Optik teorem - Optical theorem

Olarak fizik , optik teoremi genel bir yasa dalga saçılma teorisi ileri ile ilgilidir, saçılma genliği , toplam olarak enine kesiti saçıcının. Genellikle şeklinde yazılır.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

Burada f (0), sıfır açısıyla saçılma genliğidir , yani uzak bir ekranın merkezine saçılan dalganın genliğidir ve k , gelen yöndeki dalga vektörüdür .

Optik teorisi tek kullanılarak elde edilir, çünkü bir enerji tasarrufu , ya da kuantum mekaniği gelen olasılık korunması , optik teoremi olarak, geniş bir uygulama alanı ve kuantum mekaniği , içerir , elastik ve elastik olmayan saçılma. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot}}}$

Genelleştirilmiş optik teoremi , ilk olarak türetilmiş, Werner Heisenberg , rasgele giden yol sağlar 'k :

${\displaystyle \int f(\mathbf {\hat {k}} ',\mathbf {\hat {k}} '')f(\mathbf {\hat {k}} '',\mathbf {\hat { k}} )~d\mathbf {\hat {k}} ''={\frac {4\pi }{k}}\mathrm {Im} ~f(\mathbf {\hat {k}} ',\ matematikbf {\hat {k}} ).}$

Orijinal optik teorem, izin verilerek kurtarılır . ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} '=\mathbf {\hat {k}} }$

Tarih

Optik teoremi aslen Wolfgang SELLMEIER ve bağımsız geliştirilen Rab Rayleigh Lord Rayleigh, ileri tanınan 1871 yılında saçılma genliği açısından kırılma indeksi olarak

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(burada N , saçıcıların sayı yoğunluğudur), gökyüzünün rengi ve kutuplaşması üzerine yaptığı bir çalışmada kullandı.

Denklem daha sonra birkaç kişi tarafından kuantum saçılma teorisine genişletildi ve bir 1939 makalesinden sonra Bohr-Peierls-Placzek ilişkisi olarak bilinmeye başladı . İlk kez 1955'te Hans Bethe ve Frederic de Hoffmann tarafından basılı olarak "optik teorem" olarak anıldı ve bir süre "optiklerin iyi bilinen teoremi" olarak biliniyordu.

türetme

Teorem, doğrudan bir skaler dalganın tedavisinden türetilebilir . Bir nesne üzerinde pozitif z ekseni boyunca bir düzlem dalga geliyorsa , saçıcıdan çok uzaktaki dalga genliği yaklaşık olarak şu şekilde verilir:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\yaklaşık e^{ikz}+f(\theta){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

Tüm yüksek terimler, kareleri alındığında, 'den daha hızlı kaybolur ve bu nedenle çok uzakta ihmal edilebilir. Küçük açıların büyük değerleri ve küçük açılar için bir Taylor açılımı bize ${\displaystyle 1/r^{2}}$${\görüntüleme stili z}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\yaklaşık z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z} }.}$

Şimdi yoğunluğun genliğin karesiyle orantılı olduğu gerçeğini kullanmak istiyoruz . Yaklaşık olarak , sahip olduğumuz ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili 1/r}$${\görüntüleme stili 1/z}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}|\psi |^{2}&\yaklaşık \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^ {ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik( x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2 })/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{hizalı}}}$

Terimi bırakırsak ve gerçeğini kullanırsak , ${\displaystyle 1/z^{2}}$${\displaystyle c+c^{*}=2\operatöradı {Re} {c}}$

${\displaystyle |\psi |^{2}\yaklaşık 1+2\operatöradı {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+ y^{2})/2z}\sağ]}.}$

Şimdi varsayalım entegre uzakta bir ekran üzerinde xy biz üzerinde yoğunluğu entegre olabilir küçük açılı yaklaşımlar uygun olduğu için yeterince küçük, fakat yeterince büyük olan düzlemde, hiç de x ve y önemsiz hata ile. Gelen optik , bu birçok saçaklar üzerinde toplanmasıyla eşdeğerdir kırınım deseni. Konuları daha da basitleştirmek için, yaklaşık . Elde ederiz ${\görüntüleme stili -\infty }$${\görüntüleme stili \infty }$${\görüntüleme stili f(\theta )=f(0)}$

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\yaklaşık A+2\operatöradı {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{- \infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

burada A , üzerine entegre edilen yüzeyin alanıdır. Bunlar uygun olmayan integraller olsa da, uygun ikamelerle üsler karmaşık Gaussianlara dönüştürülebilir ve belirli integraller değerlendirilir ve sonuç olarak:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatöradı {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{ \frac {2\pi z}{ik}}\sağ]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatöradı {Im} [f(0)].\end{ hizalı}}}$

Bu, saçıcının etkin saçılma kesiti olan bir miktar azaltılarak, hiçbiri saçılmamışsa ekrana ulaşma olasılığıdır . ${\displaystyle (4\pi /k)\operatöradı {Im} [f(0)]}$

Ayrıca bakınız

• S matrisi

Referanslar

• Roger G. Newton (1976). "Optik Teorem ve Ötesi". Ben. J. Fizik . 44 (7): 639-642. Bibcode : 1976AmJPh..44..639N . doi : 10.1119/1.10324 .
• John David Jackson (1999). Klasik Elektrodinamik . Hamilton Baskı Şirketi. ISBN'si 0-471-30932-X.