Dörtgen (matematik) - Quadrature (mathematics)

Gelen matematik , kareleme belirleme işlem anlamına gelir tarihsel bir terimdir alanı . Bu terim, günümüzde hala , "bir denklemi kareleme yoluyla çözme" veya "dörtleme düşürme", çözümünü integraller cinsinden ifade etme anlamına gelen diferansiyel denklemler bağlamında kullanılmaktadır .

Kuadratür problemleri, kalkülüsün geliştirilmesindeki ana problem kaynaklarından biri olarak hizmet etti ve matematiksel analizde önemli konuları ortaya koydu .

Tarih

Hipokrates'in lune'ait onun tam alan matematiksel olarak hesaplanabilir sahip ilk kavisli şekil oldu.

Yunan matematikçiler , bir şeklin alanının belirlenmesini , aynı alana sahip bir kareyi geometrik olarak oluşturma işlemi ( kare alma ) olarak anladılar , bu nedenle bu işleme kareleme adı verildi . Yunan geometri (bkz hep başarılı değildi dairenin dördün ), ancak iki tarafın sadece gibi çizgi parçaları, olmayan bazı figürlerin integrasyonu izlemeye devam ediyordu Hipokrat Lunes ve parabol ve dördün . Belirli bir Yunan geleneğine göre, bu yapıların sadece bir pergel ve cetvel kullanılarak yapılması gerekiyordu , ancak tüm Yunan matematikçileri bu hükme bağlı kalmamıştı.

Bir bir kuadratür için dikdörtgen kenarları olan bir ve b tarafa sahip bir kare oluşturmak için gerekli olan ( geometrik ortalama bir bir ve b ). Bu amaçla aşağıdakileri kullanmak mümkündür: uzunlukları a ve b olan doğru parçalarını birleştirerek yapılan çaplı daire çizilirse, çapa dik olarak çizilen doğru parçasının yüksekliği ( şemada BH ), daireyi kestiği noktayla bağlantı noktası, a ve b'nin geometrik ortalamasına eşittir . Benzer bir geometrik yapı, bir paralelkenar ve bir üçgenin kareleme problemlerini çözer.

Arşimet , parabolik bir doğru parçasının alanının yazılı bir üçgenin alanının 4/ 3'ü olduğunu kanıtladı.

Eğrisel şekiller için kareleme problemleri çok daha zordur. Pergel ve cetvelli dairenin karelemesinin imkansız olduğu 19. yüzyılda kanıtlandı. Bununla birlikte, bazı rakamlar için bir kareleme gerçekleştirilebilir. Arşimet tarafından keşfedilen bir küre yüzeyinin kareleri ve bir parabol parçası , antik çağda en yüksek analiz başarısı oldu.

  • Bir kürenin yüzeyinin alanı , bu kürenin büyük bir çemberinin oluşturduğu çemberin alanının dört katına eşittir .
  • Bir parabolün bir doğru tarafından kesilen bir parçasının alanı, bu parçada yazılı bir üçgenin alanının 4/3'üdür.

Bu sonuçların ispatı için Arşimet , Eudoxus'a atfedilen tükenme yöntemini kullanmıştır .

Ortaçağ Avrupa'sında kareleme, alanın herhangi bir yöntemle hesaplanması anlamına geliyordu. Çoğu zaman bölünmezler yöntemi kullanıldı; Yunanlıların geometrik yapılarından daha az titizdi, ancak daha basit ve daha güçlüydü. Galileo Galilei ve Gilles de Roberval onun yardımıyla bir sikloid kemerin alanını buldular , Grégoire de Saint-Vincent hiperbolün altındaki alanı araştırdı ( Opus Geometricum , 1647) ve de Saint-Vincent'in öğrencisi ve yorumcusu Alphonse Antonio de Sarasa , Bu alanın logaritmalarla ilişkisini not etti .

John Wallis bu yöntemi cebirselleştirdi; Arithmetica Infinitorum'unda (1656) şimdi belirli integral olarak adlandırılan şeye eşdeğer bazı seriler yazdı ve değerlerini hesapladı. Isaac Barrow ve James Gregory daha fazla ilerleme kaydettiler: bazı cebirsel eğriler ve spiraller için kareler . Christiaan Huygens , bazı katı cisimlerin yüzey alanının karesini başarıyla gerçekleştirdi .

Saint-Vincent ve de Sarasa tarafından hiperbolün karesi , kritik öneme sahip yeni bir işlev , doğal logaritma sağladı . İntegral hesabın icadı ile alan hesaplaması için evrensel bir yöntem geldi. Buna karşılık, kareleme terimi geleneksel hale geldi ve bunun yerine modern ifade alanı bulma terimi, teknik olarak tek değişkenli belirli bir integralin hesaplanması için daha yaygın olarak kullanılıyor .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar