Gelir denkliği - Revenue equivalence

Bir kısmı bir dizi üzerinde
Açık arttırma
Türler
Tüm öde Çift takas Brezilya Kalküta Mum Çince Kombinatoryal Ortak değer Ertelenmiş-kabul Ayrımcı fiyat Çift Flemenkçe İngilizce İleri Fransızca Genelleştirilmiş ilk fiyat Genelleştirilmiş ikinci fiyat Japonca Çoklu nitelik Çoklu ünite Rezervsiz Ters İskoç Mühürlü ilk fiyat İsveççe Tek tip fiyat Benzersiz teklif Gelirlerin değeri Vickrey Walrasiyen Yankee
Teklif verme
Teklif gölgelendirme Calor Licitantis İptal avcısı Gizli Anlaşma Hızlı teklif verme Sniping
Bağlamlar
Algoritmalar Arabalar Sanat Hayırseverlik Çocuk Kriket oyuncuları Alan isimleri Emisyon izinleri Çiçekler Köleler Spektrum Pullar Bekaret Şarap Eşler
Teori
Dijital ürünler Anarşinin fiyatı Gelir denkliği Kazanan laneti
İnternet üzerinden
Ebidding Özel elektronik pazarı Yazılım
v t e

Gelir denkliği , belirli koşullar verildiğinde, aynı sonuçlarla sonuçlanan herhangi bir mekanizmanın (yani, öğeleri aynı teklif sahiplerine tahsis etmesi) aynı beklenen gelire sahip olduğunu belirten, açık artırma teorisindeki bir kavramdır .

Gösterim

Bir dizi olası sonuç var. ${\ displaystyle X}$

Orada her bir sonuç için farklı değerleme sahip ajanlar. Temsilcinin değerlemesi ("türü" olarak da adlandırılır) bir işlev olarak temsil edilir: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle v_ {i}: X \ longrightarrow R _ {\ geq 0}}$

parasal olarak her alternatif için sahip olduğu değeri ifade eder.

Aracılar, yarı doğrusal fayda işlevlerine sahiptir; Bu, eğer sonuç ise ve buna ek olarak temsilci bir ödeme alırsa (pozitif veya negatif), acentenin toplam faydasının şu şekilde olacağı anlamına gelir: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle u_ {i}: = v_ {i} (x) + p_ {i}}$

Tüm değer fonksiyonlarının vektörü ile gösterilir . ${\ displaystyle v}$

Her ajan için , diğer ajanların tüm değer fonksiyonlarının vektörü ile gösterilir . Yani . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v _ {- i}}$${\ displaystyle v \ eşdeğeri (v_ {i}, v _ {- i})}$

Bir mekanizma bir çift işlevdir:

• Bir giriş olarak değer vektörü alır fonksiyonu, ve bir sonuç verir (aynı zamanda adı sosyal seçim işlevi); ${\ displaystyle Sonucu}$${\ displaystyle v}$$X'te {\ displaystyle x \}$
• Bir giriş olarak değer vektörü alır fonksiyonu, ödemeler bir vektör ve döndürür, belirlenmesi her oyuncu (oyuncu pozitif miktar ödeme gerektiğine olumsuz ödeme aracı) almalıdır ne kadar. ${\ displaystyle Ödemesi}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle (p_ {1}, \ noktalar, p_ {n})}$

Aracıların türleri, bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenlerdir . Bu nedenle, bir mekanizma, bir oyuncunun stratejisinin gerçek türünün bir işlevi olarak bildirilen türü olduğu bir Bayes oyunu başlatır . Tüm oyuncuların gerçek tiplerini bildirdiği bir Bayesyen Nash dengesi varsa, bir mekanizmanın Bayesian-Nash teşviki ile uyumlu olduğu söylenir .

Beyan

Bu varsayımlar altında, gelir denkliği teoremi daha sonra şunu söyler.

Herhangi iki Bayesian-Nash teşviki uyumlu mekanizma için, eğer:

• Fonksiyonu, her iki mekanizma aynı olduğu ve: ${\ displaystyle Sonucu}$
• Bazı türler için, oyuncunun beklenen ödemesi (diğer oyuncuların türlerine göre ortalama) her iki mekanizmada da aynıdır; ${\ displaystyle v_ {i} ^ {0}}$${\ displaystyle i}$
• Her oyuncunun değeri yola bağlı bir setten alınır,

sonra:

• Her türden beklenen ödemeler her iki mekanizmada da aynıdır ve dolayısıyla:
• Beklenen gelir (- ödemelerin toplamı) her iki mekanizmada da aynıdır.

Misal

Klasik bir örnek, bir çift açık artırma mekanizmasıdır: ilk fiyat açık artırması ve ikinci fiyat açık artırması . İlk fiyat açık artırmasının Bayes-Nash teşviki ile uyumlu bir çeşidi vardır; İkinci fiyat açık artırması, Bayes-Nash teşviki ile uyumlu olandan bile daha güçlü olan, dominant-strateji-teşvik uyumludur. İki mekanizma teoremin koşullarını yerine getirir çünkü:

• Fonksiyon hem mekanizmalarında aynıdır - en yüksek teklifi veren maddeyi kazanır; ve: ${\ displaystyle Sonucu}$
• Öğeyi 0 olarak değerlendiren bir oyuncu, her iki mekanizmada da her zaman 0 öder.

Aslında, her oyuncu için beklenen ödeme her iki müzayedede de aynıdır ve müzayedecinin geliri aynıdır; sayfasına bakınız birinci fiyat mühürlü-teklif açık artırma detayları için.

Tek ürün ihalelerinde ihale mekanizmalarının denkliği

Aslında, birçok açık artırma türünün gelir eşdeğeri olduğunu kanıtlamak için gelir eşdeğerini kullanabiliriz. Örneğin, teklif verenler simetrik olduğunda (yani, değerlemeleri bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmışsa), ilk fiyat açık artırması, ikinci fiyat açık artırması ve tüm ödeme açık artırması, gelirle eşdeğerdir.

İkinci fiyat müzayedesi

En yüksek teklife sahip oyuncunun ikinci en yüksek teklifi ödediği ikinci fiyat tek ürün açık artırmasını düşünün . Her oyuncunun kendi değerini teklif etmesi idealdir . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b_ {i} = v_ {i}}$

Açık artırmayı kazandığını ve ikinci en yüksek teklifi ödediğini varsayalım veya . Bu açık artırmadan elde edilen gelir basittir . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$

İlk fiyat müzayedesi

En yüksek teklifi veren oyuncunun teklifini ödediği ilk fiyat açık artırmasında , tüm oyuncular bir teklif verme işlevi kullanarak teklif verirse bu bir Nash dengesidir. ${\ displaystyle b (v) = E (\ max _ {j \ neq i} v_ {j} ~ | ~ v_ {j} \ leq v ~ \ forall ~ j),}$

Diğer bir deyişle, her oyuncu ikinci en yüksek teklifin beklenen değerini teklif edecek şekilde teklif verirse, kendilerininkinin en yüksek olduğunu varsayarak, o zaman hiçbir oyuncunun sapma teşviki yoktur. Bu doğru olsaydı, o zaman bu açık artırma beklenen gelir de olduğunu görmek kolaydır eğer kazanır açık artırma. ${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle i}$

Kanıt

Bunu kanıtlamak için varsayalım bir oyuncu 1 tekliflerin olduğunu etkili bir değerdir blöf, yerine . Oyuncunun beklenen getirisini maksimize edecek bir değer bulmak istiyoruz . ${\ displaystyle b (z)}$${\ displaystyle z <v}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z}$

Kazanma olasılığı o zaman . Bu teklifin beklenen maliyeti . O zaman bir oyuncunun beklenen getirisi ${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z)}$${\ displaystyle E (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ forall ~ i)}$

${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z) (vE (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ forall ~ i) )}$

Let , rastgele değişken. Sonra yukarıdakileri şu şekilde yeniden yazabiliriz: ${\ displaystyle X = \ max _ {i> 1} v_ {i}}$

${\ Displaystyle Pr (X <z) (vE (X ~ | X \ leq z))}$ .

Genel gerçeği kullanarak, yukarıdakileri şu şekilde yeniden yazabiliriz: ${\ displaystyle E (X ~ | ~ X \ leq z) \ cdot Pr (X <z) = \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <z) -Pr (X <y) dy}$

${\ displaystyle Pr (X <z) \ cdot v-Pr (X <z) \ cdot z + \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <y) dy}$ .

Türevleri ele alarak elde ederiz ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle Pr (X <z) '(vz) = 0 \ Rightarrow v = z}$ .

Böylece sizin değerinizle teklif vermek , oyuncunun beklenen getirisini en üst düzeye çıkarır. Yana artan monoton, biz bu gerçekten de bir maksimum noktası olduğundan emin olun. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Pr (X <z)}$

İngiliz müzayedesi

Açık yükselen fiyat açık artırmasında (diğer adıyla İngilizce müzayedesinde ), bir alıcının baskın stratejisi, istenen fiyat değerine eşit olana kadar açık artırmada kalmaktır. Ardından, arenada kalan son kişi ise, kazanır ve ikinci en yüksek teklifi öder.

Her biri destek [0,1], kümülatif dağılım fonksiyonu F (v) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f (v) olan bir dağılımdan bağımsız bir değerde olan iki alıcının durumunu düşünün. Alıcılar dominant stratejilerine göre davranırsa, v değerine sahip bir alıcı, rakibinin x değeri daha düşükse kazanır. Dolayısıyla kazanma olasılığı

${\ displaystyle w = \ Pr \ {x <v \} \ eşdeğeri F (v)}$

ve beklenen ödemesi

${\ displaystyle C (v) = \ int \ sınırlar _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx}$

Kazanmaya bağlı olarak beklenen ödeme bu nedenle

${\ displaystyle e (v) = {\ frac {C (v)} {F (v)}} = {\ frac {\ int \ sınırları _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx} { F (v)}}}$

Her iki tarafı da F (v) ile çarpıp v ile ayırt etmek, e (v) için aşağıdaki diferansiyel denklemi verir.

${\ displaystyle {e} '(v) F (v) + e (v) f (v) = vf (v)}$ .

Bu denklemi yeniden düzenlemek,

${\ displaystyle {e} '(v) = {\ frac {f (v)} {F (v)}} (ve (v))}$

B (v), kapalı birinci fiyat açık artırmasındaki denge teklifi fonksiyonu olsun. B (v) = e (v) 'yi, yani kazananın bir müzayedede yaptığı denge ödemesinin, diğerinde kazananın beklenen denge ödemesine eşit olduğunu göstererek gelir denkliği kurarız.

Bir alıcının v değerine sahip olduğunu ve teklif verdiğini varsayalım. Rakibi, denge teklif stratejisine göre teklif verir. Rakibin teklif dağılımının desteği [0, B (1)]. Böylece, en az B (1) olan herhangi bir teklif 1 olasılıkla kazanır. Bu nedenle, en iyi teklif b [0, B (1)] aralığında yer alır ve bu nedenle bu teklifi b = B (x) şeklinde yazabiliriz, burada x bulunur [0,1] içinde. Rakibin y değeri varsa, B (y) teklif eder. Bu nedenle, kazanma olasılığı

${\ displaystyle w = \ Pr \ {b <B (y) \} = \ Pr \ {B (x) <B (y) \} = \ Pr \ {x <y \} = F (v)}$ .

Alıcının beklenen getirisi, kazanma olasılığı ile kazanırsa net kazancının çarpımıdır, yani,

${\ Displaystyle U = w (vB (x)) = F (x) (vB (x))}$ .

Farklılaştırma, maksimum için gerekli koşul

${\ displaystyle {U} '(x) = f (x) (vB (x)) - F (x) {B}' (x) = F (x) \ sol ({\ frac {f (x)} {F (x)}} (vB (x)) - {B} '(x) \ sağ) = 0}$ .

Diğer bir deyişle, B (x) alıcının en iyi cevabı ise, bu birinci derece koşulu karşılamalıdır. Son olarak, B (v) 'nin denge teklifi fonksiyonu olması için alıcının en iyi cevabının B (v) olması gerektiğini not ediyoruz. Böylece x = v. Gerekli durumda x yerine geçerek,

${\ displaystyle {\ frac {f (v)} {F (v)}} (vB (v)) - {B} '(v) = 0}$ .

Bu diferansiyel denklemin e (v) için olanla aynı olduğuna dikkat edin. E (0) = B (0) = 0 olduğundan bunu izler . ${\ displaystyle B (v) = e (v)}$

Teklif işlevlerini tahmin etmek için gelir eşdeğerini kullanma

Bir oyundaki bir oyuncunun teklif verme işlevini tahmin etmek için gelir eşdeğerini kullanabiliriz. Her oyuncunun değeri çizilir ikinci fiyat açık artırma ve ilk fiyat açık artırma, iki oyuncu versiyonunu düşünün eşit mesafede . ${\ displaystyle [0,1]}$

İkinci fiyat müzayedesi

İkinci fiyat müzayedesinde ilk oyuncunun beklenen ödemesi şu şekilde hesaplanabilir:

${\ displaystyle E ({\ text {Ödeme}} ~ | ~ {\ text {1. Oyuncu kazanır}}) P ({\ text {1. Oyuncu kazanır}}) + E ({\ text {Ödeme}} ~ | ~ {\ text {Oyuncu 1 kaybeder}}) P ({\ text {Oyuncu 1 kaybeder}})}$

Oyuncular ikinci bir fiyat müzayedesinde doğru şekilde teklif verdiğinden, tüm fiyatları oyuncuların değerleriyle değiştirebiliriz. Eğer 1. oyuncu kazanırsa, 2. oyuncunun teklif ettiği şeyi öder, veya . Oyuncu 1'in kendisi teklif verir . 1. oyuncu kaybettiğinde ödeme sıfır olduğundan, yukarıdakiler ${\ displaystyle p_ {2} = v_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1} = v_ {1}}$

${\ displaystyle E (v_ {2} ~ | ~ v_ {2} <v_ {1}) P (v_ {2} <v_ {1}) + 0}$

Yana tekdüze dağılım geliyor, biz bu kolaylaştırabilirsiniz ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1}} {2}} \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

İlk fiyat müzayedesi

İlk fiyat açık artırmasında doğru simetrik teklif verme işlevini oluşturmak için gelir eşdeğerini kullanabiliriz. İlk fiyat müzayedesinde, her oyuncunun bu noktada bu işlevin bilinmediği teklif verme işlevine sahip olduğunu varsayalım . ${\ displaystyle b (v)}$

Bu oyunda 1. oyuncunun beklenen ödemesi o zaman

${\ displaystyle E ({\ text {Ödeme}} ~ | ~ {\ text {1. Oyuncu kazanır}}) P ({\ text {1. Oyuncu kazanır}}) + E ({\ text {Ödeme}} ~ | ~ {\ text {Oyuncu 1 kaybeder}}) P ({\ text {Oyuncu 1 kaybeder}})}$ (yukarıdaki gibi)

Şimdi, bir oyuncu basitçe oyuncunun teklifini öder ve daha yüksek değerlere sahip oyuncuların hala kazandığını varsayalım, böylece kazanma olasılığı, ikinci fiyat müzayedesinde olduğu gibi basitçe bir oyuncunun değeri olur. Daha sonra bu varsayımın doğru olduğunu göstereceğiz. Yine, bir oyuncu müzayedeyi kaybederse hiçbir şey ödemez. Sonra elde ederiz

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} +0}$

Gelir Denkliği ilkesine göre, bu ifadeyi yukarıda hesapladığımız ikinci fiyat açık artırmasının gelirine eşitleyebiliriz:

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

Bundan, teklif verme işlevini çıkarabiliriz:

${\ displaystyle b (v_ {1}) = {\ frac {v_ {1}} {2}}}$

Bu teklif verme işleviyle, daha yüksek değere sahip oyuncunun hala kazandığını unutmayın. Diğer tüm oyuncuların bu teklif verme işlevini kullanarak teklif verdiği göz önüne alındığında, bir oyuncunun teklifini nasıl en üst düzeye çıkarması gerektiğini düşünerek, bunun doğru denge teklif verme işlevi olduğunu ek bir şekilde gösterebiliriz. İlk fiyat kapalı teklif açık artırması sayfasına bakın .

Tüm ödemeli açık artırmalar

Benzer şekilde, 1. oyuncunun ikinci fiyat açık artırmasında beklenen ödemesinin olduğunu biliyoruz ve bu, tüm ödemeli açık artırmada beklenen ödemeye eşit olmalıdır , yani ${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} = b (v_ {1})}$

Bu nedenle, tüm ödemeli açık artırmadaki her oyuncu için teklif verme işlevi ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}}}$

Çıkarımlar

Teoremin önemli bir sonucu, öğeyi koşulsuz olarak en yüksek teklifi verene veren herhangi bir tek ürün açık artırmasının aynı beklenen gelire sahip olacağıdır. Bu, müzayedecinin gelirini artırmak istiyorsak, sonuç fonksiyonunun değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmanın bir yolu, ürün için bir Rezervasyon fiyatı belirlemektir . Bu, Sonuç işlevini değiştirir çünkü artık öğe her zaman en yüksek teklifi verene verilmemektedir. Bir müzayedeci, rezervasyon fiyatını dikkatlice seçerek, önemli ölçüde daha yüksek bir beklenen gelir elde edebilir.

Sınırlamalar

Gelir-denklik teoremi bazı önemli durumlarda bozulmaktadır:

• Oyuncular yukarıda varsayıldığı gibi risksiz değil riskten kaçındığında . Bu durumda birinci fiyat ihalelerinin ikinci fiyat ihalelerine göre daha fazla gelir getirdiği bilinmektedir.
• Oyuncuların değerlemeleri birbirine bağlı olduğunda, örneğin, değerlemeler teklif verenler tarafından yalnızca kısmen bilinen dünyanın bazı durumuna bağlıysa (bu, Kazanan'ın laneti ile ilgilidir ). Bu senaryoda, İngiliz müzayedesi , teklif sahiplerinin diğer oyuncuların tekliflerinden bilgi öğrenmesine olanak tanıdığından, ikinci fiyat açık artırmasından daha fazla gelir yaratır.

Referanslar

• Hartline, Jason, Ekonomik Tasarımda Yaklaşım (PDF) .