meridyen yayı - Meridian arc

Gelen jeodezide , bir meridyen yay olan eğri Dünya yüzeyinin aynı olan iki nokta arasındaki boylam . Terim , meridyenin bir bölümüne veya uzunluğuna atıfta bulunabilir .

Meridyen yaylarını ölçmenin amacı , Dünya'nın bir şeklini belirlemektir . Meridyen yaylarının bir ya da daha fazla ölçüm şeklini anlaması için kullanılabilir elips referans en iyi tahmin eder geoidi ölçümlerinin bölgesinde. Dünya çapında birçok meridyen boyunca çeşitli enlemlerdeki meridyen yaylarının ölçümleri , tüm dünyaya uyması amaçlanan bir yer merkezli elipsoidi tahmin etmek için birleştirilebilir .

Küresel bir Dünya'nın boyutunun en erken tespiti, tek bir yay gerektiriyordu. 19. yüzyılda başlayan doğru araştırma çalışmaları , anketin yapılacağı bölgede birkaç yay ölçümü gerektirdi ve bu da dünya çapında referans elipsoidlerin çoğalmasına yol açtı. En son tespitler , referans elipsoidleri, özellikle şu anda WGS 84 gibi küresel koordinat sistemleri için kullanılan jeosentrik elipsoidleri belirlemek için astro-jeodezik ölçümleri ve uydu jeodezisi yöntemlerini kullanır ( sayısal ifadelere bakın ).

Ölçüm tarihi

küresel dünya

Dünya'nın büyüklüğü Erken tahminler M.Ö. 4. yüzyılda Yunanistan'dan kaydedildi ve en âlimlerden olan halife 'ın Bilgelik Evi 9. yüzyılda. İlk gerçekçi değer İskenderiyeli bilim adamı Eratosthenes tarafından MÖ 240 civarında hesaplanmıştır . Meridyenin 252.000 stadia uzunluğa sahip olduğunu ve gerçek değerde -%2,4 ile +%0,8 arasında bir hata olduğunu tahmin etti (stadion için 155 ila 160 metre arasında bir değer varsayılarak). Eratosthenes, tekniğini henüz korunmamış olan On the Measure of the Earth (Dünyanın Ölçüsü Üzerine) adlı kitabında anlatmıştır . Benzer bir yöntem yaklaşık 150 yıl sonra Posidonius tarafından kullanılmış ve 827'de Halife Memun'a atfedilen yay ölçüm yöntemiyle biraz daha iyi sonuçlar hesaplanmıştır .

elipsoidal dünya

Erken literatür, "kutuplarda ezilmiş" bir küreyi tanımlamak için oblate sferoid terimini kullanır . Modern edebiyat , sferoid yerine devrim elipsoidi terimini kullanır , ancak "devrimin" niteleyici sözcükleri genellikle atılır. Bir elipsoid devrim bir elips olmayan bir triaksial elipsoid denir. Sferoid ve elipsoid , bu makalede birbirinin yerine kullanılır, belirtilmemişse oblate ima edilir.

17. ve 18. yüzyıllar

Klasik antik çağlardan beri Dünya'nın küresel olduğu bilinmesine rağmen , 17. yüzyılda, mükemmel bir küre olmadığına dair kanıtlar birikiyordu. 1672'de Jean Richer , yerçekiminin Dünya üzerinde sabit olmadığına dair ilk kanıtı buldu (Dünya bir küre olsaydı böyle olurdu); o bir aldı sarkaçlı saat için Cayenne , Fransız Guyanası ve kayıp olduğu tespit 2+Paris'teki hızına kıyasla günde 1 ⁄ 2 dakika. Bu, yerçekimi ivmesinin Cayenne'de Paris'tekinden daha az olduğunu gösterdi. Sarkaç gravimetreler dünyanın uzak bölgelerine sefer alınacak başladı ve yavaş yavaş artan bu yerçekimi artar sorunsuz keşfedildi enlem , yer çekimi ivmesi de% 0.5 fazla, yaklaşık olarak coğrafi kutuplarda olduğundan daha Ekvator .

1687 yılında Newton yayınlanan etmişti Principia Dünya, kutuplardan basık bir olduğuna dair bir kanıt olarak küremsi ait düzleşme eşit1/230. Bu, bazı Fransız bilim adamları tarafından tartışıldı, ancak hepsi değil. Jean Picard'ın bir meridyen yayı, 1684-1718 döneminde Giovanni Domenico Cassini ve oğlu Jacques Cassini tarafından daha uzun bir yaya genişletildi . Yay, en az üç enlem belirlemesiyle ölçüldü, böylece yayın kuzey ve güney yarımları için ortalama eğrilikleri çıkarabildiler ve genel şeklin belirlenmesine izin verdiler. Sonuçlar, Dünya'nın bir prolate sferoid olduğunu gösterdi (ekvator yarıçapı kutup yarıçapından daha az). Bu sorunu çözmek için Fransız Bilimler Akademisi (1735) Peru'ya ( Bouguer , Louis Godin , de La Condamine , Antonio de Ulloa , Jorge Juan ) ve Lapland'a ( Maupertuis , Clairaut , Camus , Le Monnier , Abbe Outhier, Anders) keşif gezileri önerdi. Santigrat ). Peru'ya yapılan keşif, Fransız Jeodezi Misyonu makalesinde, Lapland'a yapılan keşif ise Torne Valley makalesinde anlatılmaktadır. Ekvator ve kutup enlemlerinde elde edilen ölçümler, Dünya'nın en iyi Newton'u destekleyen basık bir sferoid tarafından modellendiğini doğruladı. Ancak, 1743'te Clairaut'un teoremi Newton'un yaklaşımını tamamen destekledi.

Yüzyılın sonuna gelindiğinde, Delambre ifade edilip Fransız yay uzatmış Dunkirk için Akdeniz'de ( Delambre ve Mechain meridyen yayı ). Dört ara enlem belirlemesiyle beş parçaya bölündü. Ölçümler Peru yayı için yapılan ölçümlerle birleştirilerek elipsoid şekil parametreleri belirlendi ve Ekvator ile Paris Meridyeni boyunca kutup arasındaki mesafe şu şekilde hesaplandı.5 130 762  toises olarak Paris'te standart toise çubukla belirtildi. Bu mesafeyi tam olarak tanımlamak10 000 000  m , yeni bir standart sayaç çubuğunun yapımına yol açtı.0.513 0.762  toises.

19. yüzyıl

19. yüzyılda, birçok gökbilimci ve jeodezist, Dünya'nın farklı meridyen yayları boyunca eğriliği hakkında ayrıntılı çalışmalarla meşguldü. Analizler, Plessis 1817, Airy 1830, Bessel 1830 , Everest 1830 ve Clarke 1866 gibi çok sayıda model elipsoid ile sonuçlandı . Dünya elipsoidi altında kapsamlı bir elipsoid listesi verilmiştir .

deniz mili

Tarihsel olarak bir deniz mili , küresel bir dünyanın meridyeni boyunca bir dakikalık yayın uzunluğu olarak tanımlandı. Bir elipsoid model, deniz milinin enlemle değişmesine yol açar. Bu, deniz milinin tam olarak 1.852 metre olarak tanımlanmasıyla çözüldü. Ancak, tüm pratik amaçlar için mesafeler, haritaların enlem ölçeğinden ölçülür. As Kraliyet Yatçılık Derneği için manuel diyor gün kaptanların : en pratik amaçlar mesafeye için takip "Enlem = 1 deniz mili 1 (dakika)"" enlem bir dakika deniz birine eşit olduğunu varsayarak, enlem ölçeğinden ölçülür mil".

Hesaplama

Bir küre üzerinde, meridyen yay uzunluğu basitçe dairesel yay uzunluğudur . Bir dönüş elipsoidinde, kısa meridyen yayları için uzunlukları, Dünya'nın meridyen eğrilik yarıçapı ve dairesel yay formülasyonu kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanabilir . Daha uzun yaylar için uzunluk, iki meridyen mesafesinin çıkarılmasından , yani ekvatordan φ enlemindeki bir noktaya olan mesafeden elde edilir . Bu, harita projeksiyonları teorisinde, özellikle de enine Mercator projeksiyonunda önemli bir problemdir .

Ana elisoidal parametreler, a , b , f 'dir , ancak teorik çalışmada, özellikle eksantriklik , e ve üçüncü düzleştirme n olmak üzere ekstra parametreleri tanımlamak yararlıdır . Bu parametrelerden sadece ikisi bağımsızdır ve aralarında birçok ilişki vardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {ab}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {ab }{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\, ,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{hizalı}}}$

Tanım

Eğrilik yarıçapı meridyen eşit olacak şekilde gösterilebilir:

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

Meridyenin sonsuz küçük bir elemanının yay uzunluğu dm = M ( φ ) dφ'dir ( radyan cinsinden φ ile). Bu nedenle, enlem Ekvatordan meridyen mesafe cp olan

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2} )\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d \varphi \,.\end{hizalı}}}$

Parametrik enlem cinsinden yazıldığında uzaklık formülü daha basittir ,

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \, ,}$

burada tan β = (1 − f )tan φ ve e ′ ² =e ²/1 - e ².

Enlem normalde aralıkla sınırlı olsa da [−π/2,π/2] , burada verilen tüm formüller tam meridyen elipsinin (anti-meridyen dahil) etrafındaki mesafeyi ölçmek için geçerlidir. Böylece φ , β ' nin aralıkları ve doğrultucu enlem μ , sınırsızdır.

eliptik integrallerle ilişkisi

Yukarıdaki integral, üçüncü türden tamamlanmamış bir eliptik integralin özel bir durumuyla ilgilidir . Çevrimiçi NIST el kitabının gösteriminde ( Bölüm 19.2(ii) ),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

İkinci türden eksik eliptik integraller cinsinden de yazılabilir (Bkz. NIST el kitabı Bölüm 19.6(iv) ),

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt { 1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\sağ)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\ varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\sağ)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{hizalı}}}$

Eliptik integrallerin ve yaklaşımların hesaplanması (keyfi kesinliğe göre) NIST el kitabında da tartışılmaktadır. Bu işlevler ayrıca Mathematica ve Maxima gibi bilgisayar cebir programlarında da uygulanmaktadır.

Seri genişletmeler

Yukarıdaki integral, bir Taylor serisindeki integralin genişletilmesi, elde edilen integrallerin terim terim gerçekleştirilmesi ve sonucun bir trigonometrik seri olarak ifade edilmesiyle sonsuz bir kesik seri olarak ifade edilebilir. 1755'te Euler , üçüncü eksantrikliğin karesinde bir genişleme elde etti .

Eksantriklikteki genişlemeler ( e )

1799'da Delambre , e ^2'de yaygın olarak kullanılan bir genişleme elde etti ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4 \varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \sağ)\,,}$

nerede

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{ \tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{ 8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096} }e^{8}-\cdots ,\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+ {\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots,\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105} {4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{hizalı}}}$

Rapp, bu sonucun ayrıntılı bir türevini verir.

Üçüncü düzleştirmedeki genişlemeler ( n )

Eksantriklik yerine üçüncü düzleştirme n cinsinden genişleterek önemli ölçüde daha hızlı yakınsayan seriler elde edilebilir . Onlar tarafından ilişkilidir

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

1837 yılında, Bessel tarafından açık bir forma içerisine konulmuştur böyle bir dizi elde Helmert ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \sağ)\,,}$

ile birlikte

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\ cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\ tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64} }n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{hizalı}}}$

Çünkü , n işareti değiştirdiğinde bir ve b tokuş ve kullanılan başlangıç faktör nedeniyle1/2( a + b ) bu değiş tokuş altında sabittir, H _{2 k} açılımlarındaki terimlerin yarısı yok olur.

Seri, a veya b ile başlangıç ​​faktörü olarak yazılarak ifade edilebilir, örneğin,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+ n^{4}-\cdots )\,,}$

ve sonucu n'de bir seri olarak genişletmek . Bu, serilerin daha yavaş yakınsamasına neden olsa da, bu tür seriler , National Geospatial Intelligence Agency ve Büyük Britanya Ordnance Survey tarafından enine Merkatör projeksiyonu için spesifikasyonda kullanılmaktadır .

Parametrik enlem cinsinden seriler

1825 yılında, Bessel parametrik enlem açısından meridyen mesafenin bir genişleme elde edilen p üzerine çalışmaları ile ilgili olarak Geodezikler ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \sağ)\,,}$

ile birlikte

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\ cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{ 6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{ \tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{hizalı }}}$

Bu seri, ikinci türden eliptik integral için bir açılım sağladığından, yay uzunluğunu coğrafi enlem cinsinden şu şekilde yazmak için kullanılabilir:

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^ {2}}}}\sağ)\,.}$

genelleştirilmiş seri

Yukarıdaki seri, eksantriklikte sekizinci sıraya veya üçüncü düzleştirmede dördüncü sıraya kadar milimetrik doğruluk sağlar. Sembolik cebir sistemlerinin yardımıyla, karasal uygulamalar için tam çift hassasiyetli doğruluk sağlayan üçüncü düzleştirmede altıncı sıraya kolayca genişletilebilirler.

Delambre ve Bessel, serilerini keyfi bir düzende genelleştirilmelerine izin veren bir biçimde yazdılar. Bessel serisindeki katsayılar özellikle basit bir şekilde ifade edilebilir.

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{ k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{durumlar}}}$

nerede

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!! \,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

ve k !! bir çift faktörlü yineleme ilişkisi ile negatif değerlere uzatılmış,: (1) !! = 1 ve (−3)!! = -1 .

Helmert serisindeki katsayılar benzer şekilde genel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Bu sonuç Helmert tarafından tahmin edildi ve Kawase tarafından kanıtlandı.

Faktörü (1-2 k ) (1 + 2 k ) açısından dizi zayıf yakınsama sonuçlanır cp içinde bir oranla p .

sayısal ifadeler

Yukarıda verilen trigonometrik seri, Clenshaw toplamı kullanılarak rahatlıkla değerlendirilebilir . Bu yöntem, trigonometrik fonksiyonların çoğunun hesaplanmasını önler ve serilerin hızlı ve doğru bir şekilde toplanmasına izin verir. Teknik aynı zamanda m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) farkını yüksek göreli doğruluğu korurken değerlendirmek için de kullanılabilir .

WGS84 elipsoidinin yarı ana ekseni ve eksantrikliği için değerlerin değiştirilmesi,

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132,952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi + 16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.0000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metre}}\\&=\left(111\,132,952 \,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^ {-6}\,\sin 8\beta \sağ){\mbox{ metre,}}\end{hizalı}}}$

nerede φ ⁽ ° ⁾ =φ/1°olduğu φ derece olarak ifade (ve benzer şekilde, için P ⁽ ° ⁾ ).

De paralel arasındaki tam mesafe elips üzerinde φ ₁ ve j ₂ olduğu m ( φ ₁ -) m ( φ ₂ ) . WGS84 için, φ enlemindeki daireden ±0.5°'deki iki paralel arasındaki Δ m uzaklığı için yaklaşık bir ifade şu şekilde verilir:

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metre.}}}$

Çeyrek meridyen

Kutup için ekvator mesafe çeyrek meridyen (analog çeyrek daire olarak da bilinir), toprak kadran , bir

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\sağ)\,.}$

Metrenin ve deniz milinin tarihsel tanımının bir parçasıydı .

Çeyrek meridyen , ikinci türün tam eliptik integrali cinsinden ifade edilebilir ,

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(yani').}$

nerede birinci ve ikinci eksantriklikler . ${\görüntüleme stili e,e'}$

Çeyrek meridyen ayrıca aşağıdaki genelleştirilmiş serilerle verilir:

${\displaystyle m_{\mathrm {p}}={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\ toplam _{j=0}^{\infty }\sol({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\sağ)^{2}n^{2j}\,, }$

( c ₀ formülü için yukarıdaki # Genelleştirilmiş seriler bölümüne bakınız.) Bu sonuç ilk olarak Ivory tarafından elde edilmiştir.

WGS84 elipsoidi üzerindeki çeyrek meridyenin sayısal ifadesi şu şekildedir:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}}$

Kutup Dünyası'nın çevresi basitçe dört kez çeyrek meridyendir:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

Çevre meridyen elips de bir doğrultucu daire çevresi formunda yeniden olabilir Cı- _p = 2π E _r . Bu nedenle, doğrultucu Dünya yarıçapı :

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Olarak değerlendirilebilir 6 367 449 .146 m .

Elipsoid için ters meridyen problemi

Bazı problemlerde, ters problemi çözebilmemiz gerekir: verilen m , φ 'yi belirleyin . Bu , yinelenen Newton yöntemiyle çözülebilir.

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,, }$

yakınsama kadar. Uygun bir başlangıç ​​tahmini φ ₀ = μ ile verilir, burada

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

olan rektifiye enlem . Bunun yerine eğriliğin meridyen yarıçapı M ( φ ) formülü kullanılabileceğinden, m ( φ ) için serileri ayırt etmeye gerek olmadığına dikkat edin .

Alternatif olarak, Helmert'in meridyen mesafesi için serisi,

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8 }\sin 8\mu +\cdots }$

nerede

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H' _{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2} -{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\ bitiş{hizalı}}}$

Benzer şekilde, için Bessel serisi m açısından p vermek döndürülebilir

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8 }\sin 8\mu +\cdots ,}$

nerede

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B' _{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2} -{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\ bitiş{hizalı}}}$

Legendre, bir sferoid üzerindeki bir jeodezik boyunca olan mesafenin, bir elipsin çevresi boyunca olan mesafe ile aynı olduğunu gösterdi. Bu nedenle, m için β cinsinden ifade ve tersi yukarıda verilen jeodezik problemin çözümünde, m yerine s , jeodezik boyunca mesafe ve β yerine σ , üzerindeki yay uzunluğu ile jeodezik problemin çözümünde önemli bir rol oynar . yardımcı küre Altıncı mertebeye uzatılan gerekli seriler Karney, Eqs. (17) ve (21), £ değerinin rolü oynayan , n ve τ rolü oynayan ^ ı .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

• Farklı jeodezik referans elipsoidleri üzerinde meridyen yaylarının çevrimiçi hesaplanması