Milenyum Ödülü Sorunları - Millennium Prize Problems

Millennium Ödülü Sorunları yedi idi çözülmemiş problemler de matematik belirttiği edildi Clay Matematik Enstitüsü'nün 24 Mayıs tarihinde, 2000 problemler vardır Birch ve Swinnerton-Dyer varsayım , Hodge varsayım , Navier-Stokes varlığı ve pürüzsüzlüğü , P ile NP arasındaki ilişki , Poincare varsayımı , Riemann hipotezi ve Yang-Mills varlığı ve kütle boşluğu . Problemlerden herhangi birinin doğru çözümü , enstitü tarafından keşfeden(ler)e 1 milyon ABD Doları ödül verilmesiyle sonuçlanır.

Bugüne kadar çözülmüş olan tek Millennium Prize problemi , 2003 yılında Rus matematikçi Grigori Perelman tarafından çözülen Poincaré varsayımıdır . Para ödülünü reddetti.

Çözülmüş sorun

poincare varsayımı

2. boyutta, bir küre , tek kapalı ve basit bağlantılı yüzey olmasıyla karakterize edilir. Poincaré varsayımı, bunun 3. boyutta da doğru olduğunu belirtir. Bu, tüm 3-manifoldları sınıflandırmaya ilişkin daha genel problemin merkezinde yer alır . Varsayımın kesin formülasyonu şunları belirtir:

Her basit bağlantılı , kapalı 3-manifoldu olduğu homeomorphic için 3-küre .

Bu varsayımın bir kanıtı 2003 yılında Grigori Perelman tarafından verildi . Perelman'ın çözümü Richard Hamilton'ın Ricci akışı teorisine dayanıyordu . Bununla birlikte, bu çözüm Perelman'ın büyük orijinal ilerlemelerini içeriyordu ve Cheeger, Gromov ve Perelman'ın kendisinden kaynaklanan metrik uzayları üzerindeki sonuçlardan yararlandı. Perelman ayrıca William Thurston'un, Poincare varsayımı olmadan Poincaré varsayımı kanıtının mümkün olmayacağı özel bir durumu olan Geometrikleştirme Varsayımını da kanıtladı; incelemesi Ağustos 2006'da tamamlandı. Perelman, 18 Mart 2010'da resmi olarak Millennium Ödülü'ne layık görüldü, ancak aynı zamanda Fields Madalyası ile yaptığı gibi, Clay Mathematics Institute'dan ödülü ve ilgili para ödülünü de reddetti . Interfax haber ajansının aktardığına göre Perelman, Poincaré varsayımını çözmeye yaptığı katkının Hamilton'dan daha büyük olmadığını düşündüğü için ödülün adaletsiz olduğuna inandığını söyledi.

çözülmemiş sorunlar

Huş ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Huş ve Swinnerton-Dyer tanımlayanlar: denklemlerin bazı türleri ile fırsatları varsayım eliptik eğrileri üzerinde rasyonel sayılar . Varsayım, bu tür denklemlerin sonlu veya sonsuz sayıda rasyonel çözümü olup olmadığını söylemenin basit bir yolu olduğudur. Hilbert'in onuncu problemi , daha genel bir denklem türüyle ilgiliydi ve bu durumda, belirli bir denklemin herhangi bir çözümü olup olmadığına karar vermenin hiçbir yolu olmadığı kanıtlandı.

Sorunla ilgili resmi açıklama Andrew Wiles tarafından yapıldı .

Riemann zeta'nın reel kısmı (kırmızı) ve sanal kısmı (mavi), Re( s ) = 1/2 kritik çizgisi boyunca çalışır . İlk önemsiz sıfırlar Im( s ) = ±14.135, ±21.022 ve ±25.011'de görülebilir.

Hodge varsayımı

Hodge varsayım için olmasıdır yansıtmalı cebirsel çeşitleri , Hodge döngüleri rasyonel doğrusal kombinasyonlar arasında cebirsel döngüsü .

${\displaystyle \operatöradı {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Biz buna X üzerinde 2 k dereceli Hodge sınıfları grubu diyoruz .

Hodge varsayımının modern ifadesi:

Let X'in bir tekil olmayan kompleks yansıtmalı manifoldu. Daha sonra her Hodge sınıfı X kompleks alttürlere kohomolojinin sınıflarının rasyonel katsayılı bir lineer kombinasyonudur X .

Sorunla ilgili resmi açıklama Pierre Deligne tarafından yapıldı .

Navier-Stokes varlığı ve pürüzsüzlüğü

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Varyation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace { (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Konveksiyon}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Atalet (hacim başına)}} \overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffüzyon}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text {Dahili}}\\{\text{kaynak}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Stres Iraksama}}+\alt ayraç {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text {Harici}}\\{\metin{kaynak}}\end{smalmatrix}}.}$

Navier Stokes denklemlerinin hareketini tarif sıvıların ve ayaklarından biri akışkan mekaniği . Bununla birlikte, bilim ve mühendislikteki önemine rağmen, çözümlerinin teorik olarak anlaşılması eksiktir. Üç boyutlu denklem sistemi için ve bazı başlangıç ​​koşulları verildiğinde, matematikçiler henüz düzgün çözümlerin her zaman var olduğunu kanıtlamadılar . Buna Navier-Stokes varlığı ve düzgünlük problemi denir .

Sıkıştırılamaz bir akışkan durumuyla sınırlı olan problem, ya belirli koşulları karşılayan düzgün, küresel olarak tanımlanmış çözümlerin var olduğunu ya da her zaman var olmadıklarını ve denklemlerin bozulduğunu kanıtlamaktır. Sorunla ilgili resmi açıklama Charles Fefferman tarafından yapıldı .

P'ye karşı NP

Euler diyagramı için P , NP , NP -Komple ve NP (aittir boş dili hariç ve tamamlayıcısı, sorunların -Zor kümesi P ama değil NP -tamamlamak)

Soru, bir algoritmanın verilen bir çözümü hızlı bir şekilde (yani polinom zamanında ) doğrulayabildiği tüm problemler için , bir algoritmanın da bu çözümü hızlı bir şekilde bulup bulamayacağıdır . Birincisi NP olarak adlandırılan problem sınıfını, ikincisi ise P'yi tanımladığı için, soru NP'deki tüm problemlerin de P'de olup olmadığını sormaya eşdeğerdir. Bu genellikle matematik ve teorik bilgisayar bilimlerindeki en önemli açık sorulardan biri olarak kabul edilir. matematikteki diğer problemlere ve biyolojiye , felsefeye ve kriptografiye geniş kapsamlı sonuçları olduğu için (bkz. P'ye karşı NP problem kanıtlama sonuçları ). P'de olduğu bilinmeyen bir NP probleminin yaygın bir örneği, Boolean tatmin edilebilirlik problemidir .

Çoğu matematikçi ve bilgisayar bilimci, P ≠ NP'nin; ancak, kanıtlanmamış kalır.

Sorunla ilgili resmi açıklama Stephen Cook tarafından yapıldı .

Riemann hipotezi

${\displaystyle \zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1} {2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Riemann zeta fonksiyonu ζ (ler) olan bir argüman s değerleri de karmaşıktır, herhangi bir karmaşık 1 dışında numarası ve olabilen bir fonksiyonudur. Negatif çift tamsayılarda sıfırları vardır; yani ζ(s) = 0, s -2, -4, -6, ...'dan biri olduğunda. Bunlara onun önemsiz sıfırları denir. Ancak, zeta fonksiyonunun sıfır olduğu tek değerler negatif çift tam sayılar değildir. Diğerlerine önemsiz sıfırlar denir. Riemann hipotezi, bu önemsiz sıfırların konumlarıyla ilgilidir ve şunları belirtir:

Riemann zeta fonksiyonunun her önemsiz sıfırın gerçek kısmı 1/2'dir.

Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonunun analitik devamının önemsiz olmayan tüm sıfırlarının ¹ / _2'nin gerçek bir kısmına sahip olmasıdır . Bunun ispatı veya ispatı, sayı teorisinde , özellikle asal sayıların dağılımı için geniş kapsamlı etkilere sahip olacaktır . Bu Hilbert'in sekizinci problemiydi ve bir asır sonra hala önemli bir açık problem olarak kabul ediliyor.

Sorunla ilgili resmi açıklama Enrico Bombieri tarafından yapıldı .

Yang-Mills varlığı ve kütle boşluğu

Olarak kuantum alan teorisi , kütle aralığı vakum ve bir sonraki en düşük arasındaki enerji farkıdır enerji durumuna . Vakumun enerjisi tanım olarak sıfırdır ve tüm enerji durumlarının düzlem dalgalardaki parçacıklar olarak düşünülebileceğini varsayarsak, kütle aralığı en hafif parçacığın kütlesidir.

Belirli bir gerçek alan için , iki nokta fonksiyonunun özelliği varsa, teorinin kütle boşluğu olduğunu söyleyebiliriz.${\görüntüleme stili \phi (x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\sağ)}$

ile Hamiltoniyenin spektrumunda en az enerji değeri ve bu şekilde kütle aralığı olan. Diğer alanlara genellemesi kolay olan bu miktar, genellikle kafes hesaplamalarında ölçülen şeydir. ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

Kuantum Yang-Mills teorisi , temel parçacık fiziğinin gerçekliğine ve potansiyel gerçekliklerine yönelik teorik düşünce uygulamalarının çoğunluğu için mevcut temeldir . Teori bir genellemedir Maxwell teorisi elektromanyetizma kromo -Elektromanyetik alan kendisi yükü taşır. Klasik bir alan teorisi olarak, kuantum versiyonunun kütlesiz parçacıkları ( gluonlar ) tanımlaması için ışık hızında hareket eden çözümlere sahiptir . Bununla birlikte, varsayılan renk hapsi fenomeni, yalnızca büyük parçacıklar oluşturan gluonların bağlı durumlarına izin verir. Bu kütle boşluğudur . Kapatmanın bir başka yönü, kuantum Yang-Mills teorisinin düşük enerji ölçekleriyle kısıtlama olmaksızın var olduğunu akla getiren asimptotik özgürlüktür . Sorun, kuantum Yang-Mills teorisinin varlığını ve bir kütle boşluğunu kesin olarak ortaya koymaktır.

Herhangi bir küçük, basit göstergesi grubu G, önemsiz olmayan bir kuantum Yang Mills teorisi var olduğunu kanıtlamak ve kitlesel boşluk Δ sahiptir> 0 bulunması belirtilen kadar kuvvetli en az belitsel özellikler oluşturma içerir STREATER ve Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) ve Osterwalder & Schrader (1975) .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Sorunun resmi açıklaması Arthur Jaffe ve Edward Witten tarafından verildi .

Ayrıca bakınız

• Beal'in varsayımı
• Hilbert'in sorunları
• matematik ödülleri listesi
• Matematikte çözülmemiş problemlerin listesi
• Smale'in sorunları
• Paul Wolfskehl ( Fermat'ın Son Teoreminin çözümü için para ödülü teklif etti )

Referanslar

• Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki Millennium Problems'den materyal içermektedir .

Kaynaklar

• Österwalder, K.; Schrader, R. (1973). "Öklid Green'in fonksiyonları için aksiyomlar". Matematiksel Fizikte İletişim . 31 (2): 83–112. Bibcode : 1973CMaPh..31...83O . doi : 10.1007/BF01645738 . S2CID  189829853 .
• Österwalder, K.; Schrader, R. (1975). "Öklid Green'in fonksiyonları II için Aksiyomlar". Matematiksel Fizikte İletişim . 42 (3): 281–305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/BF01608978 . S2CID  119389461 .
• Streater, R.; Wightman, A. (1964). PCT, Spin ve İstatistik ve hepsi bu . WA Benjamin.

daha fazla okuma

• Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew , ed. (2006). Milenyum Ödülü Sorunları . Providence, RI: American Mathematical Society ve Clay Mathematics Institute . ISBN'si 978-0-8218-3679-8.
• Devlin, Keith J. (2003) [2002]. Milenyum Problemleri: Zamanımızın Çözülmemiş En Büyük Yedi Matematik Bulmacası . New York: Temel Kitaplar. ISBN'si 0-465-01729-0.

Dış bağlantılar

• Milenyum Ödülü Sorunları