sekizgen - Octagon

normal sekizgen
normal bir sekizgen
Tür	düzgün çokgen
Kenarlar ve köşeler	8
Schläfli sembolü	{8}, t{4}
Coxeter diyagramı
simetri grubu	Dihedral (D 8 ), sipariş 2×8
İç açı ( derece )	135 °
Çift çokgen	öz
Özellikleri	Dışbükey , döngüsel , eşkenar , izogonal , izotoksal

İn geometrisi , bir sekizgen (dan Yunan ὀκτάγωνον oktágōnon , "Sekiz açılar"), sekiz yüzlü bir çokgen ya da 8-gon.

Bir normal sekizgen olan SCHLAFLI sembolü {8} ve quasiregular olarak da yapılabilir kesilmiş kare , t {4}, burada dönüşümlü kenarları iki tür. Kesik bir sekizgen, t{8} bir altıgendir , {16}. Sekizgenin bir 3D analogu, sekizgenin kesilmiş bir kare olduğu düşünülürse, üzerinde değiştirilen kenarlar gibi üçgen yüzleri olan eşkenar dörtgen olabilir .

Genel sekizgenin özellikleri

Herhangi bir sekizgenin tüm iç açılarının toplamı 1080°'dir. Tüm çokgenlerde olduğu gibi, dış açıların toplamı 360°'dir.

Kareler tüm dahili inşa edilir veya harici olarak bir sekizgen iki tarafta, daha sonra ters karelerin merkezleri bağlanan parçaların orta noktaları her ikisi olan bir dörtgen yapı meydana halinde equidiagonal ve orthodiagonal (diğer bir deyişle, olan çaprazlar uzunluğu ve sağ eşit olduğu birbirlerine açıları).

Orta nokta sekizgen bir referans sekizgen referans sekizgen yanlarında ortanoktalarda sekiz kesişim noktası var. Kareler, orta nokta sekizgenin kenarlarında tamamen içten veya tamamen dıştan inşa edilirse, karşıt karelerin merkezlerini birleştiren doğru parçalarının orta noktalarının kendileri bir karenin köşelerini oluşturur.

normal sekizgen

Bir normal sekizgen bir kapalı şekil aynı uzunlukta iki ve aynı büyüklükte iç açısı olan. Sekiz çizgili yansıtıcı simetriye ve 8 mertebeden dönme simetrisine sahiptir . Normal bir sekizgen Schläfli sembolü {8} ile temsil edilir . Düzgün bir sekizgenin her bir köşesindeki iç açı 135 °'dir ( radyan ). Merkezi açısı 45 ° 'de (bir radyan). ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

Alan

Bir kenar uzunluğu a olan düzgün bir sekizgenin alanı şu şekilde verilir:

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{ 2}.}$

Çevresel yarıçap R cinsinden , alan

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}$

Özne r açısından (ayrıca yazılı şekle bakınız ), alan

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{ 2}.}$

Bu son iki katsayı , birim çemberin alanı olan pi değerini parantez içine alır .

Alan olarak da ifade edilebilir

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

burada S , sekizgenin açıklığı veya ikinci en kısa köşegendir; ve a , kenarlardan veya tabanlardan birinin uzunluğudur. Bir sekizgen alınırsa, dış çevresine bir kare çizilirse (sekiz kenardan dördünün karenin dört kenarıyla örtüştüğünden emin olunarak ) ve ardından köşe üçgenleri alınırsa (bunlar 45-45-90 üçgenlerdir ) bu kolayca kanıtlanır. ve bunları içe dönük dik açılarla bir kare oluşturacak şekilde yerleştirir. Bu karenin kenarlarının her biri tabanın uzunluğudur.

Bir yan uzunluğu göz önüne alındığında , a , yayılma S olduğu

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\yaklaşık 2.414a.}$

Açıklık, o zaman, gümüş oranı çarpı kenar, a'ya eşittir .

Alan daha sonra yukarıdaki gibidir:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\yaklaşık 4.828 bir^{2}.}$

Açıklık cinsinden ifade edilen alan,

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\yaklaşık 0,828S^{2}.}$

Alan için başka bir basit formül

${\görüntüleme stili \ A=2aS.}$

Daha sık olarak, açıklık S bilinir ve kenarların uzunluğu, a , bir kare malzemeyi normal bir sekizgene keserken olduğu gibi belirlenir. Yukarıdan,

${\görüntüleme stili a\yaklaşık S/2.414.}$

Her iki taraftaki iki uç uzunluk e (kareden kesilmiş üçgenlerin (resimde yeşil) bacak uzunlukları) ve şu şekilde hesaplanabilir: ${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(Sa)/2.}$

Circumradius ve inradius

Bir kenar uzunluğu a cinsinden düzgün sekizgenin çevresi ,

${\displaystyle R=\sol({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\sağ)a,}$

ve inradius olduğunu

${\displaystyle r=\sol({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\sağ)a.}$

(bu, gümüş oranın yan, a veya açıklığın yarısı, S ' nin yarısıdır )

köşegenler

Bir kenar uzunluğu a açısından düzgün sekizgenin üç farklı köşegeni vardır :

• Kısa köşegen;
• Yarıçap uzunluğunun iki katı olan orta diyagonal (açıklık veya yükseklik olarak da adlandırılır);
• Çevresel yarıçapın iki katı olan uzun diyagonal.

Her birinin formülü, geometrinin temel ilkelerinden gelir. İşte uzunlukları için formüller:

• Kısa köşegen:  ;${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• Orta köşegen:  ; ( gümüş oran çarpı a)${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• Uzun diyagonal: .${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

İnşaat ve temel özellikler

Belirli bir çemberde düzgün bir sekizgen aşağıdaki gibi oluşturulabilir:

1. Bir daire ve bir AOE çapı çizin, burada O merkez ve A, E çember üzerindeki noktalardır.
2. AOE'ye dik başka bir GOC çapı çizin.
3. (A,C,E,G'nin bir karenin köşeleri olduğuna dikkat edin).
4. GOA ve EOG dik açılarının açıortaylarını çizerek iki çap daha HOD ve FOB yapın.
5. A,B,C,D,E,F,G,H sekizgenin köşeleridir.

Normal bir sekizgen, bir cetvel ve bir pergel kullanılarak 8 = 2 ³ , iki kuvvet olarak oluşturulabilir :

Normal sekizgen, meccano çubuklarla oluşturulabilir. 4 ebatında on iki çubuk, 5 ebatında üç çubuk ve 6 ebatında iki çubuk gereklidir.

Düzgün bir sekizgenin her bir kenarı, köşelerini birleştiren dairenin merkezinde yarım dik açıya sahiptir. Alanı böylece 8 ikizkenar üçgenin toplamı olarak hesaplanabilir ve şu sonuca varılır:

${\displaystyle {\text{Alan}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

a kenarının bir sekizgeni için .

standart koordinatlar

Orjin merkezli ve kenar uzunluğu 2 olan düzgün bir sekizgenin köşelerinin koordinatları:

• (±1, ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 ), ±1).

diseksiyon

8 küp projeksiyon	24 eşkenar dörtgen diseksiyon
	Düzenli	izotoksal

Coxeter , her zonogonun ( karşı kenarları paralel ve eşit uzunlukta 2 m -gon) m ( m -1)/2 paralelkenarlara ayrılabileceğini belirtir . Özellikle bu, eşit sayıda kenarı olan düzgün çokgenler için geçerlidir, bu durumda paralelkenarların hepsi eşkenar dörtgendir. İçin düzgün sekizgenin , m = 4, ve aşağıda gösterilen bir örnekle, 6 eşkenar dörtgenlerin ayrılabilir. Bu ayrışma , tesseract'ın bir Petrie poligon projeksiyon düzleminde 24 yüzün 6'sı olarak görülebilir . Listesi (sekans A006245 içinde OEIS ) bu bir diseksiyon 8 yönlendirmelerinden, 8 olarak çözeltiler sayısını tanımlar. Bu kareler ve eşkenar dörtgenler Ammann-Beenker döşemelerinde kullanılır .

Düzenli sekizgen disseke

Tesseract

4 eşkenar dörtgen ve 2 kare

Eğik sekizgen

Bir çarpık sekizgen , 8 köşesi ve kenarı olan, ancak aynı düzlemde bulunmayan bir çarpık çokgendir . Böyle bir sekizgenin içi genel olarak tanımlanmamıştır. Bir eğri zikzak sekizgen , iki paralel düzlem arasında değişen köşelere sahiptir.

Bir normal eğri sekizgen olan tepe-geçişli eşit kenar uzunluklarına sahip. 3 boyutlu olarak, zikzak eğri bir sekizgen olacaktır ve aynı D _4d , [2 ⁺ ,8] simetri, düzen 16 ile bir kare antiprizmanın köşelerinde ve yan kenarlarında görülebilir .

Petrie çokgenleri

Düzenli çarpık sekizgen, A ₇ , B ₄ ve D ₅ Coxeter düzlemlerinin bu çarpık ortogonal izdüşümlerinde gösterilen bu yüksek boyutlu düzenli ve tek biçimli politoplar için Petrie poligonudur .

bir 7	D 5	B 4
7-simpleks	5 demiküb	16 hücreli	Tesseract

sekizgen simetri

Simetri

Düzgün sekizgenin 11 simetrisi. Yansıma çizgileri köşelerden mavi, kenarlardan mor ve merkezde dönme düzenleri verilmiştir. Köşeler simetri konumlarına göre renklendirilir.

Muntazam bir sekizgen Dih sahip ₈ Dih: 3 dihedral alt gruplar bulunmaktadır 16. simetri, sipariş ₄ , Dih ₂ ve Dih ₁ ve 4 siklik alt gruplar : Z, ₈ , Z, ₄ , Z, ₂ ve Z, ₁ , herhangi bir simetri ima son .

Simetriye göre örnek sekizgenler

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

Düzgün sekizgende 11 farklı simetri vardır. John Conway tam simetriyi r16 olarak etiketler . Dihedral simetriler, köşelerden ( diyagonal için d ) veya kenarlardan ( dikler için p ) geçmelerine bağlı olarak bölünür . Orta sütundaki döngüsel simetriler , merkezi dönme sıraları için g olarak etiketlenir . Normal formun tam simetrisi r16'dır ve hiçbir simetri a1 olarak etiketlenmez .

En yaygın yüksek simetrili sekizgenler olan p8 , bir izogonal dört ayna tarafından yapılan sekizgen uzun ve kısa kenarları alternatif ve olabilir d8 , bir isotoxal sekizgen iki farklı iç açıları alternatif eşit kenar uzunlukları, ancak köşeleri ile inşa edilmiştir. Bu iki form birbirinin ikilidir ve normal sekizgenin simetri düzeninin yarısına sahiptir.

Her alt grup simetrisi, düzensiz formlar için bir veya daha fazla serbestlik derecesine izin verir. Yalnızca g8 alt grubunun serbestlik derecesi yoktur ancak yönlendirilmiş kenarlar olarak görülebilir .

sekizgenlerin kullanım alanları

Sekizgen şekil mimaride bir tasarım öğesi olarak kullanılır. Kubbet karakteristik sekizgen planı vardır. Rüzgar kulesi Atina sekizgen yapının bir başka örneğidir. Sekizgen plan, Aziz George Katedrali, Addis Ababa , San Vitale Bazilikası (Ravenna, İtalya), Castel del Monte (Apulia, İtalya), Floransa Vaftizhanesi , Zum Friedefürsten Kilisesi (Almanya) ve bir kilise mimarisinde de olmuştur. Norveç'te sekizgen kilise sayısı . Aachen Katedrali'ndeki merkezi alan , Carolingian Palatine Şapeli , düzenli sekizgen bir zemin planına sahiptir. Kilise beşgeni kullanımları, aynı zamanda, sekizgen olarak daha az tasarım öğeleri içerir apsis ve Nidaros Cathedral .

John Andrews gibi mimarlar , özellikle Washington DC'deki Intelsat Genel Merkezi , Canberra'daki Callam Ofisleri ve Parramatta , Avustralya'daki Sekizgen Ofisler gibi ofis alanlarını bina hizmetlerinden işlevsel olarak ayırmak için binalarda sekizgen zemin yerleşimlerini kullandılar .

Diğer kullanımlar

• 

  Şemsiyeler genellikle sekizgen bir dış hatlara sahiptir.

• 

  Ünlü Buhara halı tasarımında sekizgen bir "fil ayağı" motifi bulunur.

• 

  Sokak ve engelle düzeni Barcelona 'nın Eixample bölgesinde olmayan düzenli sekizgenlerin dayanmaktadır

• 

  Janggi sekizgen parçalar kullanır.

• 

  Japon piyango makineleri genellikle sekizgen bir şekle sahiptir.

• 

  İngilizce konuşulan ülkelerde ve çoğu Avrupa ülkesinde kullanılan dur işareti

• 

  Ortasında bir el olan bir dur işareti simgesi.

• 

  Arasında trigram'ların Tao Bagua genellikle sekizgen düzenlenir

• 

  Belitung gemi enkazından ünlü sekizgen altın kupa

• 

  Shimer College'da dersler geleneksel olarak sekizgen masaların etrafında yapılır.

• 

  Reims Katedrali Labirent yarı-sekizgen şekli ile.

• 

  Hareketi analog çubuk (s) Nintendo 64 kontrolörü , GameCube denetleyicisi , Wii Nunchuk ve Klasik Denetleyici sopa sadece sekiz farklı yönlere hareket sağlayan döndürülmüş sekizgen alanı tarafından kısıtlanır.

türetilmiş rakamlar

• 

  Kesilmiş kare fayans Her köşenin etrafında 2 adet sekizgen vardır.
  

• 

  Bir sekizgen prizma iki sekizgen yüzü var.
  

• 

  Bir sekizgen antiprizma iki sekizgen yüzü var.
  

• 

  Kesik cuboctahedron 6 sekizgen yüzleri içermektedir.
  

• 

  Omnitruncated kübik petek
  

İlgili politoplar

Sekizgen bir şekilde kesik kare , kesilmiş bir dizisinde ilk Hiperküpte :

Kesik hiperküpler

resim								...
isim	Sekizgen	kesilmiş küp	kesilmiş tesseract	5 küp kesilmiş	Kesik 6 küp	Kesik 7 küp	Kesilmiş 8 küp
Coxeter diyagramı
tepe şekli	( )v( )	( )v{ }	( )v{3}	( )v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

Bir de genişletilmiş bir kare, genişletilmiş Hiperküpte bir dizi ilk aynı zamanda:

Genişletilmiş hiperküpler

							...
Sekizgen	eşkenar dörtgen	Runcinated tesseract	5 küp	Pentellalı 6 küp	Hexated 7 küp	Heptellenmiş 8 küp

Ayrıca bakınız

• Tampon havuzu
• sekizgen ev
• sekizgen sayı
• oktagram
• Octahedron , sekiz yüzü olan 3D şekil.
• Oktogon , Budapeşte , Macaristan'da önemli bir kavşak
• Rub el Hizb (Al Quds Star ve Octa Star olarak da bilinir)
• düzleştirilmiş sekizgen

Referanslar

Dış bağlantılar

• Sekizgen Hesap Makinesi
• Bir sekizgenin tanımı ve özellikleri Etkileşimli animasyonlu