Politop bileşiği - Polytope compound
Bir çok-yüzlü bileşik bir paylaşan birçok polihedrayı oluşan bir rakamdır ortak bir merkezi . Heksagram gibi çokgen bileşiklerin üç boyutlu analoglarıdır .
Bir bileşiğin dış köşeleri , dışbükey gövdesi adı verilen dışbükey bir çokyüzlü oluşturmak üzere birleştirilebilir . Bir bileşik, dışbükey gövdesinin bir yüzüdür .
Bir başka dışbükey çokyüzlü, bileşiğin tüm üyeleri için ortak olan küçük merkezi boşluk tarafından oluşturulur . Bu çokyüzlü, bir dizi yıldız için çekirdek olarak kullanılabilir .
düzenli bileşikler
Düzenli bir çokyüzlü bileşik, normal bir çokyüzlü gibi, tepe-geçişli , kenar-geçişli ve yüz-geçişli olan bir bileşik olarak tanımlanabilir . Çokyüzlülerin durumundan farklı olarak, bu, bayrakları üzerinde geçişli olarak hareket eden simetri grubuna eşdeğer değildir ; iki tetrahedranın bileşiği, bu özelliğe sahip tek düzenli bileşiktir. Beş düzenli polihedra bileşiği vardır:
Normal bileşik (Coxeter sembolü) |
Resim | Küresel | Dışbükey örtü | Ortak çekirdek | simetri grubu |
Bir bileşenle
sınırlayan alt grup |
Çift düzenli bileşik |
---|---|---|---|---|---|---|---|
İki dörtyüzlü {4,3}[2{3,3}]{3,4} |
Küp
|
oktahedron | * 432 [4,3] O h |
*332 [3,3] T d |
iki tetrahedra | ||
Beş dörtyüzlü {5,3}[5{3,3}]{3,5} |
on iki yüzlü
|
ikosahedron
|
532 [5,3] + Ben |
332 [3,3] + T |
Kiral ikiz (Enantiomorf) |
||
On dörtyüzlü 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5} |
on iki yüzlü
|
ikosahedron | * 532 [5,3] I h |
332 [3,3] T |
on dört yüzlü | ||
Beş küp 2{5,3}[5{4,3}] |
on iki yüzlü
|
eşkenar dörtgen
|
* 532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
beş oktahedra | ||
Beş oktahedra [5{3,4}]2{3,5} |
ikosidodekahedron
|
ikosahedron
|
* 532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
beş küp |
En iyi bilineni , genellikle stella octangula olarak adlandırılan ve ona Kepler tarafından verilen bir isim olan iki tetrahedranın düzenli bileşimidir . İki tetrahedranın köşeleri bir küpü tanımlar ve ikisinin kesişimi , bileşik ile aynı yüz düzlemlerini paylaşan düzenli bir oktahedronu tanımlar . Dolayısıyla iki dörtyüzlüden oluşan bileşik , oktahedronun bir yıldız şeklidir ve aslında onun tek sonlu yıldızıdır.
Beş tetrahedranın düzenli bileşimi, birlikte on tetrahedranın düzenli bileşimini oluşturan iki enantiomorfik versiyonda gelir . On tetrahedranın düzenli bileşimi, beş Stellae octangulae ile de oluşturulabilir.
Düzenli tetrahedral bileşiklerin her biri kendi kendine çift veya kiral ikizine göre ikili; beş küpün düzenli bileşimi ve beş oktahedranın düzenli bileşimi birbirine çifttir.
Bu nedenle, düzenli çokyüzlü bileşikler, çift düzenli bileşikler olarak da kabul edilebilir .
Coxeter'in düzenli bileşikler için notasyonu, Schläfli sembollerini içeren yukarıdaki tabloda verilmiştir . Köşeli parantez içindeki malzeme, [ d { p , q }], bileşiğin bileşenlerini gösterir: d ayrı { p , q }'ler. Köşeli parantezlerden önceki malzeme , bileşiğin tepe düzenini gösterir: c { m , n }[ d { p , q }], sayılan { m , n } köşelerini paylaşan d { p , q }'lerin bir bileşiğidir. c kez. Malzeme sonra [: köşeli parantez bileşik faset düzenlemesini gösterir d { s , q }] e { s , t bir bileşik} edilir d { p , q, {yüzlerini dövme} 'nin s , t sayılan} e kez. Bunlar birleştirilebilir: bu nedenle c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } d { p , q }'lerin { m , n } sayılan c kez köşelerini paylaştığı bir bileşiktir ve { s , t } yüzleri e kez sayıldı . Bu gösterim, herhangi bir sayıda boyuttaki bileşiklere genelleştirilebilir.
ikili bileşikler
Bir ikili bileşik, bir çokyüzlüden ve onun ikilisinden oluşur , ortak bir orta küre etrafında karşılıklı olarak düzenlenir , öyle ki bir çokyüzlülüğün kenarı ikili çokyüzlülüğün ikili kenarıyla kesişir. Düzenli çokyüzlülerin beş ikili bileşiği vardır.
Çekirdek, her iki katının da doğrultulmasıdır . Gövde, bu düzeltmenin ikilisidir ve eşkenar dörtgen yüzleri, iki katının kesişen kenarlarına köşegen olarak sahiptir (ve bunların dört alternatif köşesi vardır). Dışbükey katılar için bu, dışbükey gövdedir .
çift bileşik | Resim | gövde | Çekirdek | simetri grubu |
---|---|---|---|---|
İki tetrahedra ( İki tetrahedranın bileşimi , yıldız şeklinde oktahedron ) |
Küp | oktahedron | * 432 [4,3] O h |
|
Küp ve oktahedron ( küp ve oktahedron bileşiği ) |
eşkenar dörtgen | kübiktahedron | * 432 [4,3] O h |
|
Dodecahedron ve icosahedron ( Dodecahedron ve icosahedron bileşiği ) |
eşkenar dörtgen | ikosidodekahedron | * 532 [5,3] I h |
|
Küçük yıldız şeklinde onikiyüzlü ve büyük onikiyüzlü ( sD ve gD'nin Bileşiği ) |
Medial eşkenar dörtgen triacontahedron (Dışbükey: Icosahedron ) |
Dodecadodecahedron (Dışbükey: Dodecahedron ) |
* 532 [5,3] I h |
|
Büyük ikosahedron ve büyük yıldız şeklinde oniki yüzlü ( gI ve gsD'nin Bileşiği ) |
Büyük eşkenar dörtgen triacontahedron (Dışbükey: Dodecahedron ) |
Büyük icosidodecahedron (Dışbükey: Icosahedron ) |
* 532 [5,3] I h |
Tetrahedron kendi kendine çifttir, bu nedenle bir tetrahedronun dualiyle ikili bileşiği, düzenli yıldız şeklinde oktahedrondur .
Oktahedral ve ikosahedral çift bileşikler ilk stellations olan cuboctahedron ve icosidodecahedron sırasıyla.
tek tip bileşikler
1976'da John Skilling , dönme simetrisine sahip tekdüze çokyüzlülerden yapılmış 75 bileşiği (6 sonsuz prizmatik bileşik kümesi, #20-#25 dahil) sıralayan Tekdüze Çokyüzlülerin Tekdüzen Bileşiklerini yayınladı . (Her tepe noktası geçişlidir ve her tepe noktası diğer tüm tepe noktalarıyla geçişlidir.) Bu liste, yukarıdaki beş düzenli bileşiği içerir. [1]
75 üniform bileşik aşağıdaki Tabloda listelenmiştir. Çoğu, her bir çokyüzlü eleman tarafından tekil olarak renkli olarak gösterilir. Yüz gruplarının bazı kiral çiftleri, her çokyüzlü içindeki yüzlerin simetrisi ile renklendirilir.
- 1-19: Çeşitli (4,5,6,9,17 5 normal bileşiktir )
- 20-25: Prizma simetrisine gömülü prizma simetrisi ,
- 26-45: Oktahedral veya ikosahedral simetriye gömülü prizma simetrisi ,
- 46-67: Oktahedral veya ikosahedral simetriye gömülü tetrahedral simetri,
- 68-75: enantiomorf çiftleri
Diğer bileşikler
Dört küpün bileşiği (solda) ne düzenli bir bileşiktir, ne ikili bir bileşiktir, ne de tek biçimli bir bileşiktir. İkili, dört oktahedranın bileşimi (sağda), tek biçimli bir bileşiktir. |
Bileşik olan ancak öğelerini sıkıca yerine kilitleyen iki çokyüzlü, küçük karmaşık icosidodecahedron ( ikosahedron ve büyük dodecahedron bileşiği ) ve büyük karmaşık icosidodecahedron ( küçük yıldız şeklinde dodecahedron ve büyük ikosahedron bileşiği ). Düzgün bir çokyüzlü tanımı genelleştirilirse, bunlar tekdüzedir.
Skilling'in listesindeki enantiomorf çiftleri bölümü , pentagram yüzleri çakışacağından , iki büyük snub dodecicosidodecahedra'nın bileşiğini içermez . Çakışan yüzleri kaldırmak, yirmi oktahedranın bileşimiyle sonuçlanır .
4-politop bileşikleri
75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
---|
4 boyutta, düzenli politopların çok sayıda düzenli bileşikleri vardır. Coxeter , Düzenli Politoplar kitabında bunlardan birkaçını listeler . McMullen , New Regular Compounds of 4-Polytopes adlı makalesine altı tane ekledi .
Kendinden ikili:
Birleştirmek | kurucu | Simetri |
---|---|---|
120 5 hücre | 5 hücreli | [5,3,3], sipariş 14400 |
120 5-hücre (var) | 5 hücreli | sipariş 1200 |
720 5 hücreli | 5 hücreli | [5,3,3], sipariş 14400 |
5 24 hücre | 24 hücreli | [5,3,3], sipariş 14400 |
Çift çiftler:
bileşik 1 | bileşik 2 | Simetri |
---|---|---|
3 16 hücre | 3 tesseract | [3,4,3], sipariş 1152 |
15 16 hücre | 15 tesseract | [5,3,3], sipariş 14400 |
75 16 hücre | 75 tesseract | [5,3,3], sipariş 14400 |
75 16 hücre (var) | 75 tesseract (var) | 600 sipariş |
300 16 hücre | 300 tesseract | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
600 16 hücre | 600 tesseract | [5,3,3], sipariş 14400 |
25 24 hücre | 25 24 hücre | [5,3,3], sipariş 14400 |
Dışbükey 4-politoplu tek tip bileşikler ve ikililer:
Bileşik 1 Vertex-geçişli |
Bileşik 2 Hücre geçişli |
Simetri |
---|---|---|
2 16 hücre | 2 tesserat | [4,3,3], sipariş 384 |
100 24 hücre | 100 24 hücre | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
200 24 hücre | 200 24 hücre | [5,3,3], sipariş 14400 |
5 600 hücre | 5 120 hücre | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 600 hücre | 10 120 hücre | [5,3,3], sipariş 14400 |
25 24 hücre (var) | 25 24 hücre (var) | 600 sipariş |
Yukarıdaki tablolardaki üst simge (var), etiketli bileşiklerin, aynı sayıda bileşene sahip diğer bileşiklerden farklı olduğunu gösterir.
Düzenli yıldız 4 politoplu bileşikler
Kendinden çift yıldız bileşikleri:
Birleştirmek | Simetri |
---|---|
5 {5.5/2,5} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {5.5/2,5} | [5,3,3], sipariş 14400 |
5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], sipariş 14400 |
İkili bileşik yıldız çifti:
bileşik 1 | bileşik 2 | Simetri |
---|---|---|
5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], sipariş 14400 |
5 {5.5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {5.5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], sipariş 14400 |
5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], sipariş 14400 |
Tek tip bileşik yıldızlar ve ikililer :
Bileşik 1 Vertex-geçişli |
Bileşik 2 Hücre geçişli |
Simetri |
---|---|---|
5 {3,3,5/2} | 5 {5/2,3,3} | [5,3,3] + , sipariş 7200 |
10 {3,3,5/2} | 10 {5/2,3,3} | [5,3,3], sipariş 14400 |
İkili bileşikler
İkili pozisyonlar:
grup teorisi
Grup teorisi açısından , eğer G bir çokyüzlü bileşiğin simetri grubuysa ve grup çokyüzlüler üzerinde geçişli olarak hareket ediyorsa (böylece her çokyüzlü, tekdüze bileşiklerde olduğu gibi diğerlerinin herhangi birine gönderilebilir), o zaman H ise stabilizatör tek seçtikleri çokyüzlünün, çokyüzlüler ile tespit edilebilir yörünge alanı g / H - eşküme gH karşılık geldiği polihedron g tercih çokyüzlüler gönderir.
Fayans bileşikleri
Öklid düzleminin düzenli bileşik mozaiklerinin on sekiz iki parametreli ailesi vardır. Hiperbolik düzlemde, beş tek parametreli aile ve on yedi izole vaka bilinmektedir, ancak bu listenin eksiksizliği numaralandırılmamıştır.
Öklid ve hiperbolik bileşik aileleri 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p bir tamsayı), küresel yıldız sekizgeni , 2 {3,3} ile benzerdir .
Kendinden çift | çiftler | Kendinden çift | |
---|---|---|---|
2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
Beş veya daha fazla boyutta bilinen bir düzenli Öklid bileşik petek ailesi , tümü başka bir hiperkübik petek ile köşeleri ve yüzleri paylaşan sonsuz bir hiperkübik petek bileşikleri ailesidir . Bu bileşik, herhangi bir sayıda hiperkübik petek içerebilir.
Da vardır çift düzenli fayans bileşikleri. Basit bir örnek E 2 bir bileşiği altıgen fayanslar ve çift üçgen döşeme ile kenarlarını paylaşmaktadır, deltoidal trihexagonal döşeme . İki hiperkübik peteğin Öklid bileşikleri hem düzenli hem de çift düzenlidir.
Dipnotlar
Dış bağlantılar
- MathWorld: Çokyüzlü Bileşik
- Bileşik çokyüzlüler – Sanal Gerçeklik Çokyüzlülerinden
- Skilling'in 75 Tekdüzen Çokyüzlü Bileşiği
- Skilling'in Tekdüzen Çokyüzlülerinin Tekdüzen Bileşikleri
- Çokyüzlü Bileşikler
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Küçük Yıldızlı Dodekahedron ve Büyük Onikiyüzlü Bileşiği {5/2,5}+{5,5/2}
- Klitzing, Richard. "Bileşik politoplar" .
Referanslar
- Skilling, John (1976), "Tekbiçimli Çokyüzlülerin Tekbiçimli Bileşikleri", Cambridge Felsefe Topluluğunun Matematiksel Bildirileri , 79 : 447–457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554.
- Cromwell, Peter R. (1997), Çokyüzlü , Cambridge.
- Wenninger, Magnus (1983), İkili Modeller , Cambridge, İngiltere: Cambridge University Press, s. 51–53.
- Harman, Michael G. (1974), Çokyüzlü Bileşikler , yayınlanmamış el yazması.
- Hess, Edmund (1876), "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5-97.
- Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
- Normal Politoplar , (3. baskı, 1973), Dover baskısı, ISBN 0-486-61480-8
- Anthony Pugh (1976). Polyhedra: Görsel bir yaklaşım . California: California Press Berkeley Üniversitesi. ISBN'si 0-520-03056-7.P. 87 Beş düzenli bileşik
- McMullen, Peter (2018), "4-Politopların Yeni Düzenli Bileşikleri", Sezgisel Geometride Yeni Eğilimler , 27 : 307–320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12.