Stres (mekanik) - Stress (mechanics)

Stres
Plastik İletki Polarize 05375.jpg
Plastik bir iletki içindeki artık gerilimler polarize ışık tarafından ortaya çıkar .
Ortak semboller
σ
SI birimi paskal
Diğer birimler
inç kare başına lbf ( lbf/in 2 ) psi, bar
İçinde temel SI birimleri Pa = kgm -1s -2
Boyut

Olarak sürekli mekanik , stres a, fiziksel bir miktar iç ifade kuvvetleri komşu olduğu parçacıkları , birbirlerine sürekli bir malzeme uygulamak arasında ise gerilme malzemenin deformasyon ölçüsüdür. Örneğin, katı bir dikey çubuk bir üst ağırlığı desteklediğinde , çubuktaki her parçacık, hemen altındaki parçacıkları iter. Bir sıvı basınç altında kapalı bir kapta olduğunda , her bir parçacık çevresindeki tüm parçacıklar tarafından itilir. Konteyner duvarları ve basınç indükleyen yüzey (piston gibi) (Newtonian) reaksiyonunda onlara doğru iter . Bu makroskopik kuvvetler aslında çok sayıda moleküller arası kuvvetin ve bu moleküllerdeki parçacıklar arasındaki çarpışmaların net sonucudur . Stres sıklıkla küçük bir Yunan harfi sigma ( σ ) ile temsil edilir .

Bir malzemenin içindeki gerilme , dış kuvvetlerin dökme malzemeye ( yerçekimi gibi ) veya yüzeyine ( temas kuvvetleri , dış basınç veya sürtünme gibi ) uyguladığı stres gibi çeşitli mekanizmalarla ortaya çıkabilir . Katı bir malzemenin herhangi bir gerinimi (deformasyonu) , bir yayın reaksiyon kuvvetine benzer şekilde , malzemeyi orijinal deforme olmamış durumuna geri döndürme eğiliminde olan bir dahili elastik stres oluşturur . Sıvılarda ve gazlarda , yalnızca hacmi değiştiren deformasyonlar kalıcı elastik stres oluşturur. Bununla birlikte, eğer deformasyon zamanla kademeli olarak değişirse, sıvılarda bile, genellikle bu değişime karşı bir miktar viskoz stres olacaktır . Elastik ve viskoz gerilmeler genellikle mekanik gerilme adı altında birleştirilir .

Mekanik stres

Deformasyon ihmal edilebilir olduğunda veya olmadığında bile önemli stres mevcut olabilir (su akışını modellerken yaygın bir varsayım). Dış kuvvetlerin yokluğunda stres olabilir; bu tür yerleşik stres , örneğin öngerilmeli beton ve temperli camda önemlidir . Örneğin sıcaklık veya kimyasal bileşimdeki değişiklikler veya harici elektromanyetik alanlar ( piezoelektrik ve manyetostriktif malzemelerde olduğu gibi) gibi net kuvvetler uygulanmadan bir malzemeye stres de uygulanabilir .

Miktarlar yeterince küçükse, pratikte doğrusal bir yaklaşım yeterli olsa da , mekanik stres, deformasyon ve deformasyon değişim hızı arasındaki ilişki oldukça karmaşık olabilir. Malzemenin belirli dayanım sınırlarını aşan stres, kalıcı deformasyona ( plastik akış , kırılma , kavitasyon gibi ) neden olacak ve hatta kristal yapısını ve kimyasal bileşimini değiştirecektir .

Bazı branşlarda ise mühendislik terimi stres bazen "iç güç" ile eşanlamlı olarak daha gevşek anlamda kullanılır. Örneğin, kafes kirişlerin analizinde , kuvvetin kesit alanına bölünmesinden ziyade, bir kirişe etki eden toplam çekme veya sıkıştırma kuvvetine atıfta bulunabilir .

Tarih

İsviçre'de Roma dönemi köprüsü
Apurimac Nehri üzerindeki İnka köprüsü

Antik çağlardan beri insanlar, malzemelerin içindeki stresin bilinçli olarak farkındadır. 17. yüzyıla kadar, stres anlayışı büyük ölçüde sezgisel ve ampirikti; ve yine de, kompozit yay ve cam üfleme gibi şaşırtıcı derecede karmaşık bir teknolojiyle sonuçlandı .

Birkaç bin yıl boyunca, özellikle mimarlar ve inşaatçılar, başlıklar , kemerler , kubbeler , kafes kirişler ve kirişler gibi ustaca cihazlarla strese en etkili şekilde dayanmak, iletmek ve dağıtmak için dikkatlice şekillendirilmiş ahşap kirişleri ve taş blokları nasıl bir araya getireceklerini öğrendiler. uçan payandalar arasında Gotik katedraller .

Antik ve ortaçağ mimarları, sütunların ve kirişlerin uygun boyutlarını hesaplamak için bazı geometrik yöntemler ve basit formüller geliştirdiler, ancak stresin bilimsel olarak anlaşılması ancak 17. ve 18. yüzyıllarda gerekli araçlar icat edildikten sonra mümkün oldu: Galileo Galilei'nin titiz deneysel çalışması. yöntem , Rene Descartes'ın 'nin koordinat ve analitik geometri ve Newton ' nin hareket ve denge kanunları ve sonsuz küçükler hesabı . Bu araçlarla, Augustin-Louis Cauchy homojen bir ortamda stres için ilk titiz ve genel matematiksel modeli verebildi. Cauchy, hayali bir yüzey üzerindeki kuvvetin, normal vektörünün lineer bir fonksiyonu olduğunu gözlemledi; ve dahası, simetrik bir fonksiyon olmalıdır (sıfır toplam momentumlu).

Sıvılardaki stresin anlaşılması, paralel laminer akışta sürtünme kuvvetleri (kesme gerilimi) için diferansiyel bir formül sağlayan Newton ile başladı .

genel bakış

Tanım

Gerilme, sınırın tüm yönelimleri için, o sınırın birim alanı başına "küçük" bir sınır boyunca geçen kuvvet olarak tanımlanır. Temel bir fiziksel nicelikten (kuvvet) ve tamamen geometrik bir nicelikten (alandan) türetilen stres, aynı zamanda , malzemenin veya malzemenin doğası açıkça dikkate alınmadan ölçülebilen ve analiz edilebilen hız, tork veya enerji gibi temel bir niceliktir . fiziksel nedenleri.

Sürekli ortam mekaniğinin temel önermelerini takip eden stres, makroskopik bir kavramdır. Yani, tanımında ve analizinde ele alınan parçacıklar, bileşim ve halde homojen olarak ele alınacak kadar küçük, ancak yine de kuantum etkilerini ve moleküllerin ayrıntılı hareketlerini görmezden gelecek kadar büyük olmalıdır . Böylece, iki parçacık arasındaki kuvvet, aslında, molekülleri arasındaki çok büyük sayıdaki atomik kuvvetlerin ortalamasıdır; ve kütle, hız ve üç boyutlu cisimlerin kütlesi boyunca hareket eden kuvvetler gibi fiziksel niceliklerin, yerçekimi gibi, bunların üzerinde düzgün bir şekilde dağıldığı varsayılır. Bağlama bağlı olarak, parçacıkların bir metal çubuğun taneleri veya bir tahta parçasının lifleri gibi diğer mikroskobik özelliklerin ortalamasını almaya izin verecek kadar büyük olduğu da varsayılabilir .

Bir yüzey elemanı (sarı disk) üzerindeki gerilim, bir taraftaki malzemenin (üst bilye) diğer taraftaki malzemeye (alt bilye) uyguladığı kuvvetin yüzey alanına bölümüdür.

Kantitatif olarak, gerilme ile ifade edilir Cauchy çekiş açısı T çekme kuvveti olarak tanımlanan F hayali ayırma yüzeyi boyunca malzemenin bitişik parçalar arasında S alanı ile bölünen, S . Durgun bir sıvıda kuvvet yüzeye diktir ve bilinen basınçtır . Bir katıda veya viskoz bir sıvı akışında , F kuvveti S'ye dik olmayabilir ; bu nedenle bir yüzey üzerindeki gerilim skaler değil vektörel bir büyüklük olarak kabul edilmelidir. Ayrıca, yön ve büyüklük genellikle S'nin yönüne bağlıdır . Bu nedenle malzemenin gerilim durumu , (Cauchy) gerilim tensörü adı verilen bir tensör tarafından tanımlanmalıdır ; burada a, doğrusal bir fonksiyonu ile ilgilidir normal vektör n bir yüzeyi S çekiş açısı için T boyunca S . Seçilen herhangi bir koordinat sistemine göre, Cauchy gerilim tensörü 3×3 gerçek sayıdan oluşan simetrik bir matris olarak temsil edilebilir . Homojen bir cisim içinde bile , stres tensörü yerden yere değişebilir ve zamanla değişebilir; bu nedenle, bir malzeme içindeki stres, genel olarak, zamanla değişen bir tensör alanıdır .

Normal ve kesme gerilimi

Genel olarak, stres , T bir parçacık olduğu p bir parçacık üzerine uygulanır Q , bir yüzey üzerinde S ile herhangi bir yönde olabilir S . T vektörü , iki bileşenin toplamı olarak kabul edilebilir: yüzeye dik normal gerilme ( basınç veya gerilim ) ve yüzeye paralel kayma gerilmesi .

Yüzeyin normal birim vektörü n'nin ( Q'dan P'ye doğru işaret eden ) sabit olduğu varsayılırsa, normal bileşen tek bir sayı, nokta çarpım T · n ile ifade edilebilir . Bu sayı, P , Q (çekme gerilimi) üzerinde " çekiyorsa " pozitif ve P , Q'ya karşı "itiyorsa" negatif olacaktır (basınç gerilimi) O zaman kesme bileşeni, T − ( T · n ) n vektörüdür .

Birimler

Gerilimin boyutu basıncın boyutudur ve bu nedenle koordinatları genellikle basınçla aynı birimlerde ölçülür: yani, Uluslararası Sistemde paskal (Pa, yani metrekare başına Newton ) veya inç kare başına pound (psi) içinde İmparatorluk sistemine . Mekanik gerilimler kolayca bir milyon Paskal'ı aştığından, megapaskal anlamına gelen MPa, yaygın bir gerilim birimidir.

Nedenler ve etkiler

Craquelé efektli cam vazo . Çatlaklar, yarı erimiş parça kısaca suya batırıldığında oluşan kısa ama yoğun stresin sonucudur.

Maddi bir gövdedeki stres, dış etkiler ve dahili fiziksel süreçler dahil olmak üzere birden fazla fiziksel nedene bağlı olabilir. Bu ajanlardan bazıları (yerçekimi, sıcaklık ve fazdaki değişiklikler ve elektromanyetik alanlar gibi) konum ve zamanla sürekli olarak değişen malzemenin kütlesi üzerinde hareket eder. Diğer etkenler (dış yükler ve sürtünme, ortam basıncı ve temas kuvvetleri gibi) belirli yüzeyler, çizgiler veya noktalar üzerinde yoğunlaşan gerilimler ve kuvvetler oluşturabilir; ve muhtemelen çok kısa zaman aralıklarında da ( çarpışmalardan kaynaklanan impulslarda olduğu gibi ). Gelen aktif madde , mikroskobik parçacıkların kendiliğinden tahrik makroskopik stres profillerini üretir. Genel olarak, bir cisimdeki stres dağılımı , uzay ve zamanın parçalı sürekli bir fonksiyonu olarak ifade edilir .

Tersine, stres genellikle, muhtemelen çift ​​kırılma , polarizasyon ve geçirgenlik gibi fiziksel özelliklerdeki değişiklikler dahil olmak üzere, malzeme üzerindeki çeşitli etkilerle ilişkilidir . Gerilmenin harici bir ajan tarafından uygulanması, tespit edilemeyecek kadar küçük olsa bile, genellikle malzemede bir miktar gerinim (deformasyon) yaratır . Katı bir malzemede, bu tür bir gerinme, gerilmiş bir yayın reaksiyon kuvvetine benzer şekilde , malzemeyi orijinal deforme olmamış durumuna geri getirme eğiliminde olan bir iç elastik stres üretecektir . Akışkan malzemeler (sıvılar, gazlar ve plazmalar ) tanım gereği yalnızca hacimlerini değiştirecek deformasyonlara karşı çıkabilir. Bununla birlikte, eğer deformasyon zamanla değişiyorsa, sıvılarda bile, genellikle bu değişime karşı çıkan bir miktar viskoz stres olacaktır. Bu tür gerilmeler, doğada kesme veya normal olabilir. Akışkanlardaki kayma gerilmelerinin moleküler kökeni viskozite ile ilgili makalede verilmiştir . Normal viskoz stresler için aynısı Sharma'da (2019) bulunabilir.

Gerilme ve deformasyon ve deformasyon değişim hızı dahil olmak üzere etkileri ve nedenleri arasındaki ilişki oldukça karmaşık olabilir ( miktarlar yeterince küçükse pratikte doğrusal bir yaklaşım yeterli olabilir). Malzemenin belirli dayanım sınırlarını aşan stres, kalıcı deformasyona ( plastik akış , kırılma , kavitasyon gibi ) neden olacak ve hatta kristal yapısını ve kimyasal bileşimini değiştirecektir .

Basit stres

Bazı durumlarda, bir cisim içindeki stres, tek bir sayı veya tek bir vektör (bir sayı ve bir yön) ile yeterince tanımlanabilir. Mühendislik tasarımında sıklıkla karşılaşılan bu tür üç basit gerilme durumu, tek eksenli normal gerilme , basit kesme gerilmesi ve izotropik normal gerilmedir .

Tek eksenli normal stres

Düzgün kesitli düz bir çubukta idealleştirilmiş gerilme.

Tek tip malzeme ve enine kesite sahip düz bir çubuğun, ekseni boyunca zıt büyüklükteki kuvvetler tarafından gerilime maruz kalması, basit bir gerilim modeliyle ilgili yaygın bir durumdur . Sistem dengedeyse ve zamanla değişmiyorsa ve çubuğun ağırlığı ihmal edilebilirse, çubuğun her enine kesiti boyunca üst kısım alt kısmı aynı kuvvetle çekmelidir, F tam boyunca süreklilik ile kesit alanı , A . Bu nedenle, herhangi bir yatay yüzey boyunca çubuk boyunca σ gerilmesi, basitçe bu kuvvetlerin büyüklüğü F ve kesit alanı A ile hesaplanan tek sayı σ ile ifade edilebilir .

Öte yandan, çubuğun uzunluğu boyunca eksene paralel olarak kesildiği düşünülürse, kesim boyunca iki yarı arasında hiçbir kuvvet (dolayısıyla gerilim) olmayacaktır.

Bu tip stres (basit) normal stres veya tek eksenli stres olarak adlandırılabilir; özellikle (tek eksenli, basit, vb.) çekme gerilimi. Yük, çubuğu germek yerine sıkıştırıyorsa , F kuvveti ve stres değişim işareti dışında analiz aynıdır ve strese sıkıştırma stresi denir.

Oran sadece ortalama bir gerilim olabilir. Stres , özellikle bağlantı noktalarının ( nn ) yakınında, enine kesit ( mm ) üzerinde eşit olmayan bir şekilde dağılmış olabilir .

Bu analiz, stresin tüm kesit boyunca eşit olarak dağıldığını varsayar. Pratikte, çubuğun uçlarına nasıl takıldığına ve nasıl üretildiğine bağlı olarak bu varsayım geçerli olmayabilir. Bu durumda, = F / A değeri yalnızca mühendislik stresi veya nominal stres olarak adlandırılan ortalama stres olacaktır . Bununla birlikte, eğer çubuğun uzunluğu L , çapının D birçok katı ise ve herhangi bir brüt kusuru veya yerleşik gerilmesi yoksa , gerilmenin , D' den birkaç kat daha fazla olan herhangi bir enine kesit üzerinde düzgün bir şekilde dağıldığı varsayılabilir. her ikisi de biter. (Bu gözlem, Saint-Venant ilkesi olarak bilinir ).

Normal gerilme, eksenel çekme ve sıkıştırmanın yanı sıra başka birçok durumda da ortaya çıkar. Düzgün ve simetrik kesitli bir elastik çubuk simetri düzlemlerinden birinde bükülürse, ortaya çıkan eğilme gerilimi yine normal olacaktır (kesite dik), ancak kesit boyunca değişecektir: dış kısım iç kısım sıkıştırılırken çekme gerilimi altında olacaktır. Normal gerilmenin başka bir çeşidi, basınçlı sıvı ile dolu silindirik bir borunun veya kabın duvarlarında meydana gelen çember gerilmesidir .

Basit kesme gerilimi

İki ofset blok tarafından yüklenen yatay bir çubukta kesme gerilimi.

Bir başka basit stres türü, tutkal veya kauçuk gibi eşit kalınlıkta bir elastik malzeme tabakası, tabakaya paralel kuvvetler tarafından zıt yönlerde çekilen iki sert gövdeye sıkıca tutturulduğunda meydana gelir; veya makas benzeri bir aletin çeneleri tarafından kesilen yumuşak bir metal çubuğun bir bölümü . Let F güçlerin büyüklükte olması ve M bu tabakanın merkez hattı olabilir. Normal gerilme durumunda olduğu gibi, tabakanın M'nin bir tarafındaki kısmı diğer kısmı aynı F kuvveti ile çekmelidir . Kuvvetlerin yönünün bilindiğini varsayarsak, M üzerindeki gerilim , basitçe bu kuvvetlerin büyüklüğü F ve kesit alanı A ile hesaplanan tek bir sayı ile ifade edilebilir .

Bununla birlikte, normal gerilmeden farklı olarak, bu basit kesme gerilmesi , dikkate alınan kesite dik değil paralel olarak yönlendirilir. Katmana dik olan herhangi bir S düzlemi için, S üzerindeki net iç kuvvet ve dolayısıyla stres sıfır olacaktır.

Eksenel olarak yüklenmiş bir çubuk durumunda olduğu gibi, pratikte kayma gerilimi tabaka üzerinde düzgün bir şekilde dağılmayabilir; bu nedenle, daha önce olduğu gibi, F / A oranı yalnızca ortalama ("nominal", "mühendislik") bir stres olacaktır. Bununla birlikte, bu ortalama pratik amaçlar için genellikle yeterlidir. Şaft gibi silindirik bir çubuk uçlarında zıt torklara maruz kaldığında da kayma gerilimi gözlemlenir . Bu durumda, her bir enkesit üzerindeki kayma gerilmesi enine kesite paraleldir, ancak eksene göre teğetsel olarak yönlendirilir ve eksenden uzaklaştıkça artar. Uç plakaları ("flanşlar") sınırlayan gövde nedeniyle, eğilme yükleri altında I-kirişlerin orta plakasında ("ağ") önemli kayma gerilimi oluşur .

izotropik stres

İzotropik çekme gerilimi. Sol üst: Homojen malzemeden oluşan bir küpün her yüzü, alanı A olan tüm yüze eşit olarak uygulanan F büyüklüğünde bir kuvvet tarafından çekilir . Küpün herhangi bir S bölümü üzerindeki kuvvet , bölümün altına uygulanan kuvvetleri dengelemelidir. Gösterilen üç bölümde, kuvvetler F (sağ üst), F (sol alt) ve F (sağ alt); ve alanı S olan bir , bir ve bir sırasıyla. Yani karşısında stres S olan F / A her üç durumda da.

Bir başka basit stres türü, malzeme gövdesi her yönde eşit sıkıştırma veya gerilim altında olduğunda ortaya çıkar. Bu, örneğin, ister bir kap içinde, ister daha büyük bir sıvı kütlesinin parçası olarak kapatılmış olsun, hareketsiz haldeki sıvı veya gazın bir kısmında durum böyledir; veya altı yüzü eşit dik kuvvetlerle bastırılan veya çekilen bir elastik malzeme küpünün içinde - her iki durumda da malzemenin homojen olması, yerleşik gerilme olmaması ve yerçekimi ve diğer dış kuvvetlerin etkisinin olması şartıyla. ihmal edilebilir.

Bu durumlarda, herhangi bir hayali iç yüzey üzerindeki gerilimin büyüklük olarak eşit olduğu ve yüzeyin oryantasyonundan bağımsız olarak her zaman yüzeye dik olarak yönlendirildiği ortaya çıkar. Bu tip stres izotropik normal veya sadece izotropik olarak adlandırılabilir ; sıkıştırıcı ise hidrostatik basınç veya sadece basınç olarak adlandırılır . Gazlar tanımları gereği çekme gerilmelerine dayanamazlar, ancak bazı sıvılar bazı durumlarda şaşırtıcı derecede büyük miktarlarda izotropik çekme gerilmesine dayanabilir. bkz. Z-tüpü .

Silindir gerilmeleri

Tekerlekler, akslar, borular ve sütunlar gibi dönme simetrisine sahip parçalar mühendislikte çok yaygındır. Çoğu zaman, bu tür parçalarda meydana gelen gerilim modelleri, dönme ve hatta silindirik simetriye sahiptir . Bu tür silindir gerilimlerinin analizi , etki alanının ve/veya gerilim tensörünün boyutunu azaltmak için simetriden faydalanabilir.

Genel stres

Çoğu zaman, mekanik cisimler aynı anda birden fazla stres türü yaşar; buna birleşik stres denir . Normal ve kesme geriliminde, belirli bir yöne dik olan yüzeyler için gerilimin büyüklüğü maksimumdur ve 'ye paralel olan tüm yüzeylerde sıfırdır . Kayma gerilimi yalnızca belirli bir yöne dik olan yüzeylerde sıfır olduğunda, gerilime çift ​​eksenli denir ve iki normal ya da kayma geriliminin toplamı olarak görülebilir. Üç eksenli gerilim olarak adlandırılan en genel durumda, gerilim her yüzey elemanı boyunca sıfır değildir.

Cauchy stres tensörü

Üç boyutlu stres bileşenleri
Bir parçacığın (küre) sınırındaki çeşitli yüzey elemanları boyunca, homojen bir malzemede tek tip (ancak izotropik olmayan) üç eksenli gerilim altında tipik gerilimlerin (oklar) gösterimi. Asal eksenlerdeki normal gerilmeler +5, +2 ve -3 birimdir.

Birleşik gerilimler tek bir vektörle tanımlanamaz. Malzeme cismin hacmi boyunca aynı şekilde gerilmiş olsa bile, herhangi bir hayali yüzey üzerindeki stres, önemsiz olmayan bir şekilde o yüzeyin oryantasyonuna bağlı olacaktır.

Ancak Cauchy , bir yüzey boyunca gerilme vektörünün her zaman yüzeyin normal vektörünün , ona dik olan birim uzunluk vektörünün doğrusal bir fonksiyonu olacağını gözlemledi . Yani, fonksiyonun tatmin ettiği yer

herhangi bir vektör ve herhangi bir gerçek sayı için . Şimdi (Cauchy) stres tensörü olarak adlandırılan fonksiyon , düzgün bir şekilde gerilmiş bir cismin stres durumunu tamamen tanımlar. (Günümüzde, bu iki fiziksel vektör miktarları arasında doğrusal bir bağlantı, adı tensörünün bir malzeme (gerilmeleri) "gerginliği" tanımlamak için Cauchy orijinal kullanım yansıtan.) 'De tensör analizi , ikinci dereceden tensörü olarak sınıflandırılmıştır tip (0, 2) .

Vektörler arasındaki herhangi bir lineer harita gibi, stres tensörü de seçilen herhangi bir Kartezyen koordinat sisteminde 3×3 gerçek sayı matrisi ile temsil edilebilir . Koordinatların numaralandırılmış veya adlandırılmış olmasına bağlı olarak matris şu şekilde yazılabilir:

veya

Koordinatları olan normal vektöre (bu, kovaryant - "satır; yatay" - vektördür) sahip bir yüzey boyunca stres vektörü bir matris ürünüdür (burada üst indeksteki T yer değiştirmedir ve sonuç olarak kovaryant (satır) vektörü elde ederiz ) ( Cauchy stres tensörüne bakın ), yani

Lineer momentumun korunumu ve kuvvetlerin statik dengesinin temel yasaları arasındaki lineer ilişki ve bu kanunlardan yola çıkarak , herhangi bir malzeme ve herhangi bir stres durumu için matematiksel olarak kesindir. Bir malzemedeki her noktadaki Cauchy gerilme tensörünün bileşenleri, denge denklemlerini ( sıfır ivme için Cauchy'nin hareket denklemleri ) sağlar. Ayrıca, ilkesi açısal momentumun korunumu stres tensör olduğunu ima simetrik olduğu, , ve . Bu nedenle, ortamın herhangi bir noktadaki ve andaki stres durumu, dokuz yerine sadece altı bağımsız parametre ile belirlenebilir. bunlar yazılabilir

elemanlar burada denir ortogonal normal stresleri (koordinat seçilen sisteme göre), ve dikey kayma gerilmeleri .

Koordinat değişikliği

Cauchy stres tensörü, koordinat sistemindeki bir değişiklik altında tensör dönüşüm yasasına uyar. Bu dönüşüm yasasının grafiksel bir temsili, Mohr'un gerilme dağılımı çemberidir .

Simetrik bir 3×3 gerçek matris olarak, gerilim tensörü , birbirine dik üç birim uzunlukta özvektöre ve üç gerçek özdeğere sahiptir , öyle ki . Bu nedenle, eksen ile bir koordinat sisteminde , stres tensör diyagonal matris ve sadece üç normal bileşenleri vardır asal gerilmeleri . Üç özdeğer eşitse, gerilim izotropik bir sıkıştırma veya gerilimdir, her zaman herhangi bir yüzeye diktir, kayma gerilimi yoktur ve tensör herhangi bir koordinat çerçevesinde köşegen bir matristir.

Bir tensör alanı olarak stres

Genel olarak, stres bir malzeme gövdesi üzerinde düzgün bir şekilde dağılmaz ve zamanla değişebilir. Bu nedenle, stres tensörü, o noktayı çevreleyen ortamın sonsuz küçük bir parçacığını göz önünde bulundurarak ve bu parçacıktaki ortalama gerilmeleri noktadaki gerilmeler olarak alarak her nokta ve her an için tanımlanmalıdır .

İnce plakalarda stres

Bükülmüş ve kaynaklanmış çelik levhalardan yapılmış bir tank arabası .

İnsan yapımı nesneler, genellikle, kesme, delme, yumuşak bükme ve kenarlar boyunca kaynak yapma gibi esasen iki boyutlu karakterlerini değiştirmeyen işlemlerle çeşitli malzemelerden yapılmış stok plakalarından yapılır. Bu tür gövdelerdeki gerilimin tanımı, bu parçaların üç boyutlu gövdeler yerine iki boyutlu yüzeyler olarak modellenmesiyle basitleştirilebilir.

Bu görüşte, bir "parçacık", plaka yüzeyinin sonsuz küçük bir parçası olarak yeniden tanımlanır, böylece bitişik parçacıklar arasındaki sınır, sonsuz küçük bir çizgi elemanı olur; her ikisi de plakaya normal (doğrudan) üçüncü boyutta örtük olarak uzar. "Gerilme" daha sonra, ortak hat elemanları boyunca iki bitişik "parçacık" arasındaki iç kuvvetlerin, o hattın uzunluğuna bölünmesiyle elde edilen bir ölçü olarak yeniden tanımlanır. Gerilme tensörünün bazı bileşenleri göz ardı edilebilir, ancak parçacıklar üçüncü boyutta sonsuz küçük olmadıkları için artık bir parçacığın komşularına uyguladığı torku görmezden gelemezsiniz. Bu tork, plakanın eğriliğini değiştirme eğiliminde olan bir eğilme gerilimi olarak modellenmiştir . Bununla birlikte, bu basitleştirmeler kaynaklarda, keskin kıvrımlarda ve kıvrımlarda ( eğrilik yarıçapının levhanın kalınlığıyla karşılaştırılabilir olduğu durumlarda) geçerli olmayabilir .

İnce kirişlerde stres

Gerilme modellemesi için, bir olta kamışı tek boyutlu olarak kabul edilebilir.

Gerilme analizi, orta derecede eğilme ve burulmaya maruz kalan ince çubuklar, kirişler veya üniform (veya düzgün şekilde değişen) bileşime ve enine kesite sahip teller için de önemli ölçüde basitleştirilebilir . Bu cisimler için, yalnızca çubuğun eksenine dik olan enine kesitler düşünülebilir ve bir "parçacık", bu tür iki kesit arasında sonsuz küçük uzunlukta bir tel parçası olarak yeniden tanımlanabilir. Sıradan gerilim daha sonra bir skalere indirgenir (barın gerilimi veya sıkışması), ancak bir eğilme gerilimi (ekse dik bir yönde çubuğun eğriliğini değiştirmeye çalışan) ve bir burulma gerilimi de hesaba katılmalıdır ( ekseni etrafında döndürmeye veya çözmeye çalışır).

Stresin diğer tanımları

Cauchy gerilim tensörü, çoğu durumda gerilim dağılımındaki farklılıkların ihmal edilebileceği küçük deformasyonlar yaşayan malzeme gövdelerinin gerilim analizi için kullanılır . Sonlu deformasyonlar olarak da adlandırılan büyük deformasyonlar için, birinci ve ikinci Piola-Kirchhoff stres tensörü , Biot stres tensörü ve Kirchhoff stres tensörü gibi diğer stres ölçüleri gereklidir.

Katılar, sıvılar ve gazlar stres alanlarına sahiptir . Statik akışkanlar normal gerilimi destekler ancak kayma gerilimi altında akacaktır . Hareketli viskoz akışkanlar , kesme stresini (dinamik basınç) destekleyebilir. Katılar hem kesme hem de normal gerilmeyi destekleyebilir, sünek malzemeler kesme altında, gevrek malzemeler normal gerilme altında bozulur. Tüm materyallerin stresle ilgili özellikleri sıcaklığa bağlı varyasyonlara sahiptir ve Newtonyen olmayan materyallerin hıza bağlı varyasyonları vardır.

Araba arka camının sertleştirilmiş camı . Polarize edici bir filtreden (alttaki resim) fotoğraf çekildiğinde, cam stresindeki değişiklikler açıkça görülmektedir .

Stres analizi

Stres analizi , katı cisimlerdeki iç kuvvetlerin iç dağılımının belirlenmesini kapsayan uygulamalı fiziğin bir dalıdır . Öngörülen veya beklenen yükler altında tüneller, barajlar, mekanik parçalar ve yapısal çerçeveler gibi yapıların incelenmesi ve tasarımı için mühendislikte önemli bir araçtır. Diğer birçok disiplinde de önemlidir; örneğin, jeolojide, levha tektoniği , volkanizma ve çığ gibi fenomenleri incelemek ; ve biyolojide, canlıların anatomisini anlamak.

Hedefler ve varsayımlar

Gerilme analizi genellikle makroskopik statik dengede olduğu varsayılabilen nesneler ve yapılarla ilgilidir . Tarafından hareket Newton yasalarına stres, bir -, herhangi bir harici kuvvetler böyle bir sisteme uygulanan hemen hemen her zaman bitişik parçacık arasındaki yüzey temas kuvvetleri olan iç reaksiyon kuvvetleri tarafından dengelenmelidir. Her parçacığın dengede olması gerektiğinden, bu reaksiyon stresi genellikle parçacıktan parçacığa yayılarak vücutta bir stres dağılımı oluşturur.

Gerilme analizindeki tipik problem, sisteme etki eden dış kuvvetler göz önüne alındığında bu iç gerilmeleri belirlemektir. İkincisi , bir malzemenin hacmi boyunca hareket eden vücut kuvvetleri (yerçekimi veya manyetik çekim gibi) olabilir; veya iki boyutlu bir alan üzerinde veya bir hat boyunca veya tek bir noktada hareket ettiği düşünülen konsantre yükler (bir dingil ile bir yatak arasındaki sürtünme veya bir tren tekerleğinin bir ray üzerindeki ağırlığı gibi).

Gerilme analizinde normalde kuvvetlerin fiziksel nedenleri veya malzemelerin kesin doğası göz ardı edilir. Bunun yerine, gerilimlerin bilinen kurucu denklemlerle malzemenin deformasyonu (ve statik olmayan problemlerde deformasyon hızı ile) ile ilgili olduğu varsayılır .

yöntemler

Gerilme analizi, gerçek artefakta veya ölçekli modele yükler uygulanarak ve elde edilen çeşitli yöntemlerden herhangi biri ile elde edilen gerilmeler ölçülerek deneysel olarak gerçekleştirilebilir. Bu yaklaşım genellikle güvenlik sertifikası ve izleme için kullanılır. Bununla birlikte, çoğu stres analizi, özellikle tasarım sırasında matematiksel yöntemlerle yapılır. Temel gerilme analizi problem ile formüle edilebilir hareket Euler denklem (sonuçları olan sürekli cisimler için Newton yasalarına korunması için doğrusal ivme ve açısal momentum ve) Euler-Cauchy gerilme prensibi birlikte uygun kurucu denklemlerle. Böylece , belirlenecek bilinmeyen fonksiyonlar olarak gerilim tensörü alanı ve gerinim tensörü alanını içeren bir kısmi diferansiyel denklem sistemi elde edilir . Dış gövde kuvvetleri, diferansiyel denklemlerde bağımsız ("sağ taraf") terim olarak görünürken, konsantre kuvvetler sınır koşulları olarak görünür. Temel gerilme analizi problemi bu nedenle bir sınır-değer problemidir .

Elastik yapılar için stres analizi , elastisite teorisine ve sonsuz küçük gerinim teorisine dayanmaktadır . Uygulanan yükler kalıcı deformasyona neden olduğunda, ilgili fiziksel süreçleri ( plastik akış , kırılma , faz değişimi , vb.) açıklayabilen daha karmaşık yapı denklemleri kullanılmalıdır .

Bununla birlikte, mühendislik yapıları genellikle, beklenen maksimum gerilimler lineer elastiklik aralığında olacak şekilde tasarlanır ( Sürekli ortamlar için Hooke yasasının genelleştirilmesi ); yani, iç gerilmelerin neden olduğu deformasyonlar bunlarla doğrusal olarak ilişkilidir. Bu durumda stres tensörünü tanımlayan diferansiyel denklemler doğrusaldır ve problem çok daha kolay hale gelir. Bir kere, herhangi bir noktadaki gerilim de yüklerin lineer bir fonksiyonu olacaktır. Yeterince küçük gerilimler için, doğrusal olmayan sistemlerin bile genellikle doğrusal olduğu varsayılabilir.

Tek boyutlu eksenel gerilim veya sıkıştırma altında tek boyutlu elemanlar olduğu varsayılarak, gerilme analizi için bir kafes kirişin basitleştirilmiş modeli.

Fiziksel boyutlar ve yük dağılımı, yapının bir veya iki boyutlu olarak ele alınmasına izin verdiğinde, stres analizi basitleştirilir. Örneğin kafes kirişlerin analizinde, gerilme alanının her bir eleman üzerinde tek tip ve tek eksenli olduğu varsayılabilir. Daha sonra diferansiyel denklemler, sonlu sayıda bilinmeyenli sonlu bir denklem kümesine (genellikle doğrusal) indirgenir. Diğer bağlamlarda, üç boyutlu sorunu iki boyutlu bir soruna indirgemek ve/veya genel gerilim ve gerinim tensörlerini tek eksenli gerilim/sıkıştırma, basit kesme, vb. gibi daha basit modellerle değiştirmek mümkün olabilir.

Yine de, iki veya üç boyutlu durumlar için bir kısmi diferansiyel denklem problemi çözülmelidir. Geometri, kurucu ilişkiler ve sınır koşulları yeterince basit olduğunda, diferansiyel denklemlere analitik veya kapalı formda çözümler elde edilebilir. Aksi takdirde, genellikle sonlu elemanlar yöntemi , sonlu farklar yöntemi ve sınır eleman yöntemi gibi sayısal yaklaşımlara başvurulmalıdır .

Alternatif stres önlemleri

Diğer faydalı stres ölçümleri, birinci ve ikinci Piola-Kirchhoff stres tensörlerini , Biot stres tensörünü ve Kirchhoff stres tensörünü içerir .

Piola-Kirchhoff stres tensörü

Sonlu deformasyonlar durumunda , Piola-Kirchhoff gerilim tensörleri , referans konfigürasyona göre gerilimi ifade eder. Bu, mevcut konfigürasyona göre gerilimi ifade eden Cauchy gerilim tensörünün aksinedir . Sonsuz küçük deformasyonlar ve dönmeler için Cauchy ve Piola-Kirchhoff tensörleri aynıdır.

Cauchy gerilim tensörü mevcut konfigürasyondaki gerilimleri ilişkilendirirken, deformasyon gradyanı ve gerinim tensörleri, hareket referans konfigürasyonla ilişkilendirilerek tanımlanır; bu nedenle, malzemenin durumunu tanımlayan tüm tensörler, referans veya mevcut konfigürasyonda değildir. Gerilim, gerinim ve deformasyonun referans veya mevcut konfigürasyonda tanımlanması, kurucu modellerin tanımlanmasını kolaylaştıracaktır (örneğin, Cauchy Gerilim tensörü saf bir dönüşün varyantıdır, deformasyon gerinim tensörü değişmezdir; dolayısıyla tanımlamada problemler yaratır). Değişen bir tensörü saf dönme sırasında değişmeyen bir terim olarak ilişkilendiren bir kurucu model; tanım gereği kurucu modellerin saf rotasyonlara değişmez olması gerektiği gibi). 1. Piola-Kirchhoff gerilme tensörü, bu problem için olası bir çözümdür. Vücudun konfigürasyonunu mevcut veya referans durumunda tanımlayan bir tensör ailesini tanımlar.

1. Piola–Kirchhoff gerilim tensörü, mevcut ("uzaysal") konfigürasyondaki kuvvetleri referans ("malzeme") konfigürasyonundaki alanlarla ilişkilendirir .

burada bir deformasyon gradyanı ve bir Jakobyan belirleyici .

Ortonormal bir tabana göre bileşenler açısından , ilk Piola-Kirchhoff gerilmesi şu şekilde verilir:

Farklı koordinat sistemlerini ilişkilendirdiğinden, 1. Piola-Kirchhoff gerilimi iki noktalı bir tensördür . Genelde simetrik değildir. 1. Piola–Kirchhoff gerilimi, 1 boyutlu mühendislik gerilimi kavramının 3 boyutlu genellemesidir .

Malzeme, gerilim durumunda bir değişiklik olmadan (sert dönüş) dönerse, 1. Piola–Kirchhoff gerilim tensörünün bileşenleri malzeme oryantasyonu ile değişecektir.

1. Piola-Kirchhoff gerilimi, deformasyon gradyanına enerji eşleniğidir.

2. Piola-Kirchhoff gerilme tensörü

1. Piola-Kirchhoff gerilimi, mevcut konfigürasyondaki kuvvetleri referans konfigürasyondaki alanlarla ilişkilendirirken, 2. Piola-Kirchhoff gerilim tensörü , referans konfigürasyondaki kuvvetleri referans konfigürasyondaki alanlarla ilişkilendirir. Referans konfigürasyonundaki kuvvet, referans konfigürasyondaki kuvvet yönü ile alan normali arasındaki bağıl ilişkiyi koruyan bir haritalama yoluyla elde edilir.

Gelen endeks gösterimde bir ortonormal tabana göre,

Tek noktalı bir tensör olan bu tensör simetriktir.

Malzeme, gerilim durumunda bir değişiklik olmadan (sert dönüş) dönerse, 2. Piola–Kirchhoff gerilim tensörünün bileşenleri, malzeme yöneliminden bağımsız olarak sabit kalır.

2. Piola-Kirchhoff gerilim tensörü, Green-Lagrange sonlu gerinim tensörüne enerji eşleniğidir .

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma