Sağlam vücut - Rigid body

Katı bir cismin konumu, kütle merkezinin konumu ve tutumu ile belirlenir (toplamda en az altı parametre).

Olarak fizik , bir rijit gövde (aynı zamanda olarak da bilinen katı nesne ) katı olan vücut içinde deformasyon sıfırdır ya da küçük böylece göz ardı edilebilir. Uzaktan verilen iki arasındaki nokta , bir rijit cisim üzerinde bağımsız dış ait zaman içinde sabit kalır kuvvetleri veya momentleri üzerinde uyguladı. Sert bir gövde genellikle kabul edilir sürekli dağıtım bölgesinin kütlesi .

Özel görelilik araştırmasında, tamamen katı bir cisim mevcut değildir; ve cisimler ancak ışık hızına yakın hareket etmiyorlarsa rijit kabul edilebilirler . Gelen kuantum mekaniği , katı bir cisim genellikle bir koleksiyon olarak düşünülür noktası kitleler . Örneğin, moleküller (nokta kütlelerinden oluşur: elektronlar ve çekirdekler) genellikle katı cisimler olarak görülür (moleküllerin katı rotorlar olarak sınıflandırılmasına bakınız ).

Kinematik

Doğrusal ve açısal konum

Katı bir cismin konumu, kendisini oluşturan tüm parçacıkların konumudur . Bu konumun tanımını basitleştirmek için, cismin katı olduğu, yani tüm parçacıklarının birbirine göre aynı mesafeyi koruduğu özelliğinden yararlanıyoruz. Cisim rijit ise, en az üç doğrusal olmayan parçacığın konumunu tanımlamak yeterlidir . Bu, seçilen üç parçacığa göre zamanla değişmeyen konumlarının bilinmesi koşuluyla, diğer tüm parçacıkların konumunu yeniden yapılandırmayı mümkün kılar . Bununla birlikte, tipik olarak farklı, matematiksel olarak daha uygun, ancak eşdeğer bir yaklaşım kullanılır. Tüm vücudun konumu şu şekilde temsil edilir:

  1. doğrusal konum veya konum spesifik bir referans noktası olarak seçilen gövde, gövdenin parçacıkların biri, yani pozisyon, (tipik olarak çakışan kütle merkezi ya da ağırlık merkezi ile birlikte, vücudun)
  2. açısal konumu (aynı zamanda yönlendirme veya tutum gövdesinin).

Böylece, katı bir cismin konumu iki bileşene sahiptir: sırasıyla doğrusal ve açısal . Aynısı , doğrusal ve açısal hız , ivme , momentum , dürtü ve kinetik enerji gibi katı bir cismin hareketini tanımlayan diğer kinematik ve kinetik nicelikler için de geçerlidir .

Doğrusal konum bir ile temsil edilebilir vektör rasgele bir referans noktasında kuyruk ile alan (kökeni seçilmiş bir koordinat sistemi ) ve katı gövdenin üzerinde ilgi gelişigüzel bir noktası üzerindeki ucu, tipik olarak denk kütle merkezi ya da merkez . Bu referans noktası , gövdeye sabitlenmiş bir koordinat sisteminin orijinini tanımlayabilir .

Üç Euler açısı kümesi , bir kuaterniyon veya bir yön kosinüs matrisi ( dönme matrisi olarak da adlandırılır) dahil olmak üzere, katı bir cismin oryantasyonunu sayısal olarak tanımlamanın birkaç yolu vardır . Tüm bu yöntemler aslında , gövdeye göre sabit bir yönelime (yani gövdeyle birlikte dönen) sahip bir temel kümenin (veya koordinat sisteminin ) yönünü, hareketin hareket ettiği başka bir temel kümeye (veya koordinat sistemine) göre tanımlar . rijit cisim görülür. Örneğin, bir uçağa göre sabit oryantasyonu olan bir temel seti , b 1'in kanadın kiriş hattına paralel ve ileriye doğru yönlendirileceği şekilde üç ortogonal birim vektörü b 1 , b 2 , b 3 kümesi olarak tanımlanabilir , b 2 simetri düzlemine diktir ve sağa doğru yönlendirilir ve b 3 çapraz çarpım tarafından verilir .

Genel olarak, katı bir cisim hareket ettiğinde hem konumu hem de yönelimi zamanla değişir. Kinematik anlamda, bu değişiklikler sırasıyla öteleme ve döndürme olarak adlandırılır . Gerçekten de, katı bir cismin konumu, varsayımsal bir referans konumundan başlayarak cismin varsayımsal bir ötelenmesi ve dönüşü (roto-çeviri) olarak görülebilir (hareket sırasında cismin fiilen aldığı bir konumla mutlaka çakışması gerekmez).

Doğrusal ve açısal hız

Hız ( doğrusal hız olarak da adlandırılır ) ve açısal hız , bir referans çerçevesine göre ölçülür .

Katı bir cismin doğrusal hızı , doğrusal konumunun zaman değişim hızına eşit bir vektör miktarıdır . Böylece, vücuda sabitlenmiş bir referans noktasının hızıdır. Tamamen öteleme hareketi sırasında (dönme olmaksızın hareket), katı bir cisim üzerindeki tüm noktalar aynı hızla hareket eder . Bununla birlikte, hareket döndürmeyi içerdiğinde, vücut üzerindeki herhangi iki noktanın anlık hızı genellikle aynı olmayacaktır. Dönen bir cismin iki noktası, ancak bu noktalar anlık dönme eksenine paralel bir eksen üzerinde bulunuyorsa aynı anlık hıza sahip olacaktır .

Açısal hız ,katı cismin yönünün değiştiği açısal hızı ve etrafında döndüğüanlık ekseni tanımlayanbir vektör miktarıdır(bu anlık eksenin varlığı, Euler'in dönme teoremi tarafından garanti edilir). Katı bir cisim üzerindeki tüm noktalar, her zamanaynı açısal hıza sahiptir . Tamamen dönme hareketi sırasında, anlık dönme ekseni üzerinde bulunanlar hariç, vücut üzerindeki tüm noktalar pozisyon değiştirir. Yönlendirme ve açısal hız arasındaki ilişki, konum ve hız arasındaki ilişkiye doğrudan benzemez. Açısal hız,oryantasyon değişiminin zaman oranı değildir, çünküaçısal hızı elde etmek için farklılaştırılabilecek bir oryantasyon vektörü gibi bir kavram yoktur.

Kinematik denklemler

Açısal hız için toplama teoremi

N referans çerçevesindeki bir B katı cismin açısal hızı, bir rijit cismin D açısal hızının N'deki açısal hızının ve B'nin D'ye göre açısal hızının toplamına eşittir:

Bu durumda, rijit gövdeler ve referans çerçeveleri ayırt edilemez ve tamamen değiştirilebilir.

Konum için toplama teoremi

Herhangi bir P, Q ve R noktası kümesi için, P'den R'ye konum vektörü, P'den Q'ya konum vektörünün ve Q'dan R'ye konum vektörünün toplamıdır:

Hızın matematiksel tanımı

N referans çerçevesindeki P noktasının hızı, O'dan P'ye konum vektörünün N cinsinden zamana göre türevi olarak tanımlanır :

burada O, N referans çerçevesinde sabitlenmiş herhangi bir rastgele noktadır ve d/d t operatörünün solundaki N , türevin N referans çerçevesinde alındığını gösterir. O olduğu sürece, sonuç O seçiminden bağımsızdır. N'de sabitlendi.

İvmenin matematiksel tanımı

N referans çerçevesindeki P noktasının ivmesi , hızının N cinsinden zamana göre türevi olarak tanımlanır :

Sert bir cisim üzerine sabitlenmiş iki noktanın hızı

B'nin N referans çerçevesinde açısal bir hıza sahip olduğu, katı bir B gövdesi üzerine sabitlenmiş iki P ve Q noktası için, Q'nun N'deki hızı, P'nin N'deki hızının bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir:

P'den Q'ya konum vektörü nerede.

Sert bir gövdeye sabitlenmiş iki noktanın ivmelenmesi

N cinsinden rijit bir cisim üzerine sabitlenmiş iki noktanın Hızı denklemini zamana göre farklılaştırarak, rijit bir B cismine sabitlenmiş bir Q noktasının referans çerçevesindeki N ivmesi şu şekilde ifade edilebilir:

N referans çerçevesinde B'nin açısal ivmesi nerede .

Katı bir cisim üzerine sabitlenmiş iki noktanın açısal hızı ve ivmesi

Yukarıda bahsedildiği gibi , sabit bir B gövdesi üzerindeki tüm noktalar, sabit bir N referans çerçevesinde aynı açısal hıza ve dolayısıyla aynı açısal ivmeye sahiptir.

Katı cisim üzerinde hareket eden bir noktanın hızı

B, N referans çerçevesinde hareket ederken, R noktası B katı gövdesinde hareket ediyorsa, R'nin N içindeki hızı

Burada Q, ilgilenilen anda R ile anında çakışan B'de sabit olan noktadır. Bu bağıntı genellikle katı bir cisim üzerine sabitlenmiş iki noktanın Hız ilişkisi ile birleştirilir .

Sert bir cisim üzerinde hareket eden bir noktanın ivmesi

B gövdesi N çerçevesinde hareket ederken B gövdesinde hareket eden R noktasının N referans çerçevesindeki ivmesi şu şekilde verilir:

burada Q, ilgilenilen anda R ile anında çakışan B'de sabitlenmiş noktadır. Bu denklem genellikle katı bir gövdeye sabitlenmiş iki noktanın İvmesi ile birleştirilir .

Diğer miktarlar

Eğer Cı- yerel kökeni koordinat sistemi L , gövdeye bağlı,

  • mekansal ya da büküm hızlanma katı bir gövde olarak tanımlanmaktadır mekansal hızlanma ve C (yukarıdaki madde hızlanmasına karşı);

nerede

  • yerel koordinat sistemi L cinsinden cismin referans noktasına göre noktanın/parçacığın konumunu temsil eder (cismin katılığı bunun zamana bağlı olmadığı anlamına gelir)
  • olan yönelim matrisi, bir ortogonal matris temsil belirleyici 1, yönlendirme sistemi yerel koordinat arasında (açısal konumu) L bir koordinat sisteminin rastgele referans yönüne göre, G . Bu matrisi, her sütunda bir tane olmak üzere, L eksenlerinin G'ye göre yönelimini tanımlayan üç dik birim vektör olarak düşünün .
  • katı cismin açısal hızını temsil eder
  • noktanın/parçacığın toplam hızını temsil eder
  • noktanın/parçacığın toplam ivmesini temsil eder
  • katı cismin açısal ivmesini temsil eder
  • noktanın/parçacığın uzaysal ivmesini temsil eder
  • katı cismin uzaysal ivmesini temsil eder (yani L' nin orijinin uzaysal ivmesi ).

2B'de açısal hız bir skalerdir ve matris A(t) basitçe , zaman içindeki açısal hızın integrali olan bir açı ile xy- düzleminde bir dönüşü temsil eder .

Araçlar , yürüyen insanlar vb. genellikle hız yönündeki değişikliklere göre dönerler: kendi yönelimlerine göre ileri doğru hareket ederler. Daha sonra, vücut bir düzlemde kapalı bir yörüngeyi takip ediyorsa, yörüngenin bir kez tamamlandığı bir zaman aralığı boyunca entegre edilen açısal hız, bir tam sayı çarpı 360°'dir. Bu tam sayı, hızın orijine göre sargı sayısıdır . Bir çokgenin köşeleriyle ilişkili döndürme miktarını karşılaştırın .

kinetik

Vücuda rijit bir şekilde bağlı olan herhangi bir nokta, cismin doğrusal hareketini tanımlamak için referans noktası (koordinat sistemi L'nin başlangıcı ) olarak kullanılabilir (doğrusal konum, hız ve ivme vektörleri seçime bağlıdır).

Ancak uygulamaya bağlı olarak uygun bir seçim şunlar olabilir:

Kütle merkezi referans noktası olarak kullanıldığında:

  • (Doğrusal) momentum , dönme hareketinden bağımsızdır. Herhangi bir zamanda, katı cismin toplam kütlesi çarpı öteleme hızına eşittir.
  • Açısal momentum kütle merkezine göre çevirisiz aynıdır: Herhangi bir zamanda eşit eylemsiz tensör kez açısal hızı. Açısal hız, cismin asal eksenleriyle çakışan bir koordinat sistemine göre ifade edildiğinde , açısal momentumun her bir bileşeni, bir atalet momentinin (atalet tensörünün temel bir değeri) çarpımının karşılık gelen bileşeninin bir ürünüdür. açısal hız; Tork eylemsiz tensör katıdır açısal ivme .
  • Dış kuvvetlerin yokluğunda olası hareketler, sabit hızda öteleme, sabit bir ana eksen etrafında sabit dönüş ve ayrıca torksuz presesyondur .
  • Katı cisim üzerindeki net dış kuvvet her zaman toplam kütle çarpı öteleme ivmesine eşittir (yani Newton'un ikinci yasası , net dış tork sıfır olmadığında ve/veya cisim döndüğünde bile öteleme hareketi için geçerlidir).
  • Toplam kinetik enerji , basitçe öteleme ve dönme enerjisinin toplamıdır .

Geometri

Birinden diğerine doğru dönüş yoksa, iki katı cismin farklı (kopya değil) olduğu söylenir . Sert bir gövde olarak adlandırılır , kiral olarak ise ayna görüntüsü ya da hiç sahip olmadığını, diğer bir deyişle bu anlamda farklı olan simetri veya simetri grubu sadece uygun rotasyonları içerir. Tersi durumda bir nesneye akiral denir: aynadaki görüntü bir kopyadır, farklı bir nesne değil. Böyle bir nesnenin bir simetri düzlemi olabilir, ancak zorunlu olarak değil: nesnenin görüntüsünün döndürülmüş bir versiyon olduğu bir yansıma düzlemi de olabilir. Sonuncusu S 2n için geçerlidir , ki bu durumda n = 1 inversiyon simetrisidir.

(Sert) dikdörtgen şeffaf bir tabaka için, ters simetri, bir tarafta dönme simetrisi olmayan bir görüntüye ve diğer tarafta, parıldayan üst taraftaki görüntü baş aşağı olacak şekilde bir görüntüye sahip olmaya karşılık gelir. İki durumu ayırt edebiliriz:

  • görüntünün bulunduğu sayfa yüzeyi simetrik değildir - bu durumda iki taraf farklıdır, ancak ayna düzlemine dik eksen etrafında 180° döndürüldükten sonra nesnenin ayna görüntüsü aynıdır.
  • görüntünün bulunduğu sayfa yüzeyinin bir simetri ekseni vardır - bu durumda iki taraf aynıdır ve yine ayna düzlemine dik eksen etrafında 180° döndürüldükten sonra nesnenin ayna görüntüsü de aynıdır.

Baştan sona görüntüye sahip bir sayfa akiraldir. Yine iki durumu ayırt edebiliriz:

  • resmin bulunduğu sayfa yüzeyinin simetri ekseni yoktur - iki taraf farklıdır
  • görüntünün bulunduğu sayfa yüzeyinin bir simetri ekseni vardır - iki taraf aynıdır

Yapılandırma alanı

Yapılandırma alanı sabit bir nokta ile sert bir gövde (yani, sıfır öteleme hareketi ile bir gövde), altta yatan verilir manifold arasında dönme grubunun (3), . Rijit gövdenin (sıfır olmayan translasyon hareketi ile) sabitlenmemiş yapılandırma alanıdır D + (3) , bir alt-grubu , doğrudan izometrileri arasında Öklid grup üç boyutta (kombinasyonları olarak tercüme ve dönüş ).

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

  • Roy Featherstone (1987). Robot Dinamiği Algoritmaları . Springer. ISBN'si 0-89838-230-0.Bu referans , robotik uygulamalar için vida teorisini katı gövde dinamiği ile etkin bir şekilde birleştirir . Yazar ayrıca , denklemleri basitleştirdiği ve kompakt gösterime izin verdiği için, malzeme ivmeleri yerine uzamsal ivmeleri yaygın olarak kullanmayı seçmektedir .
  • JPL DARTS sayfasında uzamsal operatör cebiri üzerine bir bölüm (bağlantı: [2] ) ve ayrıca kapsamlı bir referans listesi (bağlantı: [3] ) vardır.
  • Andy Ruina ve Rudra Pratap (2015). Statik ve Dinamiğe Giriş . Oxford Üniversitesi Yayınları.(bağlantı: [4] ).

Dış bağlantılar