Yarı sürekli fonksiyon - Quasi-continuous function

Gelen matematik bir kavramı yarı-sürekli fonksiyonun bir kavramı, benzer şekilde, fakat daha zayıf olduğu sürekli bir fonksiyon . Tüm sürekli işlevler yarı süreklidir ancak genel olarak tersi doğru değildir.

Tanım

Let bir olmak topolojik uzay . Gerçek değerli işlev bir noktada yarı süreklidir herhangi eğer ve herhangi açık mahalle arasında boş olmayan yoktur açık kümesi olacak şekilde ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$$X'te {\ displaystyle x \}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle G \ alt kümesi U}$

${\ displaystyle | f (x) -f (y) | <\ epsilon \; \; \; \; \ forall y \ G içinde}$

Yukarıdaki tanımda bunun gerekli olmadığını unutmayın . $G'de {\ displaystyle x \}$

Özellikleri

• Eğer süreklidir sonra yarı süreklidir${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$
• Eğer süreklidir ve yarı-sürekli, sonra yarı süreklidir.${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle g: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f + g}$

Misal

Her zaman ve her zaman ile tanımlanan işlevi düşünün . Açıkça f, x = 0 dışında her yerde süreklidir, dolayısıyla x = 0 dışında her yerde yarı süreklidir. X = 0'da, x'in herhangi bir açık komşuluğunu alın. Sonra öyle açık bir küme var ki . Açıkça, bu verimler, dolayısıyla f yarı süreklidir. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle x \ leq 0}$${\ displaystyle f (x) = 1}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle G \ alt kümesi U}$${\ displaystyle y <0 \; \ forall y \ in G}$${\ displaystyle | f (0) -f (y) | = 0 \; \ forall y \ G'de}$

Buna karşılık, fonksiyon tarafından tanımlanan her bir rasyonel sayıdır ve her ne zaman irrasyonel sayıdır boş olmayan tüm açık seti beri, hiçbir yerde yarı süreklidir bazı içeriyor ile . ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle g (x) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle g (x) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$${\ displaystyle | g (y_ {1}) - g (y_ {2}) | = 1}$

Referanslar

• Ján Borsík (2007–2008). "Süreklilik Noktaları, Yarı süreklilik, süreklilik ve Üst ve Alt Yarı süreklilik" . Gerçek Analiz Değişimi . 33 (2): 339–350.
• T. Neubrunn (1988). "Yarı süreklilik". Gerçek Analiz Değişimi . 14 (2): 259-308. JSTOR  44151947 .