Haar dalgacık - Haar wavelet

Haar dalgacık

Matematikte, Haar dalgacığı , birlikte bir dalgacık ailesi veya temeli oluşturan yeniden ölçeklenmiş "kare şekilli" fonksiyonların bir dizisidir . Dalgacık analizi, bir aralık üzerinde bir hedef fonksiyonun ortonormal bir temel olarak temsil edilmesine izin vermesi bakımından Fourier analizine benzer . Haar dizisi şimdi bilinen ilk dalgacık temeli olarak tanınmakta ve bir öğretim örneği olarak yaygın olarak kullanılmaktadır.

Haar sekansı tarafından 1909 yılında önerilmiştir Alfréd Haar . Haar alanı için bir ortonormal sisteminin bir örneğini vermek üzere, bu işlevler kullanılan kare İntegrallenebilir fonksiyonlar ile ilgili birim aralıkta  [0, 1]. Dalgacıkların incelenmesi ve hatta "dalgacık" terimi, çok sonrasına kadar gelmedi. Daubechies dalgacığının özel bir durumu olarak Haar dalgacığı Db1 olarak da bilinir .

Haar dalgacık aynı zamanda mümkün olan en basit dalgacıktır. Haar dalgacığının teknik dezavantajı, sürekli olmaması ve dolayısıyla türevlenebilir olmamasıdır . Ancak bu özellik, makinelerde takım arızasının izlenmesi gibi ani geçişli sinyallerin ( ayrık sinyaller ) analizi için bir avantaj olabilir .

Haar dalgacığının ana dalgacık fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:

Onun ölçekleme fonksiyonu olarak tanımlanabilir

Haar fonksiyonları ve Haar sistemi

'deki her n , k tamsayı çifti için , Haar fonksiyonu ψ n , k formülle gerçek satırda tanımlanır

Bu fonksiyon desteklenir sağ açık aralık I , n , k = [ k 2 - n , ( k + 1) 2 - N ) , yani , bu kaybolur aralığının dışında bu. Hilbert uzayında L 2 ( ) integrali 0 ve norm 1'e sahiptir ,  

Haar fonksiyonları ikili ortogonaldir ,

nerede Kronecker deltasını temsil eder . Dikeyliğin nedeni şudur: iki destek aralığı ve eşit olmadığında, bunlar ya ayrıktır ya da iki destekten daha küçük olanı, örneğin , diğer aralığın alt veya üst yarısında yer alır. hangi fonksiyon sabit kalır. Bu durumda, bu iki Haar fonksiyonunun çarpımı, ilk Haar fonksiyonunun bir katıdır, dolayısıyla çarpım, 0 integraline sahiptir.

Haar sistemi gerçek hattında fonksiyonların kümesidir

Bu ise tam olarak L 2 ( ): hattında Haar sistemi ortonormal baz olan L 2 ( ).

Haar dalgacık özellikleri

Haar dalgacığının birkaç önemli özelliği vardır:

  1. Kompakt destekli herhangi bir sürekli gerçek fonksiyon , kaydırılmış fonksiyonların lineer kombinasyonları ile düzgün bir şekilde yaklaşıklanabilir . Bu, içindeki herhangi bir fonksiyonun sürekli fonksiyonlarla yaklaştırılabileceği fonksiyon uzaylarına kadar uzanır.
  2. Üzerinde herhangi bir sürekli gerçek işlevi [0, 1] eşit yakınsanabilir [0, 1] sabit fonksiyonu doğrusal kombinasyonları ile  1 , ve kaydırılmış fonksiyonlar.
  3. Formdaki ortogonallik

    

Burada, Kronecker deltasını temsil eder . Çift fonksiyonlu ψ (arasında t ) (ψ olan t kendisi) bulunur.

  1. Farklı n ölçeğine sahip dalgacık/ölçekleme fonksiyonlarının fonksiyonel bir ilişkisi vardır: çünkü
n ölçeğinin katsayıları, n+1 ölçeğinin katsayıları ile hesaplanabilir :
Eğer
ve
sonra

Birim aralığında Haar sistemi ve ilgili sistemler

Bu bölümde, tartışma [0, 1] birim aralığı ve [0, 1] üzerinde desteklenen Haar işlevleriyle sınırlıdır . Haar tarafından 1910'da ele alınan ve bu makalede [0, 1]' de Haar sistemi olarak adlandırılan fonksiyonlar sistemi , Haar dalgacıklarının aşağıdaki gibi tanımlanan alt kümesinden oluşur.

[0, 1] üzerindeki sabit fonksiyon 1'in eklenmesiyle .

Gelen Hilbert alanı açısından, [0, 1] Bu Haar sistemi olup tam ortonormal sistemi , yani , bir ortonormal baz alan için, L 2 birim aralıkta kare integre fonksiyonların ([0, 1]).

[0, 1] üzerindeki Haar sistemi —ilk eleman olarak sabit fonksiyon 1 , ardından çiftlerin sözlükbilimsel sıralamasına göre sıralanmış Haar fonksiyonlarıyla ( n , k ) — ayrıca L p ( ) uzayı için monoton bir Schauder temelidir . [0, 1]) olduğunda 1 ≤ p <∞ . 1 < p < ∞ olduğunda bu temel koşulsuzdur .

Haar fonksiyonlarının toplamlarından oluşan ilgili bir Rademacher sistemi vardır ,

Dikkat edin | r n ( t )| = 1 [0, 1) üzerinde. Bu ortonormal bir sistemdir, ancak tam değildir. Dilinde olasılık kuramı , Rademacher sekansı bir dizisinin bir örneği olan , bağımsız Bernoulli rastgele değişkenler ile ortalama  0 Khintchine eşitsizlik aslında eksprese olduğu tüm alanlarda L p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , Rademacher dizisi ℓ 2'deki birim vektör tabanına eşdeğerdir . Özellikle, Rademacher dizisinin L p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ ' deki kapalı lineer açıklığı , ℓ 2 ile izomorfiktir .

Faber-Schauder sistemi

Faber Schauder sistemi ile sürekli fonksiyonların ailesidir [0, 1] sabit fonksiyon içeren  1 ve katları, belirsiz integraller norm 1 olması tercih [0, 1] ile Haar sistemindeki işlevler maksimum standart . Bu sistem s 0  =  1 ile başlar , sonra s 1 ( t ) = t , Haar sisteminin [0, 1]'deki ilk elemanı olan 1 fonksiyonunun 0'da kaybolan belirsiz integralidir  . Daha sonra, her n ≥ 0 tamsayı için s n , k fonksiyonları formülle tanımlanır

Bu fonksiyonlar s n , k süreklidir, parçalı doğrusaldır ve ψ n , k'yi de destekleyen I n , k aralığı tarafından desteklenir . s n , k işlevi , I n , k aralığının  x n , k orta noktasında 1'e eşittir , bu aralığın her iki yarısında da doğrusaldır. Her yerde 0 ile 1 arasında değerler alır.

Faber–Schauder sistemi, [0, 1] üzerindeki sürekli fonksiyonların C ([0, 1]) uzayı için bir Schauder temelidir . C ([0, 1]) içindeki her  f için kısmi toplam

bir dizi genişleme bölgesinin f Faber-Schauder sistemindeki sürekli katılmaktadır fonksiyonu doğrusal parçalı olan  f de 2 , n + 1 puan k 2 - n , 0 ≤ k ≤ 2 , n . Daha sonra, formül

f'nin adım adım genişlemesini hesaplamanın bir yolunu verir . Yana f olduğu düzgün sürekli sekans { f , n } muntazam yakınsar f . Buradan f'nin Faber-Schauder serisi açılımının C'de ([0, 1]) yakınsadığı ve bu serinin toplamının f'ye eşit olduğu sonucu çıkar  .

Franklin sistemi

Franklin sistemi tarafından Faber Schauder sistemi elde edilir Gram-Schmidt orthonormalization prosedür . Franklin sistemi, Faber-Schauder sistemiyle aynı lineer açıklığa sahip olduğundan, bu açıklık C ([0, 1]), dolayısıyla L 2 ([0, 1])' de yoğundur . Bu nedenle Franklin sistemi, sürekli parçalı lineer fonksiyonlardan oluşan L 2 ([0, 1]) için ortonormal bir temeldir . P. Franklin 1928'de bu sistemin C ([0, 1]) için bir Schauder temeli olduğunu kanıtladı . Franklin sistemi ayrıca 1 < p < ∞ olduğunda L p ([0, 1]) uzayı için koşulsuz bir Schauder temelidir . Franklin sistemi, A ( D ) disk cebirinde bir Schauder temeli sağlar . Bu, 1974'te Bočkarev tarafından, disk cebiri için bir temelin varlığının kırk yıldan fazla açık kalmasından sonra kanıtlandı.

Bočkarev'in A ( D )' de bir Schauder bazının inşası aşağıdaki gibidir:  f [0, π] üzerinde karmaşık değerli bir Lipschitz fonksiyonu olsun ; Sonra  f bir toplamıdır kosinüs serileri ile mutlak toplanabilir katsayılar. Let  , T ( f ) ait eleman A ( D kompleksi ile tanımlanan) güç dizisi , aynı katsayılı

Bočkarev'in A ( D ) için temeli , [0, π] üzerindeki Franklin sistemindeki fonksiyonların T altındaki görüntüleri tarafından oluşturulur  . Bočkarev'in T eşlemesi için eşdeğer açıklaması,  f'yi , T birim çemberinde bir Lipschitz işleviyle tanımlanan [−π, π] üzerinde çift ​​bir Lipschitz işlevi  g 1'e genişleterek başlar . Daha sonra, izin g 2 olduğu konjügat işlev bölgesinin  g 1 ve tanımlayan T ( f fonksiyonu olarak)  A ( D değeri sınır üzerine) T bir  D eşittir  g 1 + i g 2 .  

Ya da değil, sürekli fonksiyonları ile 1-dönemli sürekli fonksiyonları ile uğraşırken f [0, 1], örneğin bu konuda f (0) = f (1) , tek bir kaldırır fonksiyon s 1 ( t ) = t Faber-Schauder sistemi , periyodik Faber-Schauder sistemini elde etmek için . Periyodik Franklin sistemi Schauder sistemi - periyodik Faber orthonormalization ile elde edilir. One Bočkarev en sonucu kanıtlamak için A ( D [0, 2π] periyodik Franklin sistemi Banah alanı için bir temel olduğunu kanıtlayarak) bir r izomorf A ( D ). A r uzayı , eşlenik fonksiyonu da sürekli olan T birim çemberi üzerindeki karmaşık sürekli fonksiyonlardan oluşur .

Haar matrisi

Haar dalgacığıyla ilişkilendirilen 2×2 Haar matrisi,

Kullanma dalgacık dönüşümü ayrık bir bir diziyi dönüştürebilir , iki bileşen vektörler bir dizi halinde bile uzunlukta . Her vektör matrisle sağa çarpılırsa , hızlı Haar-dalgacık dönüşümünün bir aşamasının sonucu elde edilir. Genellikle bir dizilerin ayıran s ve d ve dizi dönüşüm ile devam s . Sıra s genellikle ortalamalar kısmı olarak anılırken , d detay kısmı olarak bilinir .

Uzunluk dizisi dördün katıysa, 4 elemanlı bloklar oluşturulabilir ve 4×4 Haar matrisi ile benzer şekilde dönüştürülebilir.

hızlı Haar-dalgacık dönüşümünün iki aşamasını birleştirir.

Yerelleştirilmemiş bir 1/–1 matrisi olan bir Walsh matrisi ile karşılaştırın .

Genel olarak, 2N×2N Haar matrisi aşağıdaki denklemle türetilebilir.

burada ve bir Kronecker'in ürün .

Kronecker'in ürün arasında , bir mx n matrisidir ve p q × matrisi olarak ifade edilir

Normalleştirilmemiş 8 noktalı Haar matrisi aşağıda gösterilmiştir.

Yukarıdaki matrisin normalleştirilmemiş bir Haar matrisi olduğuna dikkat edin. Haar dönüşümünün gerektirdiği Haar matrisi normalize edilmelidir.

Haar matrisinin tanımından , Fourier dönüşümünün aksine , yalnızca gerçek elemanlara (yani, 1, -1 veya 0) sahip olduğu ve simetrik olmadığı gözlemlenebilir .

Örnek olarak 8 noktalı Haar matrisini alın . İlk satır ortalama değeri ölçer ve ikinci satır giriş vektörünün düşük frekanslı bir bileşenini ölçer. Sonraki iki satır, orta frekans bileşenlerine karşılık gelen sırasıyla giriş vektörünün birinci ve ikinci yarısına duyarlıdır. Kalan dört satır, giriş vektörünün yüksek frekans bileşenlerine karşılık gelen dört bölümüne duyarlıdır.

Haar dönüşümü

Haar dönüşümü basit bir dalgacık . Bu dönüşüm, bir fonksiyonu Haar dalgacığına karşı çeşitli kaymalar ve uzamalarla çarpar, Fourier dönüşümü iki fazlı ve birçok uzantılı bir sinüs dalgasına karşı bir fonksiyonu çapraz çarpar.

Tanıtım

Haar dönüşümü Macar matematikçisi 1910 önerilen eski geçişi fonksiyonların biridir Alfréd Haar . Bir sinyalin yerel yönlerini analiz etmek için basit ve hesaplama açısından verimli bir yaklaşım sağladığı için elektrik ve bilgisayar mühendisliğinde sinyal ve görüntü sıkıştırma gibi uygulamalarda etkili bulunmuştur.

Haar dönüşümü, Haar matrisinden türetilir. 4x4 Haar dönüşüm matrisinin bir örneği aşağıda gösterilmiştir.

Haar dönüşümü, dönüşüm matrisinin satırlarının daha ince ve daha hassas çözünürlük örnekleri olarak hareket ettiği bir örnekleme işlemi olarak düşünülebilir.

Yine 1/–1 olan ancak yerelleştirilmemiş olan Walsh dönüşümü ile karşılaştırın .

Mülk

Haar dönüşümü aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Çarpma işlemine gerek yok. Sadece eklemeler gerektirir ve Haar matrisinde sıfır değerine sahip birçok eleman vardır, bu nedenle hesaplama süresi kısadır. Matrisi +1 ve -1'den oluşan Walsh dönüşümünden daha hızlıdır .
2. Giriş ve çıkış uzunlukları aynıdır. Ancak uzunluk 2'nin katı olmalıdır, yani .
3. Sinyallerin yerelleştirilmiş özelliklerini analiz etmek için kullanılabilir. Ötürü, ortogonal Haar fonksiyonunun özelliği, giriş sinyalinin frekans bileşenleri analiz edilebilir.

Haar dönüşümü ve Ters Haar dönüşümü

Haar dönüşümü Y n , n-giriş fonksiyonu x n olduğu

Haar dönüşüm matrisi gerçek ve ortogonaldir. Böylece, ters Haar dönüşümü aşağıdaki denklemlerle türetilebilir.

kimlik matrisi nerede . Örneğin, n = 4 olduğunda

Böylece, ters Haar dönüşümü

Örnek

Bir=4 noktalı sinyalin Haar dönüşüm katsayıları şu şekilde bulunabilir:

Giriş sinyali daha sonra ters Haar dönüşümü ile mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulabilir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

Haar dönüşümü