Kutup-sıfır arsa - Pole–zero plot

Gelen matematik , sinyal işleme ve kontrol teorisi , bir kutup-sıfır arsa bir grafik bir gösterimidir rasyonel transfer fonksiyonunun sistemi gibi belirli özellikleri iletmek üzere yardımcı karmaşık düzlemde:

istikrar
Nedensel sistem / nedensel olmayan sistem
Yakınsama bölgesi (ROC)
Minimum aşama / minimum olmayan aşama

Bir kutup-sıfır grafiğini göstermektedir kompleks düzlemde yer kutup ve sıfırlar arasında transfer fonksiyonunun a dinamik sistem , örneğin bir kontrolör, dengeleyicinin, sensör, eşitleyici, filtre ya da iletişim kanalı olarak,. Geleneksel olarak, sistemin kutupları çizimde X ile gösterilirken sıfırlar bir daire veya O ile gösterilir.

Kutup-sıfır grafiği, sürekli zamanlı (CT) veya ayrık zamanlı (DT) bir sistemi temsil edebilir. Bir CT sistemi için, kutupların ve sıfırların göründüğü düzlem , Laplace dönüşümünün s düzlemidir . Bu bağlamda, s parametresi , CT transfer fonksiyonunun alanı olan karmaşık açısal frekansı temsil eder . Bir DT sistemi için, düzlem z düzlemidir, burada z , Z-dönüşümünün alanını temsil eder .

Sürekli zamanlı sistemler

Genel olarak, sürekli zamanlı bir LTI sistemi için rasyonel bir transfer fonksiyonu şu şekildedir:

H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m} } \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1 }s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}

nerede

${\görüntüleme stili B}$ ve polinomlar , ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili s}$
${\görüntüleme stili M}$ pay polinomunun mertebesidir,
${\ Displaystyle b_{m}}$ olduğu m payı polinom-inci katsayısı,
${\görüntüleme stili N}$ payda polinomunun mertebesidir ve
${\ Displaystyle a_{n}}$ olduğu , n payda polinomun inci katsayısı.

M veya N veya her ikisi de sıfır olabilir, ancak gerçek sistemlerde şu şekilde olmalıdır ; aksi takdirde kazanç yüksek frekanslarda sınırsız olacaktır. ${\ Displaystyle M\leq N}$

Kutuplar ve sıfırlar

sistemin sıfırları, pay polinomunun kökleridir:

 $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$  such that  $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$

sistemin kutupları payda polinomunun kökleridir:

 $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$  such that  $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$  .

yakınsama bölgesi

Yakınsama bölgesi , belirli bir BT transfer fonksiyonu için (ROC) bir kutuplar içerir, bunlardan herhangi biri bir yarı düzlem veya dikey şerit gereklidir. Genel olarak, ROC benzersiz değildir ve herhangi bir durumda belirli ROC, sistemin nedensel veya anti-nedensel olmasına bağlıdır .

ROC, hayali ekseni içeriyorsa, sistem sınırlı girdi, sınırlı çıktı (BIBO) kararlıdır .
Eğer ROC, en büyük gerçek kısmı olan (ancak sonsuzda değil) kutuptan sağa doğru uzanıyorsa , sistem nedenseldir.
Eğer ROC en küçük gerçel kısmı olan (ancak negatif sonsuzda değil) kutuptan sola doğru uzanıyorsa, sistem anti-nedenseldir.

Çoğu pratik sistemin BIBO kararlılığına sahip olması önemli olduğundan, ROC genellikle hayali ekseni içerecek şekilde seçilir .

Örnek

H(s)={25 \overs^{2}+6s+25}

Bu sistemin (sonlu) sıfırları ve iki kutbu yoktur:

s=\alpha _{1}=-3+4j

ve

s=\alpha _{2}=-3-4j

Kutup-sıfır arsa şöyle olurdu:

Bu iki kutbun , sistemi temsil eden diferansiyel denklemde gerçek değerli katsayılara sahip olmak için gerekli ve yeterli koşul olan karmaşık eşlenikler olduğuna dikkat edin .

Ayrık zamanlı sistemler

Genel olarak, ayrık zamanlı bir LTI sistemi için rasyonel bir transfer fonksiyonu şu şekildedir:

H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^ {-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1 }z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2} z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}

nerede

${\görüntüleme stili M}$ pay polinomunun mertebesidir,
${\ Displaystyle b_{m}}$ olduğu m payı polinom-inci katsayısı,
${\görüntüleme stili N}$ payda polinomunun mertebesidir ve
${\ Displaystyle a_{n}}$ olduğu , n payda polinomu f inci katsayısı.

M veya N veya her ikisi de sıfır olabilir.

Kutuplar ve sıfırlar

$z=\beta _{m}$ bu şekilde olan sıfır sisteminin $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$
$z=\alpha _{n}$ öyle ki vardır kutupları sistemin. $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$

yakınsama bölgesi

Yakınsama bölgesi , belirli bir DT transfer fonksiyonu için (ROC) bir olduğu diski veya halka hiçbir direkleri içerir. Genel olarak, ROC benzersiz değildir ve herhangi bir durumda belirli ROC, sistemin nedensel veya anti-nedensel olmasına bağlıdır .

ROC birim çemberi içeriyorsa, sistem sınırlı girdi, sınırlı çıktı (BIBO) kararlıdır .
ROC, en büyük (ancak sonsuz olmayan) büyüklükle kutuptan dışarı doğru uzanıyorsa, sistem sağ taraflı bir dürtü yanıtına sahiptir. Eğer ROC en büyük büyüklüğe sahip kutuptan dışarı doğru uzanıyorsa ve sonsuzda kutup yoksa sistem nedenseldir.
ROC, en küçük (sıfır olmayan) büyüklükte kutuptan içeriye doğru uzanıyorsa, sistem nedensellik karşıtıdır.

Çoğu pratik sistemin BIBO kararlılığına sahip olması önemli olduğundan, ROC genellikle birim çemberi içerecek şekilde seçilir .

Örnek

Eğer ve tamamen çarpanlara ayrılırsa, çözümleri z-düzleminde kolaylıkla çizilebilir . Örneğin, aşağıdaki transfer fonksiyonu verildiğinde: ${\görüntüleme stili P(z)}$ ${\görüntüleme stili Q(z)}$