlu olarak sunulan bir grubun varlığını kanıtlamak için bir grafiğe göre küçük iptal teorisinin bir versiyonunu kullandı .
Osin, nispeten hiperbolik grupların payları için küçük iptal teorisinin bir versiyonunu verdi ve bunu Thurston'ın hiperbolik Dehn cerrahi teoreminin nispeten hiperbolik bir genellemesini elde etmek için kullandı .

Temel referanslar

Roger Lyndon ve Paul Schupp , Kombinatoryal grup teorisi . 1977 baskısının yeniden basımı. Matematikte Klasikler. Springer-Verlag , Berlin, 2001. ISBN 3-540-41158-5 .
Alexander Yu. Olʹshanskii, Gruplar halinde ilişkileri tanımlamanın geometrisi. Yu tarafından 1989 Rusça orijinalinden çevrilmiştir. A. Bakhturin. Matematik ve Uygulamaları (Sovyet Dizisi), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 .
Ralph Strebel, Ek. Küçük iptal grupları. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), s. 227–273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN 0-8176-3508-4 .
Milé Krajčevski, Uçağın döşemeleri, hiperbolik gruplar ve küçük iptal koşulları. Amerikan Matematik Derneği Anıları, cilt. 154 (2001), no. 733.

Languages

In other projects