Tıkanma teorisi - Obstruction theory

In matematik , tıkanma teorisi iki farklı verilen bir isimdir matematiksel teorileri verim, her ikisi de KOHOMOLOJİK değişmezleri .

Stiefel ve Whitney'in orijinal çalışmasında , karakteristik sınıflar , doğrusal bağımsız vektörlerin belirli alanlarının varlığının önündeki engeller olarak tanımlandı . Engel teorisi, kohomoloji teorisinin bir demetin enine kesitini oluşturma problemine bir uygulaması olarak ortaya çıkıyor .

Homotopi teorisinde

Homotopi teorisindeki tıkanma teorisinin daha eski anlamı , basit bir kompleks veya CW kompleksi üzerinde tanımlanan sürekli bir haritalamayı genişletmek için boyuta göre endüktif olan prosedürle ilgilidir . Samuel Eilenberg'den sonra geleneksel olarak Eilenberg engelleme teorisi olarak adlandırılır . Uzantılara yönelik engelleri tanımlamak için homotopi gruplarında katsayıları olan kohomoloji gruplarını içerir . Örneğin, bir simpleksel karmaşık bir haritalama ile X başka, Y , başlangıçta tanımlanan 0-iskelet bölgesinin X (köşeler X ), 1-iskelet bir uzantısı mümkün olacaktır zaman 0-iskeletinin görüntü Y'nin aynı yola bağlı bileşenine ait olacaktır . 1-iskeletten 2-iskelete uzanmak, sınır kenarlarında zaten tanımlanmış olan eşleme göz önüne alındığında, X'ten her katı üçgen üzerindeki eşlemeyi tanımlamak anlamına gelir . Benzer şekilde, eşlemenin 3-iskelete genişletilmesi, eşlemenin sınırlarında zaten tanımlanmış olan eşleme göz önüne alındığında, X'in her katı 3-simpleksine genişletilmesini içerir .

Bir noktada, örneğin X'in (n-1) iskeletinden X'in n iskeletine kadar eşlemeyi genişletmek diyelim , bu prosedür imkansız olabilir. Bu durumda, her n-simpleks'e, sınırında zaten tanımlanmış olan eşlemenin homotopi sınıfı $π n-1 (Y)$ atanabilir (bunlardan en az biri sıfır olmayacaktır). Bu atamalar , katsayıları $π$ $n-1$ $($ $Y$ $)$ olan bir n-kod zincirini tanımlar . Şaşırtıcı bir şekilde, bu kod zinciri bir eş döngü haline gelir ve bu nedenle X'in n'inci kohomoloji grubundaki katsayıları $π$ $n-1$ $($ $Y$ $) olan$ bir kohomoloji sınıfını tanımlar . Bu kohomoloji sınıfı 0'a eşit olduğunda, eşlemenin X'in (n-1) iskeletindeki homotopi sınıfı içinde modifiye edilebileceği ve böylece eşlemenin X'in n iskeletine genişletilebileceği ortaya çıkar . Sınıf sıfıra eşit değilse, (n-1) iskeletindeki homotopi sınıfı göz önüne alındığında, eşlemenin n iskeleti üzerinde genişletilmesinin engellenmesi olarak adlandırılır.

Bir ana demetin bir bölümünü uzatmanın engellenmesi

İnşaat

Varsayalım ki $B$ a, basit bağlantılı simpleksel karmaşık ve $s : e \to Oda$ a, Faybreyşın elyaf ile $F$ . Ayrıca, kısmen tanımlanan olduğunu varsayalım bölüm $σ$ $n$ $:$ $B$ $n$ $\to$ $E$ ile $N$ -skeleton arasında $B$ .

Her için $(n + 1)$ -simplex $Ô$ içinde $B$ , $σ n$ sınır kısıtlanabilir $\partialΔ$ (topolojik olan $n$ -sphere ). Çünkü $p$ , her gönderir $σ n (\partialΔ)$ için geri $\partialΔ$ , $σ n$ tanımlayan bir harita $n$ için -sphere $p -1 (Δ)$ . Eşfaybreyşınlar homotopi kaldırma özelliğini tatmin ve Çünkü $Δ$ ise , kısaltılabilir ; $p -1 (Δ)$ olan Homotopy eşdeğeri için $F$ . Yani bu kısmen tanımlanmış bölüm, her $($ $n$ $+ 1)$ -simplex'e bir $π n (F)$ elemanı atar . Bu tam olarak, $B$ üzerindeki $n$ $+ 1$ dereceli bir $π$ $n$ $($ $F$ $)$ -değerli basit bir zincirinin , yani bir $C$ $n$ $+ 1$ $(B;$ $π$ $n$ $($ $F$ $))$ öğesinin verileridir . Bu zincir, obstrüksiyon zincir olarak adlandırılır çünkü sıfır olması, tüm bu $π$ $n$ $($ $F$ $)$ öğelerinin önemsiz olduğu anlamına gelir; bu, kısmen tanımlanmış bölümümüzün homotopi kullanılarak $($ $n$ $+ 1)$ iskeletine genişletilebileceği anlamına gelir. arasında (her $Δ$ sınırındaki kısmen tanımlanmış bölüm ) ve sabit harita.

Bu zincir zincirinin kısmen tanımlanmış bir bölümden geldiği gerçeği (tüm $(n + 1)$ basitlerinin tüm sınırlarından rastgele bir harita koleksiyonunun aksine ), bu zincir zincirinin bir ortak döngü olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir. Eğer biri , $($ $n$ $- 1)$ iskeletindeki orijinal ile uyuşan, kısmen tanımlanmış farklı bir $σ n$ bölümü ile başlanırsa, sonuçta ortaya çıkan eşdöngünün ilkinden bir ortak sınır ile farklı olacağı da kanıtlanabilir. Bu nedenle, $H$ $n$ $+ 1$ $($ $B$ $;$ $parti$ $n$ $($ $F$ $))$ kohomoloji grubunun iyi tanımlanmış bir elemanına sahibiz, öyle ki $($ $n$ $+ 1)$ iskeletinde kısmen tanımlanmış bir bölüm varsa, $($ $n$ $- 1)$ -skeleton, o zaman bu kohomoloji sınıfı önemsiz olmalı.

Biri gibi işlemler izin verirse tersi de doğrudur homotopi bölümlerde , yani bir harita $σ : B \to E$ öyle ki $p \circ σ$ üzerinde kimlik haritasına (eşit değil) homotopik olan $B$ . Böylece $(n + 1)$ iskeletinde homotopi'ye kadar olan bölümlerin varlığının tam bir değişmezliğini sağlar .

Başvurular

$N$ üzerinden indüklenerek , yukarıdaki kohomoloji sınıflarının sıfır olmayan ilki olarak bir bölüme bir birinci engel oluşturulabilir .
Bu, ana demetlerin önemsizleştirilmesine yönelik engelleri bulmak için kullanılabilir .
Çünkü herhangi harita Faybreyşın dönüştürülebilir , bu yapı içine bir haritanın (Homotopi kadar) asansör varlığına engel olup olmadığını görmek için kullanılabilecek $B$ içine bir haritaya $E$ dahi $s : E \to B$ ise bir yalan değil.
Postnikov sistemlerinin inşası için çok önemlidir .

Geometrik topolojide

Olarak geometrik topoloji , tıkanma teorisi zaman ile ilgilidir topolojik manifoldu bir sahiptir yapısı doğrusal parçalı ve zaman parçalı bir doğrusal manifold sahip diferansiyel yapısı .

En fazla 2 (Rado) ve 3 (Morse) boyutunda, topolojik manifoldlar ve parçalı doğrusal manifold kavramları çakışır. 4. boyutta aynı değiller.

En fazla 6 boyutta, parçalı doğrusal manifoldlar ve türevlenebilir manifoldlar kavramları çakışır.

Cerrahi teoride

İki temel soru cerrahi teorisi ile bir topolojik uzay olsun vardır n boyutlu Poincaré ikiliği olduğunu homotopi denk bir etmek n boyutlu manifoldu , ve aynı zamanda bir olsun homotopi eşdeğerliği ait n boyutlu manifoldu olan homotopik bir etmek Diffeomorfizm . Her iki durumda da n> 9 için iki engel vardır, bir vektör demetinin varlığına birincil topolojik K-teorisi engeli : eğer bu kaybolursa , cebirsel L-teorisindeki ikincil cerrahi tıkanıklığın tanımına izin veren normal bir harita vardır . homotopi denkliği elde etmek için normal harita üzerinde ameliyat yapmak .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Husemöller Dale (1994), Elyaf Demetleri , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
Steenrod, Norman (1951), Elyaf Demetlerinin Topolojisi , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0
Akrep, Alexandru (2005). 4-manifoldların vahşi dünyası . Amerikan Matematik Derneği. ISBN 0-8218-3749-4 .

Languages

In other projects