Napier'in kemikleri - Napier's bones

Rakamların kare kesitli çubuklar yerine dönen silindirler üzerinde olduğu, sıra dışı bir 18. yüzyıl Napier kemik seti

Napier'in kemikleri , İskoçya , Merchiston'dan John Napier tarafından , çarpımların ve sayıların bölümlerinin hesaplanması için oluşturulmuş, elle çalıştırılan bir hesaplama cihazıdır . Yöntem kafes çarpmasına dayanıyordu ve Napier tarafından icat edilen bir kelime olan 'rabdoloji' olarak da adlandırıldı. Napier kendi versiyonunu 1617'de yayınladı. Edinburg'da basıldı , patronu Alexander Seton'a ithaf edildi .

Çubuklara gömülü çarpım tabloları kullanılarak çarpma, toplama işlemlerine, bölme ise çıkarma işlemlerine indirgenebilir. Çubukların gelişmiş kullanımı karekök elde edebilir . Napier'in kemikleri, Napier'in adının da ilişkilendirildiği logaritmalarla aynı değildir , ancak disseke çarpım tablolarına dayanır.

Komple cihaz genellikle çerçeveli bir taban tahtası içerir; kullanıcı, çarpma veya bölme yapmak için Napier'in çubuklarını çemberin içine yerleştirir. Tahtanın sol kenarı, 1'den 9'a kadar sayıları tutan dokuz kareye bölünmüştür. Napier'in orijinal tasarımında, çubuklar metal, ahşap veya fildişinden yapılmıştır ve kare bir kesite sahiptir. Her çubuk, dört yüzün her birine bir çarpım tablosu ile oyulmuştur. Daha sonraki bazı tasarımlarda, çubuklar düzdür ve üzerlerinde iki masa veya sadece bir tane oyulmuş ve plastik veya ağır kartondan yapılmıştır. Bu tür kemiklerden oluşan bir set, bir taşıma çantasına konulabilir.

Bir çubuğun yüzü dokuz kare ile işaretlenmiştir. Üst kısım hariç her kare, sol alt köşeden sağ üste çapraz bir çizgi ile iki yarıya bölünür. Kareler basit bir çarpım tablosu içerir. İlki, Napier'in 'tek' dediği tek bir rakamı tutar. Diğerleri teklinin katlarını, yani iki katı, üç katı tekli vb. üst karedeki sayının dokuz katını içeren dokuzuncu kareye kadar tutar. Tek basamaklı sayılar sağ alt üçgene, diğer üçgen boş bırakılarak yazılır, çift basamaklı sayılar ise köşegenin her iki tarafında bir rakamla yazılır.

Tablolar tek taraflı çubuklarda tutuluyorsa, 4 basamaklı sayıları çarpmak için 40 çubuk gerekir - sayılar tekrar eden basamaklara sahip olabileceğinden, 0'dan 9'a kadar olan rakamların her biri için çarpım tablosunun dört kopyasına ihtiyaç vardır. Kare çubuklar kullanılıyorsa, 40 çarpım tablosu 10 çubuk üzerine yazılabilir. Napier, hiçbir çubukta aynı tablonun iki kopyası olmayacak ve olası her dört basamaklı sayının 10 çubuktan 4'ü tarafından temsil edilmesini sağlayacak şekilde tabloları düzenlemek için bir şemanın ayrıntılarını verdi. Napier'in 10 çubuğunun iki özdeş kopyasından oluşan 20 çubuk takımı, sekiz haneye kadar sayılarla hesaplamaya izin verir ve 12 haneli sayılar için 30 çubuk takımı kullanılabilir.

Çarpma işlemi

En basit çarpma türü, çok basamaklı bir sayı ile tek basamaklı bir sayı, çerçevedeki çok basamaklı sayıyı temsil eden çubukların sol kenara karşı yerleştirilmesiyle yapılır. Cevap, aşağıdaki örneklerde açıklandığı gibi, çerçevenin solunda işaretlenen tek haneli sayıya karşılık gelen satırdan, küçük bir miktar ekleme ile okunur.

Çok basamaklı bir sayıyı başka bir çok basamaklı sayı ile çarparken, çerçevedeki çubuklarda daha büyük sayı ayarlanır. Daha küçük sayının her bir basamağı ile çarpma için cihaz tarafından bir ara sonuç üretilir. Bunlar yazılır ve nihai sonuç kalem ve kağıt ile hesaplanır.

Napier'in kemiklerinin çarpma işlemi için nasıl kullanılacağını göstermek için, artan zorluk derecesine ilişkin üç örnek aşağıda açıklanmıştır.

Örnek 1 – küçük tek basamaklı bir sayı ile çarpma

İlk örnek 425 × 6 hesaplar .

Napier'in 4, 2 ve 5 numaralı kemikleri tahtaya yerleştirilir. Daha büyük sayı için kemikler çarpılır. Çarpım tablolarından elde edilen değerlere bir örnek olarak, 4 kemiğin yedinci sırasının değerleri 7 × 4 = 28'den türetilen  8 olacaktır . 425 × 6 için aşağıdaki örnekte kemikler sırasıyla kırmızı, sarı ve mavi olarak gösterilmiştir.

425 × 6 çözmenin ilk adımı

Kemiklerden herhangi birinin önündeki en soldaki sütun, 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 , 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 olduğundan, sol üstte bir boş alana veya sıfıra sahip olacak olan 1 kemik olarak temsil edilebilir. x 3 = 03 vb. Büyük sayıyı çarpmak için genellikle 2'den 9'a kadar küçük bir sayı seçilir. Bu örnekte, küçük sayı 6 ile çarpılır. Bu sayının bulunduğu satır, kalan hesaplamaları yapmak için gereken tek satırdır ve bu nedenle, açıklık için genellikle tahtanın geri kalanından izole edilir.

425 × 6 çözmenin ikinci adımı

Hesaplama her iki uçtan da başlatılabilir. Ürünlerin rakamlarını oluşturmak için dikey çizgilerle ayrılan değerler eklenir. Bu yatay kemik sırasında bulunan son sayı, her zaman son satırda izole edildiğinden hiçbir zaman ekleme gerektirmez. Her zaman ürünün "kişinin yerinde" bulunacaktır. Diğer basamaklar için dikey çizgilerle ayrılmış iki bitişik kemik numarası toplanır. Bu örnekte, çizgilerle ayrılmış dört grup kemik değeri olduğundan dört basamak vardır. Ürünün rakamları hesaplandıkları sırayla gider. Son (veya ilk) rakamın yanı sıra, ürünün rakamları iki farklı kemikten alınan iki değerin toplamı olacaktır.

425 × 6 çözmenin üçüncü adımı

Ürünün rakamlarını elde etmek için kemik değerleri eklenir. Sarı ve mavi kemiklerden üçüncü ürün basamağı, yeşil renkli ilgili değerlerine sahiptir. Her toplam aşağıdaki boşluğa yazılır. Soldan sağa toplamların sonuçları 2550'lik nihai cevabı verir. Bu nedenle, 425'i 6 ile çarpmanın çözümü 2550'dir.

Örnek 2 – daha büyük tek basamaklı bir sayı ile çarpma

Daha büyük tek basamaklarla çarparken, köşegen bir sütun eklendiğinde, sayıların toplamının 10 veya daha büyük bir sayı ile sonuçlanması yaygın bir durumdur.

İkinci örnek 6785 × 8 hesaplar .

Örnek 1 gibi, en büyük sayıya karşılık gelen kemikler tahtaya yerleştirilir. Bu örnek için, 6, 7, 8 ve 5 numaralı kemikler aşağıda gösterildiği gibi uygun sırada yerleştirildi.

6785 × 8 çözmenin ilk adımı

İlk sütunda en büyük sayının çarpıldığı sayı bulunur. Bu örnekte, sayı 8'dir. Kalan hesaplamalar için yalnızca 8. satır kullanılacaktır, bu nedenle kalan adımların açıklanmasında panonun geri kalanı netlik için temizlenmiştir.

6785 × 8 çözmenin ikinci adımı

Daha önce olduğu gibi, her köşegen sütun sağ taraftan başlayarak değerlendirilir. Köşegen bir sütunun toplamı 10 veya daha fazla ise, bu toplamın "onlar" hanesi aşağıda gösterildiği gibi bitişik sol sütundaki sayılarla birlikte taşınmalı ve eklenmelidir.

6785 × 8 çözmenin üçüncü adımı

Her çapraz sütun değerlendirildikten sonra, hesaplanan sayılar son bir yanıt üretmek için soldan sağa okunur; bu örnekte 54280 üretilmiştir.

Bu nedenle: 6785'i 8 ile çarpmanın çözümü 54280'dir.

Örnek 3 – çok basamaklı bir sayı ile çarpma

Üçüncü örnek, 825 × 913'ü hesaplar .

Baştaki numaraya karşılık gelen kemikler tahtaya yerleştirilir. Bu örnek için, 8, 2 ve 5 numaralı kemikler aşağıda gösterildiği gibi uygun sırada yerleştirildi.

825 × 913 çözmenin ilk adımı

Çok basamaklı bir sayı ile çarpmak için birden çok satır gözden geçirilir. Bu örnekte, 9, 1 ve 3 satırları, anlaşılır olması için tahtadan kaldırılmıştır.

825 × 913'ü çözmenin ikinci adımı

Her satır ayrı ayrı değerlendirilir ve her çapraz sütun önceki örneklerde açıklandığı gibi eklenir. Toplamlar soldan sağa okunur ve takip edilecek uzun el toplama hesaplamaları için gereken sayılar üretilir. Bu örnek için, aşağıda gösterilen sonuçları üretmek için 9. satır, 1. satır ve 3. satır ayrı ayrı değerlendirildi.

825 × 913 çözmenin üçüncü adımı

İkinci sayının en sağdaki basamağından başlanarak, yer tutucu için 0 kullanılarak toplamlar sıralı olarak satırlardan sağdan sola doğru alt alta yerleştirilir.

   2475
   8250
 742500

Sıralar ve yer tutucular, nihai bir cevap üretmek için toplanır.

    2475
    8250
+ 742500
  753225

Bu örnekte, üretilen son yanıt 753225'tir. Bu nedenle: 825'i 913 ile çarpmanın çözümü 753225'tir.

Bölüm

Bölme benzer şekilde yapılır. 46785399'u 96431'e bölmek için, bölen çubukları (96431) aşağıdaki grafikte gösterildiği gibi tahtaya yerleştirilir. Abaküs kullanılarak, 1'den 9'a kadar olan bölenin tüm ürünleri, görüntülenen sayılar okunarak bulunur. Temettü sekiz basamaklı, kısmi ürünlerin (birincisi hariç) hepsinin altı basamaklı olduğuna dikkat edin. Böylece 46785399'un son iki basamağı, yani '99' geçici olarak yok sayılır ve geriye 467853 sayısı kalır. Ardından, kesilen temettüden küçük olan en büyük kısmi ürün bulunur. Bu durumda, 385724. Şemada görüldüğü gibi iki şey işaretlenmelidir: 385724 abaküsün '4' satırında olduğundan, bölümün en soldaki basamağı olarak bir '4' aşağı işaretlenir; orijinal temettü altında sola hizalı kısmi ürün de yazılır. İki terim çıkarılır ve geriye 8212999 kalır. Aynı adımlar tekrarlanır: sayı altı basamağa kesilir, kesilen sayıdan hemen küçük olan kısmi çarpım seçilir, satır numarası bölümün bir sonraki basamağı olarak yazılır ve kısmi ürün, ilk tekrarda bulunan farktan çıkarılır. İşlem şemada gösterilmiştir. Çıkarma sonucu bölenden küçük olana kadar döngü tekrarlanır. Kalan sayı kalandır.

Napier-example-3.png

Yani bu örnekte, kalan 16364 ile 485'in bir bölümüdür. İşlem genellikle burada durur ve cevap 485 kesirli biçimini kullanır.+16364/96431.

Daha fazla doğruluk için, döngü gereken sayıda ondalık basamak bulmak için devam ettirilir. Bölümün son basamağından sonra bir ondalık nokta işaretlenir ve geriye kalan 163640'ı bırakan bir sıfır eklenir. Çıkarma işleminden sonra sonuca her seferinde bir sıfır eklenerek döngü devam eder.

karekök çıkarma

Karekök çıkarmak için, üç sütunlu olduğu için diğerlerinden farklı olarak ek bir kemik kullanılır. İlk sütunda ilk dokuz kare sayı, ikincisinde ilk dokuz çift sayı ve son sütunda 1'den 9'a kadar sayılar bulunur.

Karekök kemiği olan Napier çubukları
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01     2 1
2 02 04 06 08 10 12 14 16 18 04     4 2
3 03 06 09 12 15 18 21 24 27 09     6 3
4 04 08 12 16 20 24 28 32 36 16     8 4
5 05 10 15 20 25 30 35 40 45 25   10 5
6 06 12 18 24 30 36 42 48 54 36   12 6
7 07 14 21 28 35 42 49 56 63 49   14 7
8 08 16 24 32 40 48 56 64 72 64   16 8
9 09 18 27 36 45 54 63 72 81 81   18 9

46785399'un karekökünü bulmak için, rakamları sağdan başlayarak ikişerli olarak gruplandırılır, böylece şöyle görünür:

46 78 53 99
Not: 85399 gibi tek basamaklı bir sayı, 08 53 99 olarak gruplandırılacaktır.

İlk olarak en soldaki grup seçilir, bu durumda 46. Altıncı sıradan 36 olan karekök kemiğinin 46'dan küçük en büyük karesi alınır. Altıncı sıra seçildiği için çözümün ilk basamağı 6'dır.

Daha sonra karekök kemiği üzerindeki altıncı sıradan ikinci sütundaki sayı olan 12 tahtaya yazılır.

Altıncı satırın ilk sütunundaki değer olan 36, 46'dan çıkarılır ve geriye 10 kalır.

Bir sonraki basamak grubu olan 78, 10'un yanına eklenir; bu kalan 1078 bırakır.

Bu aşamada pano ve ara hesaplamalar şöyle görünmelidir:

  1 2
1 01 02 01     2 1
2 02 04 04     4 2
3 03 06 09     6 3
4 04 08 16     8 4
5 05 10 25   10 5
6 06 12 36   12 6
7 07 14 49   14 7
8 08 16 64   16 8
9 09 18 81   18 9
46 78 53 99    =    6
       − 36
         10 78

Her satırdaki sayılar, karekök kemiğinden ikinci ve üçüncü sütunları yok sayarak "okunur"; bunlar kaydedilir. (Örneğin, altıncı satır şu şekilde okunur: 06 12 36 → 756 ).

Daha önce gösterilen çarpma işleminde olduğu gibi, sayılar sağdan sola okunur ve köşegen sayılar sağ üstten sol alta toplanır ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).

Mevcut kalandan küçük olan en büyük sayı 1078 (sekizinci sıradan) bulunur.

  1 2 (değer)
1 01 02 01     2 1 121
2 02 04 04     4 2 244
3 03 06 09     6 3 369
4 04 08 16     8 4 496
5 05 10 25   10 5 625
6 06 12 36   12 6 756
7 07 14 49   14 7 889
8 08 16 64   16 8 1024
9 09 18 81   18 9 1161
46 78 53 99    =    6836
         10 78
       − 10 24
            54

Daha önce olduğu gibi, karekökün bir sonraki basamağını elde etmek için 8 eklenir ve sekizinci satırın değeri, 1024, mevcut kalan 1078'den çıkarılır ve 54 elde edilir. Sekizinci satırın ikinci sütunu karekök kemiğinde , 16 okunur ve sayı tahtaya aşağıdaki gibi ayarlanır.

Tahtadaki mevcut sayı 12'dir. 16'nın ilk basamağı 12'ye eklenir ve sonuca 16'nın ikinci basamağı eklenir. Bu nedenle, tahta şu şekilde ayarlanmalıdır:

12 + 1 = 13 → ekle 6 → 136
Not: Karekök kemiğinin ikinci sütununda yalnızca bir rakam varsa, bu, tahtadaki geçerli sayıya eklenir.

Tahta ve ara hesaplamalar artık böyle görünüyor.

  1 3 6
1 01 03 06 01     2 1
2 02 06 12 04     4 2
3 03 09 18 09     6 3
4 04 12 24 16     8 4
5 05 15 30 25   10 5
6 06 18 36 36   12 6
7 07 21 42 49   14 7
8 08 24 48 64   16 8
9 09 27 54 81   18 9
46 78 53 99    =    68
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53

Bir kez daha, en büyük değeri mevcut kısmi kalandan küçük olan satır, 5453 bulunur. Bu sefer 4089 ile üçüncü sıra.

  1 3 6  
1 01 03 06 01     2 1 1361
2 02 06 12 04     4 2 2724
3 03 09 18 09     6 3 4089
4 04 12 24 16     8 4 5456
5 05 15 30 25   10 5 6825
6 06 18 36 36   12 6 8196
7 07 21 42 49   14 7 9569
8 08 24 48 64   16 8 10944
9 09 27 54 81   18 9 12321
46 78 53 99    =    68336
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64

Karekökün bir sonraki basamağı 3'tür. Daha önce olduğu gibi aynı adımlar tekrarlanır ve bir sonraki kalan olarak 1364'ü elde etmek için mevcut kalan 5453'ten 4089 çıkarılır. Tahta yeniden düzenlendiğinde, karekök kemiğinin ikinci sütunu 6, tek basamaklıdır. Yani tahtadaki mevcut sayıya 6 eklenir, 136, tahtada 1366 bırakmak için.

136 → ekleme 6 → 1366
  1 3 6 6
1 01 03 06 06 01     2 1
2 02 06 12 12 04     4 2
3 03 09 18 18 09     6 3
4 04 12 24 24 16     8 4
5 05 15 30 30 25   10 5
6 06 18 36 36 36   12 6
7 07 21 42 42 49   14 7
8 08 24 48 48 64   16 8
9 09 27 54 54 81   18 9
46 78 53 99    =    683
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99

İşlem tekrar tekrar edilir. Şimdi, tahtadaki mevcut kalandan daha küçük olan en büyük değer, 136499, dokuzuncu sıradan 123021'dir.

Cevabı almak için her satırın değerinin bulunması gerekmez. Cevabın bulunduğu satır, ilk birkaç kemiğin üzerindeki sayıya bakılarak ve kalanın ilk birkaç basamağıyla karşılaştırılarak tahmin edilebilir. Ancak diyagramlar, anlaşılır kılmak için tüm satırların değerini gösterir.

Sonuca 9 eklenir ve mevcut kalandan 123021 çıkarılır.

  1 3 6 6  
1 01 03 06 06 01     2 1 13661
2 02 06 12 12 04     4 2 27324
3 03 09 18 18 09     6 3 40989
4 04 12 24 24 16     8 4 54656
5 05 15 30 30 25   10 5 68325
6 06 18 36 36 36   12 6 81996
7 07 21 42 42 49   14 7 95669
8 08 24 48 48 64   16 8 109344
9 09 27 54 54 81   18 9 123021
46 78 53 99    =    683936
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78

Tüm rakamlar kullanılmışsa ve bir kalan kaldıysa, tamsayı kısmı çözülür, ancak yine de bir kesirli bitin bulunması gerekir.

Tamsayı kısmı çözülürse, mevcut sonucun karesi ( 6839 2 = 46771921 ) 46785899'dan küçük en büyük tam kare olmalıdır.

Bu fikir daha sonra tekniğin nasıl çalıştığını anlamak için kullanılır, ancak daha fazla rakam üretilebilir.

Uzun bölmede kesirli kısmı bulmaya benzer şekilde , yeni kalanı elde etmek için kalana iki sıfır eklenir 1347800. Karekök kemiğinin dokuzuncu sırasının ikinci sütunu 18'dir ve tahtadaki mevcut sayı 1366'dır.

1366 + 1 → 1367 → 8 ekle → 13678

tahtada 13678 olarak hesaplanır.

Tahta ve ara hesaplamalar şimdi böyle görünüyor.

  1 3 6 7 8
1 01 03 06 07 08 01     2 1
2 02 06 12 14 16 04     4 2
3 03 09 18 21 24 09     6 3
4 04 12 24 28 32 16     8 4
5 05 15 30 35 40 25   10 5
6 06 18 36 42 48 36   12 6
7 07 21 42 49 56 49   14 7
8 08 24 48 56 64 64   16 8
9 09 27 54 63 72 81   18 9
46 78 53 99.00    =    6839.
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00

1231101 ile dokuzuncu satır, kalandan daha küçük olan en büyük değerdir, bu nedenle karekökün kesirli kısmının ilk basamağı 9'dur.

  1 3 6 7 8  
1 01 03 06 07 08 01     2 1 136781
2 02 06 12 14 16 04     4 2 273564
3 03 09 18 21 24 09     6 3 410349
4 04 12 24 28 32 16     8 4 547136
5 05 15 30 35 40 25   10 5 683925
6 06 18 36 42 48 36   12 6 820716
7 07 21 42 49 56 49   14 7 957509
8 08 24 48 56 64 64   16 8 1094304
9 09 27 54 63 72 81   18 9 1231101
46 78 53 99.00    =    6839.936
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00
           − 1 23 11 01
               11 66 99

Dokuzuncu satırın değeri kalandan çıkarılır ve yeni kalan 11669900'ü elde etmek için birkaç sıfır daha eklenir. Dokuzuncu satırdaki ikinci sütun, tahtada 13678 ile 18'dir, yani

13678 + 1 → 13679 → 8 ekle → 136798

tahtada 136798 olarak hesaplanır.

  1 3 6 7 9 8
1 01 03 06 07 09 08 01     2 1
2 02 06 12 14 18 16 04     4 2
3 03 09 18 21 27 24 09     6 3
4 04 12 24 28 36 32 16     8 4
5 05 15 30 35 45 40 25   10 5
6 06 18 36 42 54 48 36   12 6
7 07 21 42 49 63 56 49   14 7
8 08 24 48 56 72 64 64   16 8
9 09 27 54 63 81 72 81   18 9
46 78 53 99.00 00    =    6839.9
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00
           − 1 23 11 01
               11 66 99 00

Adımlar, gereken sayıda basamağı bulmak ve gereken hassasiyete ulaşılıp ulaşılmadığını bulmak için devam ettirilebilir. Kalan sıfır olursa, bu tam karekökün bulunduğu anlamına gelir.

Yuvarlama

İstenen basamak sayısını bulduktan sonra, yuvarlamaya gerek olup olmadığını belirlemek kolaydır; yani, son haneyi değiştirmek. 5'e eşit veya 5'ten büyük olup olmadığını görmek için başka bir rakam bulunmasına gerek yoktur, köke 25 eklenir ve kalanla karşılaştırılır; kalandan küçük veya ona eşitse, sonraki basamak en az beş olur ve yuvarlama gerekir. Yukarıdaki örnekte 6839925, 11669900'den küçüktür, bu nedenle kökün 6840.0'a yuvarlanması gerekir.

Tam sayı olmayan bir sayının karekökünü bulmak için, diyelim ki 54782.917, ondalık noktanın solundaki ve sağındaki rakamların ikişerli olarak gruplanması dışında her şey aynıdır.

Böylece 54782.917 şu şekilde gruplandırılır:

05 47 82.91 70

Daha sonra, daha önce bahsedilen işlem kullanılarak karekök bulunabilir.

diyagonal modifikasyon

19. yüzyılda, Napier'in kemikleri daha kolay okunabilmesi için dönüştürüldü. Çubuklar, eklenmesi gereken üçgenlerin hizalanması için yaklaşık 65°'lik bir açıyla yapılmıştır. Bu durumda, çubuğun her karesinde birim sağda ve on (veya sıfır) soldadır.

Napier Modifikasyonu.png

Çubuklar, dikey ve yatay çizgiler, çubukların dokunduğu çizgiden daha görünür olacak şekilde yapıldı ve sonucun her bir basamağının iki bileşeninin okunmasını kolaylaştırdı. Böylece, resimde hemen açıktır:

987654321 × 5 = 4938271605

Genaille-Lucas hükümdarları

1891'de Henri Genaille , Napier'in kemiklerinin bir çeşidini icat etti ve bu, Genaille-Lucas hükümdarları olarak bilinir hale geldi . Taşımayı grafiksel olarak temsil ederek , basit çarpma problemlerinin sonuçları, ara zihinsel hesaplamalar olmadan doğrudan okunabilir.

Aşağıdaki örnekte 52749 × 4 = 210996 hesaplanır .

Genaille-Lucas cetvelleri örneği 5.png

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar