Eyer noktası - Saddle point
Gelen matematik bir eyer noktası veya minimaks noktası a, nokta ile yüzey arasında bir fonksiyonu grafiği eğimleri dikey yönde (türevleri) sıfır, (a olan kritik nokta ), ancak bir olmadığı yerel ekstrem fonksiyonunun. Eyer noktasına bir örnek, bir eksenel yön boyunca (tepeler arasında) göreli bir minimuma ve kesişme ekseni boyunca göreli bir maksimuma sahip bir kritik nokta olduğu zamandır. Ancak, bir eyer noktasının bu biçimde olması gerekmez. Örneğin, işlevin kritik bir noktası vardır, çünkü ne göreli bir maksimum ne de göreli bir minimumdur, ancak -yönünde bir göreli maksimum ya da göreli minimuma sahip değildir .
Adı, iki boyutlu prototip örneğinin , bir binicilik eyerine veya iki tepe arasında bir yer şekli eyeri oluşturan bir dağ geçidine benzeyen bir yönde yukarı kıvrılan ve farklı bir yönde aşağı doğru kıvrılan bir yüzey olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Açısından hat çizgileri , iki boyutta semer noktası eyer noktasının değerine karşılık gelen çevriti kendini kesişecek şekilde göründüğü bir kontur grafik ya da iz yol açar.
Matematiksel tartışma
İki gerçek değişkenin gerçek değerli bir F ( x , y ) fonksiyonunun belirli bir durağan noktasının bir eyer noktası olup olmadığını kontrol etmek için basit bir kriter , fonksiyonun Hess matrisini o noktada hesaplamaktır : Hessian belirsiz ise , o zaman bu nokta bir eyer noktasıdır. Örneğin , durağan noktadaki fonksiyonun Hessian matrisi matristir.
hangisi belirsiz. Bu nedenle, bu nokta bir eyer noktasıdır. Bu kriter sadece yeterli bir koşul verir. Örneğin, nokta , fonksiyon için bir eyer noktasıdır, ancak bu fonksiyonun orijindeki Hessian matrisi, belirsiz olmayan boş matristir .
En genel terimlerle, düzgün bir fonksiyon için bir eyer noktası ( grafı bir eğri , yüzey veya hiperyüzey olan ), eğri/yüzey/vb. gibi durağan bir noktadır. içerisinde bölgesinde bu noktanın herhangi bir yan tarafına tamamen değil teğet alanı bu noktada.
Bir boyutta bir etki, bir eyer noktası olan nokta , bir hem de sabit bir nokta ve bir bükülme noktası . Bir bükülme noktası olduğu için yerel bir ekstremum değildir .
eyer yüzeyi
Bir eyer yüzeyi , bir veya daha fazla eyer noktası içeren pürüzsüz bir yüzeydir .
İki boyutlu eyer yüzeylerin klasik örnekleri Öklid alan ikinci sıra yüzeyler, hiperbolik paraboloit (genellikle "olarak adlandırılır ve sele yüzey" veya "standart tel yüzeyi") bir tabakanın hiperboloit . Pringles patates cipsi veya gevrek bir hiperbolik paraboloit şeklinde bir günlük örneğidir.
Eyer yüzeyleri, onları pozitif Gauss eğriliğine sahip dışbükey/eliptik yüzeylerden ayıran negatif Gauss eğriliğine sahiptir. Klasik bir üçüncü dereceden eyer yüzeyi maymun eyeridir .
Örnekler
Sürekli uzayda tanımlanan iki oyunculu sıfır toplamlı bir oyunda denge noktası bir eyer noktasıdır.
İkinci dereceden bir lineer otonom sistem için, karakteristik denklemin bir pozitif ve bir negatif gerçek öz değeri varsa, kritik bir nokta bir eyer noktasıdır .
Eşitlik kısıtlamalarına tabi optimizasyonda, birinci dereceden koşullar Lagrange'ın bir eyer noktasını tanımlar .
Diğer kullanımlar
Olarak dinamik sistemleri dinamik bir verdiği takdirde, türevlenebilir harita f ve ayırıcı sadece o zaman noktası hiperbolik ƒ n (burada n, noktasının süresidir) (kompleks) üzerinde herhangi bir özde˘gere sahip birim çember hesaplanan zaman noktada. Daha sonra eğer noktası bir hiperbolik periyodik noktası olan kararlı ve kararsız manifoldu bir olması boyutu sıfır değildir.
Bir matrisin eyer noktası, hem sütunundaki en büyük öğe hem de satırındaki en küçük öğe olan bir öğedir.
Ayrıca bakınız
- Eyer noktası yöntemi , Laplace'ın integrallere yaklaşma yönteminin bir uzantısıdır.
- aşırı
- türev testi
- hiperbolik denge noktası
- minimaks teoremi
- Maks-min eşitsizliği
- Maymun eyeri
- Dağ geçidi teoremi
Referanslar
alıntılar
Kaynaklar
- Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus iki: doğrusal ve doğrusal olmayan fonksiyonlar , Berlin: Springer-Verlag, s. 375 , ISBN 0-387-97388-5
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometri ve Hayal Gücü (2. baskı), New York, NY: Chelsea , ISBN 978-0-8284-1087-8
- von Petersdorff, Tobias (2006), "Otonom Sistemlerin Kritik Noktaları" , Bilim Adamları ve Mühendisler için Diferansiyel Denklemler (Matematik 246 ders notları)
- Widder, DV (1989), Advanced Calculus , New York, NY: Dover Publications, s. 128, ISBN 0-486-66103-2
- Agarwal, A., Nash Dengesi Çalışması (Ders Notları)
daha fazla okuma
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometri ve Hayal Gücü (2. baskı). Chelsea. ISBN'si 0-8284-1087-9.
Dış bağlantılar
- İlgili medya Eyer noktası Wikimedia Commons