İkinci sayılabilir uzay - Second-countable space

Olarak topoloji , bir ikinci sayılabilir alanı da adlandırılan, tamamen ayrılabilir alan , a, topolojik alan olan bir topoloji sahip sayılabilir taban . Daha açık bir topolojik uzay bazı sayılabilir koleksiyon mevcutsa ikinci sayılabilir olduğu bir açık alt kümelerini herhangi açık alt kümesi olacak şekilde bazı alt ailesinin elemanlarının bir birlik olarak yazılabilir . İkinci sayılabilir bir uzayın, ikinci sayılabilirlik aksiyomunu sağladığı söylenir . Diğer sayılabilirlik aksiyomları gibi , ikinci sayılabilir olma özelliği, bir uzayın sahip olabileceği açık kümelerin sayısını kısıtlar. ${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$

Matematikteki birçok " iyi huylu " uzay ikinci sayılabilir. Örneğin, Öklid uzayı ( R ⁿ ) olağan topolojisi ile ikinci sayılabilir. Olağan taban rağmen açık topları olan sayılamayan , tek olan tüm açık topları koleksiyonuna kısıtlayabilir rasyonel merkezler rasyonel koordinatları var Optirk. Bu kısıtlı küme sayılabilir ve yine de bir temel oluşturur.

Özellikler

İkinci sayılabilirlik, birinci sayılabilirlikten daha güçlü bir kavramdır . Her noktanın sayılabilir bir yerel tabanı varsa, bir boşluk ilk sayılabilir . Bir topoloji için bir zemin ve bir noktaya Verilen x , içeren tüm temel standartlar kümesi x formları yerel bir taban x . Bu nedenle, eğer bir topoloji için sayılabilir bir tabana sahipseniz, o zaman her noktada sayılabilir bir yerel tabana sahip olursunuz ve dolayısıyla her ikinci sayılabilir uzay aynı zamanda bir birinci sayılabilir uzaydır. Bununla birlikte, herhangi bir sayılamayan ayrık uzay birinci sayılabilir ancak ikinci sayılabilir değildir.

İkinci sayılabilirlik, diğer bazı topolojik özellikleri ifade eder. Spesifik olarak, her ikinci sayılabilir uzay ayrılabilir (sayılabilir bir yoğun altkümeye sahiptir) ve Lindelöf'tür (her açık örtünün sayılabilir bir alt örtüsü vardır). Ters etkiler geçerli değildir. Örneğin , gerçek çizgideki alt limit topolojisi birinci sayılabilir, ayrılabilir ve Lindelöf'tür, ancak ikinci sayılabilir değildir. İçin metrik boşluklar , ancak, ayrılabilir, ikinci sayılabilir ve Lindelöf olma özellikleri tüm eşdeğerdir. Bu nedenle, gerçek hattaki alt limit topolojisi ölçülebilir değildir.

İkinci sayılabilir uzaylarda - metrik uzaylarda olduğu gibi - kompaktlık , sıralı kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık eşdeğer özelliklerdir.

Urysohn'un ölçümleme teoremi , her saniye sayılabilir, Hausdorff düzenli uzayının ölçülebilir olduğunu belirtir . Bundan, bu tür her uzayın parakompakt olduğu kadar tamamen normal olduğu sonucu çıkar . İkinci sayılabilirlik bu nedenle topolojik uzayda oldukça kısıtlayıcı bir özelliktir ve ölçülebilirliği ifade etmek için yalnızca bir ayırma aksiyomu gerektirir.

Diğer özellikler

• İkinci sayılabilir uzayın sürekli, açık bir görüntüsü ikinci sayılabilirdir.
• İkinci sayılabilir uzayın her alt uzayı ikinci sayılabilirdir.
• Kesirler ikinci sayılabilir boşlukların ikinci sayılabilir olmak zorunda değildir; ancak, açık bölümler her zaman vardır.
• İkinci sayılabilir bir uzayın herhangi bir sayılabilir ürünü ikinci sayılabilirdir, ancak sayılamayan ürünlerin olması gerekmez.
• İkinci sayılabilir topolojisi alanı vardır önem düzeyi daha az ya da eşit , c ( süreklilik önem düzeyi ).${\görüntüleme stili T_{1}}$
• İkinci sayılabilir uzay için herhangi bir taban, hala bir taban olan sayılabilir bir alt aileye sahiptir.
• İkinci sayılabilir bir uzayda ayrık açık kümelerin her koleksiyonu sayılabilir.

Örnekler ve karşı örnekler

• Ayrık sayılabilir birliği düşünün . Aralıkların sol uçlarını tanımlayarak bir denklik ilişkisi ve bir bölüm topolojisi tanımlayın - yani, 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k vb. tanımlayın. X , ikinci sayılabilir uzayların sayılabilir bir birleşimi olarak ikinci sayılabilir. Bununla birlikte, X /~ tanımlanan noktaların kosetinde ilk sayılabilir ve dolayısıyla ikinci sayılabilir değildir.${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$
• Yukarıdaki uzay, bariz metrikle donatılmış aynı denklik sınıfları kümesine homeomorfik değildir: yani, aynı aralıktaki iki nokta için düzenli Öklid mesafesi ve aynı aralıkta olmayan noktalar için sol noktaya olan mesafelerin toplamı - - yukarıdaki alandan kesinlikle daha zayıf bir topoloji sağlar. Ayrılabilir bir metrik uzaydır (rasyonel noktalar kümesini düşünün) ve bu nedenle ikinci sayılabilir.
• Uzun çizgi ikinci sayılabilir değil, ama birinci sayılabilir olduğunu.

Notlar

Referanslar

• Stephen Willard, General Topology , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking ve Gail S. Young (1961). Topoloji. Düzeltilmiş yeniden baskı, Dover, 1988. ISBN  0-486-65676-4