Önemli rakamlar - Significant figures

Anlamlı rakamlar (olarak da bilinen anlamlı basamağa , hassas veya çözünürlük bir sayının) pozisyonel gösterimde olan rakam şeyin miktarını belirtmek için güvenilir ve kesinlikle gerekli olan sayısında. Bir şeyin (örneğin uzunluk, basınç, hacim veya kütle) ölçüm sonucunu ifade eden bir sayı, ölçüm çözünürlüğünün izin verdiği rakamlardan daha fazla basamağa sahipse , yalnızca ölçüm çözünürlüğünün izin verdiği rakamlar güvenilirdir ve bu nedenle yalnızca bunlar olabilir. önemli rakamlar Örneğin, bir uzunluk ölçümü 114,8 mm verirse, ölçümde kullanılan cetvel üzerindeki işaretler arasındaki en küçük aralık 1 mm ise, ilk üç basamak (1, 1 ve 4 ve bunlar 114 mm'yi gösterir) yalnızca güvenilirdir. önemli rakamlar olabilir. Bu haneler arasında son hanede belirsizlik vardır (8, 0,8 mm eklemek için) ancak belirsiz ancak güvenilir olan haneler anlamlı sayı olarak kabul edildiğinden, anlamlı bir rakam olarak da kabul edilir . Başka bir örnek, ± 0,05 L belirsizlikle 2,98 L'lik bir hacim ölçümüdür. Gerçek hacim 2,93 L ile 3,03 L arasında bir yerdedir. Üç hanenin tamamı kesin olmasa bile (örneğin, gerçek hacim 2,94 L olabilir, ancak aynı zamanda 3,02 L olabilir), ancak bunlar kabul edilebilir belirsizlikle gerçek hacmi gösterdiğinden güvenilirdir. Dolayısıyla bunlar önemli rakamlar.

Aşağıdaki rakamlar önemli rakamlar değildir.

  • Tüm baştaki sıfırlar . Örneğin 013 kg, 1 ve 3 olmak üzere iki anlamlı rakama sahiptir ve kütleyi belirtmek gerekli olmadığından baştaki sıfır önemli değildir; 013 kg = 13 kg yani 0 gerekli değildir. 0,056 m = 56 mm olduğundan, 0,056 m'nin önünde iki önemsiz sıfır vardır, bu nedenle baştaki sıfırlar uzunluğu belirtmek için kesinlikle gerekli değildir.
  • Yalnızca yer tutucu olduklarında sondaki sıfırlar . Örneğin, uzunluk ölçümü olarak 1500 m'deki sondaki sıfırlar, ölçüm çözünürlüğü 100 m olduğundan, yalnızca birler ve onlarca basamak için yer tutucularsa anlamlı değildir. Bu durumda 1500 m, uzunluğun tam olarak 1500 m olduğunu söylemek yerine ölçülecek uzunluğun 1500 m'ye yakın olduğu anlamına gelir.
  • Hesaplamalarda kullanılan verilerin kesinliğinden daha büyük bir kesinliğe sahip bir sayı ile sonuçlanan veya ölçüm çözünürlüğünden daha yüksek bir kesinlikle rapor edilen bir ölçümle sonuçlanan hesaplamalar tarafından tanıtılan sahte rakamlar.

Bir dizi önemli rakamların, en anlamlı , en yüksek üs değeri (sadece sol-en anlamlı rakam) ile rakamdır ve en az önemli olan en düşük üs değeri (sadece sağ en önemli figürü) ile rakamdır . Örneğin, "123" sayısında, "1", yüzlerce (10 2 ) saydığından en anlamlı rakamdır ve "3", birleri (10 0 ) saydığından en az anlamlı rakamdır .

Önem aritmetiği , bir hesaplama boyunca kabaca önemi korumak için bir dizi yaklaşık kuraldır. Daha karmaşık bilimsel kurallar, belirsizliğin yayılması olarak bilinir .

Rakamlar, önemsiz rakamların rapor edilmesini önlemek için genellikle yuvarlanır . Örneğin , terazi yalnızca en yakın grama kadar ölçülmüşse, bir ölçümü 12.34525 kg olarak ifade etmek yanlış kesinlik yaratacaktır . Bu durumda anlamlı rakamlar en soldaki rakamdan (1, 2, 3, 4 ve 5) ilk 5 hanedir ve sayının 12.345 kg olacak şekilde anlamlı rakamlara yuvarlanması gerekir. güvenilir değer. Rakamlar, örneğin haber yayınlarında sayıların daha hızlı telaffuz edilmesini sağlamak için, bir ölçüm kesinliğini belirtmek yerine yalnızca basitlik için yuvarlanabilir.

Radix 10 aşağıda varsayılmıştır.

Önemli rakamların belirlenmesi

Bir sayıdaki önemli rakamları belirleme kuralları

Açık mavi rakamlar önemli rakamlardır; siyah olanlar değil

Bir sayıdaki anlamlı rakamları tanımlamanın, hangi basamakların güvenilir olduğunu bilmeyi gerektirdiğini unutmayın (örneğin, sayının elde edildiği veya işlendiği ölçüm veya raporlama çözünürlüğünün bilinmesi), çünkü yalnızca güvenilir basamaklar anlamlı olabilir; örneğin, 0,00234 g'daki 3 ve 4, ölçülebilir en küçük ağırlık 0,001 g ise önemli değildir.

  • Verilen ölçme veya çözünürlüğü raporlama içinde olmayan sıfır basamak olan önemli .
    • 91, ölçüme izin verilen rakamlarsa iki anlamlı rakama (9 ve 1) sahiptir.
    • 123.45, ölçüm çözünürlüğü dahilindeyse beş anlamlı basamağa (1, 2, 3, 4 ve 5) sahiptir. Çözünürlük 0.1 ise, son rakam 5 önemli değildir.
  • İki önemli sıfır olmayan basamak arasında sıfır olan önemli ( önemli sıkışmış sıfırlar) .
    • 101.1003, çözünürlük 0.00001 ise sekiz anlamlı rakamdan oluşur.
    • Çözünürlük 0.0001 ise 125.340006 yedi anlamlı rakama sahiptir: 1, 2, 5, 3, 4, 0 ve 0.
  • Sıfır olmayan ilk basamağın solundaki sıfırlar ( baştaki sıfırlar ) önemli değildir .
    • Bir uzunluk ölçümü 0,052 km veriyorsa, 0,052 km = 52 m yani 5 ve 2 sadece anlamlıdır; hangi birimin kullanıldığına bağlı olarak baştaki sıfırlar görünür veya kaybolur, bu nedenle ölçüm ölçeğini belirtmek için kesinlikle gerekli değildir.
    • 0.00034, çözünürlük 0.001 ise 4 anlamlı sıfıra sahiptir. (3 ve 4 çözünürlüğün ötesinde olduğundan önemli değil.)
  • Geçen sıfır olmayan rakama (sağındaki sıfırları sondaki sıfırlar ondalık noktası ile bir dizi) vardır anlamlı onlar ölçüm veya raporlama çözünürlüğü dahilinde olup olmadığını.
    • 1.200, ölçüm çözünürlüğü tarafından izin veriliyorsa, dört anlamlı rakama (1, 2, 0 ve 0) sahiptir.
    • 0.0980, ölçüm çözünürlüğü dahilindeyse üç anlamlı basamağa (9, 8 ve son sıfır) sahiptir.
    • Çözünürlük 0.01 ise son sıfır hariç 120.000 anlamlı rakamlardan oluşmaktadır.
  • Bir tamsayı sıfırları Firar veya olabilir değil anlamlı ölçüme bağlı olarak veya çözünürlüğü raporlama.
    • 45.600, son sıfırların nasıl kullanıldığına bağlı olarak 3, 4 veya 5 anlamlı rakama sahiptir. Örneğin, bir yolun uzunluğu, raporlama veya ölçüm çözünürlüğü hakkında bilgi olmadan 45600 m olarak rapor edilirse, yol uzunluğunun tam olarak 45600 m olarak mı ölçüldüğü yoksa kabaca bir tahmin mi olduğu net değildir. Kaba tahmin ise, o zaman sadece sıfır olmayan ilk üç basamak önemlidir, çünkü sondaki sıfırlar ne güvenilir ne de gereklidir; 45600 m, bilimsel gösterimde 45,6 km veya 4,56 × 10 4  m olarak ifade edilebilir ve her iki ifade de sonunda sıfır gerektirmez.
  • Kesin bir sayının sonsuz sayıda anlamlı rakamı vardır.
    • Bir torbadaki elma sayısı 4 (tam sayı) ise, bu sayı 4.0000... (ondalık noktanın sağında sonsuz sıfırlar ile). Sonuç olarak, 4, onunla yapılan hesaplamaların sonucundaki önemli rakam veya basamak sayısını etkilemez.
  • Matematiksel veya fiziksel bir sabit, bilinen rakamlarına göre önemli rakamlara sahiptir.
    • π , çevresinin bir dairenin çapına oranı olarak, 2020-01-29 itibariyle hesaplanan 3.14159265358979323... ila 50 trilyon basamağa eşittir, dolayısıyla π'nin anlamlı rakamlarının sayısı bu miktardır.
    • Planck sabiti olduğu ve daha uygun olarak tanımlanır ve böylece tam bir değer olarak tanımlanır .

Sondaki sıfırları olan bir tamsayıdaki önemli rakamları gösterme yolları

Ondalık nokta içermeyen bir sayıda sondaki sıfırların önemi belirsiz olabilir. Örneğin, 1300 sayısının en yakın birime göre kesin olup olmadığı (yalnızca tesadüfen yüzün tam katıdır) veya yuvarlama veya belirsizlik nedeniyle yalnızca en yakın yüzlerle gösterilip gösterilmediği her zaman net olmayabilir. Bu sorunu çözmek için birçok sözleşme var. Bununla birlikte, bunlar evrensel olarak kullanılmazlar ve yalnızca okuyucunun sözleşmeye aşina olması durumunda etkili olacaktır:

  • Bir üstünü , bazen de bir Overbar adlandırılan, ya da daha az doğru bir bağ , son önemli Şekil üzerine yerleştirilebilir; bundan sonra gelen sıfırlar önemsizdir. Örneğin, 13 0 0 üç anlamlı rakama sahiptir (ve dolayısıyla sayının en yakın onluğa kesin olduğunu gösterir).
  • Daha az sıklıkla, yakından ilişkili bir kural kullanılarak, bir sayının son önemli rakamının altı çizilebilir ; örneğin, " 13 00" iki anlamlı rakama sahiptir.
  • Sayıdan sonra bir ondalık nokta konulabilir; örneğin "1300." özellikle sondaki sıfırların anlamlı olması gerektiğini belirtir.

Yukarıdaki kurallar genel kullanımda olmadığından, sonunda sıfır olan sayıların önemini belirtmek için daha yaygın olarak tanınan aşağıdaki seçenekler mevcuttur:

  • Bir ölçü birimine sahip bir sayıdaki birim önekini değiştirerek belirsiz veya anlamlı olmayan sıfırları ortadan kaldırın . Örneğin 1300 g olarak belirtilen ölçüm kesinliği belirsiz iken, 1,30 kg olarak ifade edildiğinde öyle değildir. Aynı şekilde 0,0123 L, 12,3 mL olarak yeniden yazılabilir.
  • Bilimsel Gösterimi kullanarak belirsiz veya anlamlı olmayan sıfırları ortadan kaldırın: Örneğin, üç anlamlı rakam içeren 1300, 1.30 × 10 3 . Aynı şekilde 0.0123 şu şekilde yeniden yazılabilir:1.23 × 10 -2 . Gösterimin anlamlı rakamları (1.30 veya 1.23) içeren kısmı, anlam veya mantis olarak bilinir . Taban ve üs içindeki rakamlar (10 3 veya10 −2 ) tam sayılar olarak kabul edilir, bu nedenle bu rakamlar için anlamlı rakamlar önemsizdir.
  • Önemli rakamların sayısını açıkça belirtin (sf kısaltması bazen kullanılır): Örneğin "20 000 ila 2 sf" veya "20 000 (2 sf)".
  • Beklenen değişkenliği (kesinliği) 20 000 ± %1'de olduğu gibi artı-eksi işaretiyle açıkça belirtin . Bu aynı zamanda, on güçler arasında bir hassasiyet aralığı belirlemeye de izin verir.

Önemli rakamlara yuvarlama

Yuvarlama önemli şekillere yuvarlama daha genel amaçlı bir tekniktir , n üniform bir şekilde farklı ölçeklerde sayıda işleme için, basamak. Örneğin bir şehrin nüfusu en yakın bin kişi tarafından bilinip 52.000 olarak ifade edilebilirken, bir ülkenin nüfusu ancak en yakın milyon kişi tarafından bilinip 52.000.000 olarak ifade edilebilir. Birincisi yüzlerce, ikincisi yüzbinlerce hatalı olabilir, ancak her ikisinin de iki anlamlı rakamı vardır (5 ve 2). Bu, ölçülen niceliğin boyutuna göre hatanın öneminin her iki durumda da aynı olduğu gerçeğini yansıtır.

Bir sayıyı n anlamlı rakama yuvarlamak için :

  1. Eğer , n + 1 basamak 5'ten daha büyük olması ya da 5 1 eklenir, başka bir sıfır olmayan basamağı takip n basamak. Örneğin, 1.2459'u 3 anlamlı rakama yuvarlamak istersek, bu adım 1.25 ile sonuçlanır.
  2. n + 1 basamağı 5 ise, ardından başka rakamlar gelmiyorsa veya ardından yalnızca sıfırlar geliyorsa, yuvarlama için bir eşitlik bozma kuralı gerekir. Örneğin, 1,25 ila 2 anlamlı rakamı yuvarlamak için:
    • Sıfırdan yarıya yuvarlama ("5/4" olarak da bilinir) 1,3'e kadar yuvarlar. Bu, gerekli yuvarlama yöntemi belirtilmemişse, birçok disiplinde ima edilen varsayılan yuvarlama yöntemidir.
    • Yarıyı çifte yuvarla, bu da en yakın çift sayıya yuvarlanır. Bu yöntemle 1,25, 1,2'ye yuvarlanır. Bu yöntem 1,35 için geçerliyse 1,4'e yuvarlanır. Bu, birçok bilimsel disiplin tarafından tercih edilen yöntemdir, çünkü örneğin, uzun bir değerler listesinin ortalama değerini yukarıya doğru çarpıtmaktan kaçınır.
  3. Yuvarlamada bir tamsayı için, n hanesinden sonraki haneleri sıfırlarla değiştirin. Örneğin, 1254 2 anlamlı rakama yuvarlanırsa, 5 ve 4 1300 olacak şekilde 0 ile değiştirilir. Yuvarlamada ondalık noktası olan bir sayı için, n rakamından sonraki rakamları kaldırın . Örneğin, 14.895 3 anlamlı rakama yuvarlanırsa, 8'den sonraki rakamlar 14.9 olacak şekilde çıkarılır.

Finansal hesaplamalarda, bir sayı genellikle belirli sayıda basamağa yuvarlanır. Örneğin, birçok dünya para birimi için ondalık ayırıcıdan sonraki iki basamağa . Bu yapılır, çünkü daha fazla kesinlik önemsizdir ve genellikle en küçük para biriminden daha düşük bir borcu kapatmak mümkün değildir.

Birleşik Krallık kişisel vergi beyannamelerinde gelir, en yakın pounda yuvarlanırken, ödenen vergi en yakın kuruşa hesaplanır.

Bir örnek olarak, ondalık miktar 12.345 , çeşitli önemli basamak veya ondalık basamak sayılarıyla ifade edilebilir. Yetersiz kesinlik mevcutsa, sayı mevcut kesinliğe uyacak şekilde bir şekilde yuvarlanır . Aşağıdaki tablo, iki yuvarlama yolunda çeşitli toplam kesinlik için sonuçları gösterir (N/A, Uygulanamaz anlamına gelir).

Kesinlik
Önemli rakamlara yuvarlandı

Ondalık basamaklara yuvarlanmış
6 12.3450 12.345000
5 12.345 12.34500
4 12.34 veya 12.35 12.3450
3 12.3 12.345
2 12 12.34 veya 12.35
1 10 12.3
0 Yok 12

0.012345 için başka bir örnek . (Baştaki sıfırların önemli olmadığını unutmayın.)

Kesinlik
Önemli rakamlara yuvarlandı

Ondalık basamaklara yuvarlanmış
7 0.01234500 0.0123450
6 0.0123450 0.012345
5 0.012345 0.01234 veya 0.01235
4 0.01234 veya 0.01235 0.0123
3 0.0123 0.012
2 0.012 0.01
1 0.01 0.0
0 Yok 0

Sıfır olmayan bir x sayısının p anlamlı basamağın kesinliğine temsili , aşağıdaki formülle verilen sayısal bir değere sahiptir:

nerede

önemli sondaki sıfırların sayısını belirtmek için yukarıda ayrıntılı olarak açıklandığı gibi belirli bir işaretle yazılması gerekebilir .

Belirsizlik ve ima edilen belirsizlik yazma

Belirsizliğin yazılmasında önemli rakamlar

Bir ölçüm sonucunun, aşağıdaki gibi ölçüm belirsizliğini içermesi önerilir ; burada x en iyi ve σ x , ölçümdeki sırasıyla en iyi tahmin ve belirsizliktir. x best ölçülen değerlerin ortalaması olabilir ve σ x standart sapma veya ölçüm sapmasının bir katı olabilir. Yazma kuralları şunlardır:

  • σ x sadece bir veya iki anlamlı rakama sahiptir, çünkü daha kesin belirsizliğin bir anlamı yoktur.
    • 1,79 ± 0,06 (doğru), 1,79 ± 0,96 (doğru), 1,79 ± 1,96 (yanlış).
  • x best ve σ x içindeki son anlamlı rakamların basamak konumları aynıdır, aksi takdirde tutarlılık kaybolur. Örneğin, 1,79 ± 0,067'de (yanlış), en iyi tahminden daha doğru belirsizliğe sahip olmak mantıklı değildir. 1,79 ± 0,9 (yanlış) da anlamlı değildir çünkü aşağıdaki toplama ve çıkarma için yuvarlama kılavuzu, gerçek değer aralığının kenarlarının 2,7 ve 0,9 olduğunu ve en iyi tahminden daha az doğru olduğunu söyler.
    • 1,79 ± 0,06 (doğru), 1,79 ± 0,96 (doğru), 1,79 ± 0,067 (yanlış), 1,79 ± 0,9 (yanlış).

zımni belirsizlik

Kimyada (ve diğer bilim dalları için de olabilir), açıkça ifade edilmemişse, son anlamlı rakam belirsizliği ima edebilir. İma edilen belirsizlik ± son anlamlı rakam konumundaki minimum ölçeğin yarısıdır. Örneğin, bir şişedeki su hacmi, belirsizlikten söz edilmeden 3,78 L olarak bildirilirse, ± 0,005 L ölçüm belirsizliği ima edilebilir. 2,97 ± 0,07 kg, yani gerçek ağırlık 2,90 ila 3,04 kg arasında bir yerde ölçülür ve tek bir sayı ile rapor edilmesi istenirse, zımni belirsizliği ± 0,05 kg olduğunu söylediğinden, 3,0 kg rapor edilecek en iyi sayıdır. ölçüm aralığına yakın olan 2,95 ila 3,05 kg ağırlık aralığı. 2,97 ± 0,09 kg ise, o zaman 3,0 kg hala en iyisidir, çünkü 3 kg bildirilirse, ima edilen belirsizlik ± 0,5, ölçüm aralığına kıyasla çok geniş olan 2,5 ila 3,5 kg aralığını gösterir.

Bir sayının zımni belirsizliğini yazma ihtiyacı varsa, o zaman zımni belirsizlik olarak belirtildiği gibi yazılabilir (okuyucuların bunu ölçüm belirsizliği olarak algılamasını önlemek için), burada x ve σ x bir sayıdır. ekstra sıfır rakamı (yukarıdaki belirsizliği yazmak için kurallara uymak) ve bunun zımni belirsizliği sırasıyla. Örneğin, ima edilen belirsizlikle 6 kg ± 0,5 kg, 6,0 ± 0,5 kg olarak ifade edilebilir.

Aritmetik

Doğrudan ölçülen niceliklerdeki anlamlı rakamları belirlemek için kurallar olduğu gibi , bu ölçülen niceliklerden hesaplanan niceliklerdeki anlamlı rakamları belirlemek için de kılavuzlar (kurallar değil) vardır .

Anlamlı rakamlar ölçülen miktarlarda önemli rakamların belirlenmesinde en önemli hesaplanan miktarlarda onlarla. Bir matematik veya fizik sabiti (örneğin, π formül içinde bir dairenin alanına yarıçapı ile r olarak π r 2 Bilinen basamak eşit olması halinde) bununla bir hesaplamanın sonucu olarak önemli rakamların belirlenmesi üzerine herhangi bir etkisi yoktur hesaplamada kullanılan ölçülen büyüklüklerdeki anlamlı rakamlara veya daha fazlasına. ½ mv 2 olarak v hızına sahip bir m kütlesinin kinetik enerjisi formülündeki ½ gibi kesin bir sayının, anlamlı rakam sayısı sonsuz olduğundan (0.500000...) .

Aşağıda açıklanan yönergeler, ölçülen niceliklerden daha kesin bir hesaplama sonucundan kaçınmayı amaçlar, ancak elde edilen zımni belirsizliğin ölçülen belirsizliklere yeterince yakın olmasını sağlamaz. Bu sorun birim dönüştürmede görülebilir. Yönergeler, ölçülenlerden çok uzakta zımni belirsizliği veriyorsa, karşılaştırılabilir belirsizlik veren önemli basamaklara karar vermek gerekebilir.

Çarpma ve bölme

Çarpma ve bölme yoluyla ölçülen büyüklüklerden oluşturulan büyüklükler için , hesaplanan sonucun, hesaplamada kullanılan ölçülen büyüklükler arasında en az anlamlı rakam sayısı kadar anlamlı rakama sahip olması gerekir . Örneğin,

  • 1.234 × 2 = 2 .468 ≈ 2
  • 1.234 × 2.0 = 2. 4 68 ≈ 2.5
  • 0.01234 × 2 = 0.0 2 468 ≈ 0.02

ile biri , ikisi , ve bir sırasıyla anlamlı rakamlar. (2 burada kesin bir sayı olmadığı varsayılır.) İlk örnek için, birinci çarpma faktörü dört anlamlı rakama ve ikincisinde bir anlamlı rakama sahiptir. En az veya en az anlamlı rakama sahip faktör, yalnızca bir rakama sahip ikinci faktördür, bu nedenle nihai hesaplanan sonucun da bir anlamlı rakamı olmalıdır.

İstisna

Birim dönüştürme için, bu yuvarlama kılavuzu izlenirse sonucun zımni belirsizliği önceki birimde olduğundan tatmin edici olmayacak şekilde yüksek olabilir; Örneğin, 8 inç, ± 0,5 inç = ± 1,27 cm'lik zımni belirsizliğe sahiptir. Santimetre ölçeğine dönüştürülürse ve çarpma ve bölme için yuvarlama yönergesi izlenirse, ima edilen belirsizlik ± 5 cm ile 2 0.32 cm ≈ 20 cm. Bu zımni belirsizlik kabul edilirse de göz ardı, daha sonra birim dönüştürme sonucu daha doğru anlamlı basamağa 2 olabilir 0 ± 0.5 cm zımni belirsizlik ile .32 cm ≈ 20. cm.

Yukarıdaki yuvarlama yönergesini uygulamanın diğer bir istisnası, bir sayıyı 1.234 × 9 gibi bir tam sayı ile çarpmaktır. Yukarıdaki yönerge izlenirse sonuç 1.234 × 9.000.... = 11.1 0 6 ≈ 11.11 şeklinde yuvarlanır . Ancak, bu çarpma esasen kendisine 1.234 + 1.234 + ... + 1.234 gibi 9 kez 1.234 ekliyor, bu nedenle aşağıda açıklanan toplama ve çıkarma için yuvarlama yönergesi daha uygun yuvarlama yaklaşımıdır. Sonuç olarak, son cevap 1.234 + 1.234 + ... + 1.234 = 11.10 6 = 11.106'dır (anlamlı bir basamak artış).

Toplama ve çıkarma

Aracılığıyla ölçülen miktarlar oluşturulan miktarlar için ek ve çıkarma hesaplanan sonucu, son önemli figür konumuna (örneğin yüzlerce onlarca olanlar, onda, hundredths ve benzeri) ile aynı olmalıdır soldaki arasında veya büyük basamaklı pozisyonunda Hesaplamada ölçülen büyüklüklerin son önemli rakamları . Örneğin,

  • 1.234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
  • 1.234 + 2.0 = 3. 2 34 ≈ 3.2
  • 0.01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2

En son önemli rakamlarla olanlar yerine, onda yerleştirin ve olanları sırasıyla yerleştirin. (2 burada kesin bir sayı olmadığı varsayılır.) İlk örnek için, birinci terim son anlamlı rakamını binler basamağında, ikinci terim ise son anlamlı rakamını birler basamağında almıştır. Bu terimlerin son anlamlı rakamları arasında en soldaki veya en büyük rakam konumu birler basamağıdır, dolayısıyla hesaplanan sonucun da son anlamlı rakamı birler basamağında olmalıdır.

Çarpma ve bölme için anlamlı sayıları hesaplama kuralı, toplama ve çıkarma kuralıyla aynı değildir. Çarpma ve bölme için, hesaplamadaki faktörlerin her birinde yalnızca toplam anlamlı rakam sayısı önemlidir; her faktördeki son anlamlı rakamın rakam konumu önemsizdir. Toplama ve çıkarma için, hesaplamadaki terimlerin her birinde yalnızca son anlamlı rakamın basamak konumu önemlidir; her terimdeki toplam anlamlı rakam sayısı önemsizdir. Bununla birlikte, sonraki hesaplamalarda kullanılan ara sonuçlarda bazı anlamlı olmayan rakamlar korunursa, genellikle daha fazla doğruluk elde edilecektir.

Logaritma ve antilogaritma

Taban 10 logaritma a normalize sayıda (yani bir x 10 b ≤ 1 ile bir <10 ve b bir tam sayı olarak) gösterilen, ondalık kısmı (denilen yuvarlak şekildedir mantis ) sahip olan belirgin şekiller gibi birçok önemli rakamlar olarak normalleştirilmiş sayı

  • log 10 (3.000 × 10 4 ) = log 10 (10 4 ) + log 10 (3.000) = 4.000000... (tam sayı yani sonsuz anlamlı basamak) + 0.477 1 212547... = 4.477 1 212547 ≈ 4.4771.

Normalleştirilmiş bir sayının antilogaritmasını alırken, sonuç, antiloglanacak sayının ondalık kısmındaki anlamlı rakamlar kadar anlamlı rakamlara sahip olacak şekilde yuvarlanır.

  • 10 4.4771 = 299 9 8.5318119... = 30000 = 3.000 × 10 4 .

aşkın fonksiyonlar

Aşkın bir fonksiyonu ise (örneğin, üstel fonksiyon , logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar ), kendi alan elemanı en ayırt edilebilirdir x , daha sonra anlamlı basamakların sayısı ( "önemli şekil olarak adlandırılan ") yaklaşık olarak anlamlı sayısı ile ilgilidir rakamlar x ( "önemli rakamlar olarak gösterilen x formülü ile")

,

nerede olduğunu durum numarası . Türevini bulmak için Önem aritmetiğine bakın .

Yalnızca nihai hesaplama sonucuna göre yuvarlayın

Çok aşamalı hesaplamalar yaparken ara aşama hesaplama sonuçlarını yuvarlamayın; Her bir ara sonuçtaki önemli rakamları takip ederken veya kaydederken kümülatif yuvarlama hatalarından kaçınmak için tüm hesaplamaların sonuna kadar pratik olduğu kadar çok basamak tutun (yuvarlama kuralının aşama başına izin verdiğinden en az bir basamak fazla). Ardından, nihai sonucu, örneğin, son hesaplamadaki girdiler arasında en az sayıda anlamlı rakama (çarpma veya bölme için) veya en soldaki son önemli basamak konumuna (toplama veya çıkarma için) yuvarlayın.

  • (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.69 4 4 × 1.2 = 4. 4 3328 ≈ 4.4.
  • (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15 9 943 + 1.2 = 4. 3 59943 ≈ 4.4.

Fazladan bir rakam tahmin etme

Cetvel kullanırken, ilk tahmin edilen rakam olarak başlangıçta en küçük işareti kullanın. Örneğin, bir cetvelin en küçük işareti 0,1 cm ise ve 4,5 cm okunuyorsa, en küçük işaret aralığına göre 4,5 (±0,1 cm) veya 4,4 cm ila 4,6 cm'dir. Bununla birlikte, pratikte bir ölçüm genellikle gözle cetvelin en küçük işareti arasındaki aralıktan daha yakın olarak tahmin edilebilir, örneğin yukarıdaki durumda 4,51 cm ile 4,53 cm arasında olduğu tahmin edilebilir.

Ayrıca, bir cetvelin toplam uzunluğunun en küçük işaret derecesine kadar doğru olmayabilmesi ve işaretlerin her bir birim içinde kusurlu bir şekilde aralıklı olması da mümkündür. Bununla birlikte, normal kaliteli bir cetvel varsayıldığında, fazladan bir ondalık basamağı elde etmek için en yakın iki işaret arasındaki ondalık değerleri tahmin etmek mümkün olmalıdır. Bunu yapmamak, cetvelin kalibrasyonundaki herhangi bir hataya cetvel okumadaki hatayı ekler.

İstatistikte tahmin

Bir popülasyonda belirli bir özelliği taşıyan bireylerin oranı, o popülasyonun rastgele bir örneğinden tahmin edilirken, anlamlı rakamların sayısı, o örnek boyutunun izin verdiği maksimum kesinliği aşmamalıdır.

Ölçümde doğruluk ve kesinlik ilişkisi

Geleneksel olarak, çeşitli teknik alanlarda "doğruluk", belirli bir ölçümün gerçek değerine yakınlığını ifade eder; "kesinlik", birçok kez tekrarlandığında bu ölçümün kararlılığını ifade eder. "Doğruluk" teriminin bilimsel toplulukta gerçekte nasıl kullanıldığını yansıtmayı umarak, aynı kesinlik tanımını koruyan ancak "doğruluk" terimini belirli bir ölçümün yakınlığı olarak tanımlayan yeni bir standart olan ISO 5725 vardır. gerçek değerine ulaşır ve doğruluk ve kesinliğin birleşimi olarak "doğruluk" terimini kullanır. ( Tam bir tartışma için Doğruluk ve kesinlik makalesine bakın.) Her iki durumda da, anlamlı rakamların sayısı kabaca kesinliğe karşılık gelir, kesinliğe veya daha yeni doğruluk kavramına değil.

bilgi işlemde

Kayan noktalı sayıların bilgisayar gösterimleri, genel olarak ikili sayılarla anlamlı rakamlara yuvarlamanın bir biçimini kullanır . Doğru anlamlı basamakların sayısı yakından kavramına ilgilidir bağıl hata (hassas daha doğru bir ölçüm olma avantajına sahiptir, ve bağımsız olarak radix , aynı zamanda kullanılan numara sisteminin, bir baz olarak da bilinir).

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar