Maxwell stres tensörü - Maxwell stress tensor

Maxwell stres tensör (adını James Clerk Maxwell ) simetrik ikinci dereceden olan tensör kullanılan klasik elektromanyetizma , elektromanyetik kuvvetler arasındaki etkileşimi temsil etmek mekanik ivme . Homojen bir manyetik alanda serbestçe hareket eden bir nokta yükü gibi basit durumlarda, Lorentz kuvvet yasasından yük üzerindeki kuvvetleri hesaplamak kolaydır . Durum daha karmaşık hale geldiğinde, bu olağan prosedür, denklemlerin birden çok satıra yayıldığı durumlarda pratik olarak zorlaşabilir. Bu nedenle, bu terimlerin çoğunu Maxwell stres tensöründe toplamak ve eldeki problemin cevabını bulmak için tensör aritmetiğini kullanmak uygundur.

Elektromanyetizmanın göreli formülasyonunda, Maxwell'in tensörü , toplam gerilim-enerji tensörünün elektromanyetik bileşeni olan elektromanyetik stres-enerji tensörünün bir parçası olarak görünür . İkincisi, uzay-zamandaki enerji ve momentumun yoğunluğunu ve akışını tanımlar .

Motivasyon

Lorentz kuvveti (birim 3 hacim başına) f hareket halindeki sürekli yük dağılımında ( yük yoğunluğu ρ ). 3- akım yoğunluğu J , hacim öğesi dV'deki yük öğesi dq'nin hareketine karşılık gelir ve süreklilik boyunca değişir.

Aşağıda özetlendiği gibi, elektromanyetik kuvvet E ve B cinsinden yazılmıştır . Kullanılması vektör analizi ve Maxwell denklemlerini , simetri içeren açısından için aranan E ve B ve sonucu basitleştiren tensör Maxwell stresi tanıtan.

*Vakumda* SI birimlerinde Maxwell denklemleri
(referans için)
isim	diferansiyel formu
Gauss yasası (vakumda)	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
Gauss'un manyetizma yasası	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Maxwell-Faraday denklemi (Faraday'ın indüksiyon yasası)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\kısmi t}}$
Ampère'nin döngüsel yasası (boşlukta) (Maxwell'in düzeltmesiyle)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} } \kısmi t}}\$

Lorentz kuvvet yasası ile başlayarak
$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

birim hacim başına kuvvet

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$
Daha sonra, ρ ve J , Gauss kanunu ve Ampère devre kanunu kullanılarak E ve B alanları ile değiştirilebilir :
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \sağ)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \sağ)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \,$
Zaman türevi, fiziksel olarak yorumlanabilecek bir şeye, yani Poynting vektörüne yeniden yazılabilir . Kullanılması ürün kuralı ve Faraday indüksiyon yasası verir
${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t} }\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,$

ve şimdi f olarak yeniden yazabiliriz

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \sağ)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \sağ)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \sağ)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf) {E}),$

daha sonra E ve B ile terimleri toplamak verir

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\sağ]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ kalın sembol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ matematikbf {B} \sağ).$
E ve B'deki simetriden bir terim "eksik" görünüyor , bu da Gauss'un manyetizma yasası nedeniyle (∇ ⋅ B ) B eklenerek elde edilebilir :
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\sağ]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \sağ)\sağ]-\epsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \sağ).$

Vektör hesap kimliğini kullanarak bukleleri (hesaplanması oldukça karmaşık olan) ortadan kaldırmak

${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }} \ times \ mathbf {A}) + (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A},$

sebep olur:

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \sağ]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B) } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \sağ]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\sağ)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\sol(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \sağ).$
Bu ifade elektromanyetizma ve momentumun her yönünü içerir ve hesaplanması nispeten kolaydır. Maxwell stres tensörünü tanıtarak daha kompakt bir şekilde yazılabilir ,
$\sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\sağ).$

f'nin son terimi hariç tümü , aşağıdakileri vererek Maxwell stres tensörünün tensör sapması olarak yazılabilir :

$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t }}\,$ ,

Gibi Poynting teoremi İlk dönem büyük parçacıklar için ivme yoğunluğunun zaman türevi ise, yukarıdaki denklemin sağ tarafında ikinci terim, EM alanın ivme yoğunluk zaman türevi olarak yorumlanabilir. Bu şekilde, yukarıdaki denklem klasik elektrodinamikte momentumun korunumu yasası olacaktır.

burada Poynting vektör tanıtılmıştır

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

momentumun korunumu için yukarıda ilgili olarak, bir momentum akışı yoğunluğu ve benzer bir rol oynadığı içinde Poynting teoremi . $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ $\mathbf {S}$

Yukarıdaki türetme hem de tam bir bilgi kabul p'ye ve J (hem serbest hem de sınırlı ücretler ve akımlar). Doğrusal olmayan malzemeler (BH eğrisine sahip manyetik demir gibi) durumunda, doğrusal olmayan Maxwell gerilim tensörü kullanılmalıdır.

Denklem

Gelen fiziği , Maxwell stres tensör bir stres tensör olan elektromanyetik alan . Yukarıda SI birimlerinde türetildiği gibi , şu şekilde verilir:

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\sağ)\delta _ {ij}

,

ε burada ₀ olan elektrik sabit ve μ ₀ olan manyetik sabit , E bir elektrik alanı , B bir manyetik alan ve A _ij olan Kronecker ö . Gauss cgs biriminde şu şekilde verilir:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sol (E_ {i} E_ {j} + H_ {i} H_ {j} - {\ frac {1} { 2}}\sol(E^{2}+H^{2}\sağ)\delta _{ij}\sağ)}

,

burada , H olduğu manyetize alanı .

Bu tensörü ifade etmenin alternatif bir yolu:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \sağ]

burada ⊗ ikili çarpımdır ve son tensör ikili birimdir:

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat { x}} + \ mathbf {\ hat {y}} \ otimes \ mathbf {\ hat {y}} + \ mathbf {\ hat {z}} \ otimes \ mathbf {\ hat {z}} \ sağ)

Maxwell stres tensörünün ij elemanı , birim zamanda birim alan başına momentum birimlerine sahiptir ve birim zaman başına j eksenine dik (negatif yönde) bir yüzeyi geçen i. eksene paralel momentum akısını verir. .

Bu birimler, aynı zamanda alan (negatif basınç) birimi başına kuvvet birimi olarak görülebilir ve ij tensörünün elemanı kuvvet paralel olarak yorumlanabilir i j ekseni olarak birim başına dik bir yüzey uğradığı inci eksene alan. Aslında, diyagonal elemanlar , karşılık gelen eksene dik bir diferansiyel alan elemanı üzerinde etki eden gerilimi (çekme) verir . İdeal bir gazın basıncından kaynaklanan kuvvetlerden farklı olarak, elektromanyetik alandaki bir alan elemanı, elemana normal olmayan bir yönde de bir kuvvet hisseder. Bu kesme, gerilme tensörünün köşegen dışı elemanları tarafından verilir.

Sadece manyetizma

Alan yalnızca manyetik ise (örneğin, motorlarda büyük ölçüde doğrudur), bazı terimler düşer ve SI birimlerindeki denklem şöyle olur:

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{ij}\,.

Bir motorun rotoru gibi silindirik nesneler için bu daha da basitleştirilmiştir:

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{rt}\,.

burada r , radyal (silindirden dışarı doğru) yöndeki kesme ve t , teğetsel (silindirin etrafındaki) yöndeki kesmedir. Motoru döndüren teğetsel kuvvettir. B _r, radyal doğrultuda akı yoğunluğu ve B _t teğet doğrultuda akı yoğunluğu.

elektrostatikte

Gelen elektrostatikte manyetizma etkileri mevcut değildir. Bu durumda manyetik alan kaybolur ve elektrostatik Maxwell stres tensörünü elde ederiz . Bileşen şeklinde verilir. $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} E ^ {2} \ delta _ { ben}}

ve sembolik biçimde

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} (\ mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }

uygun kimlik tensörü nerede (genellikle ). $\mathbf {I}$ ${\ displaystyle 3 \ times 3}$

Özdeğer

Maxwell stres tensörünün özdeğerleri şu şekilde verilir:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _ {0}}} B ^ {2} \ sağ), ~ \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {2}} E ^ {2} - {\ frac {1 }{2\mu _{0}}}B^{2}\sağ)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\sağ)^{2}}}\sağ\}

Bu özdeğerler , Sherman-Morrison formülüyle bağlantılı olarak Matrix Determinant Lemmasının yinelemeli olarak uygulanmasıyla elde edilir .

Karakteristik denklem matrisinin, , şu şekilde yazılabileceğine dikkat edilerek: ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\ epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\textsf {T}}

nerede

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2} \sağ)

ayarladık

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\sağ)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}

Matris Belirleyici Lemmasını bir kez uygulamak bize

{\ ekran \mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \sağ)\det {\left(\mathbf {U} \sağ)}}

Tekrar uygulamak,

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \sağ)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \sağ)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\sağ)\sol(-\lambda -V\sağ)^{3}

RHS üzerindeki son çarpandan , bunun öz değerlerden biri olduğunu hemen görürüz . $\lambda =-V$

Tersini bulmak için Sherman-Morrison formülünü kullanırız: ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\sol(\lambda +V\sağ)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E } ^ {\ textsf {T}}} {\ left (\ lambda + V \ right) ^ {2} - \ left (\ lambda + V \ right) \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {\ textsf {T}}\mathbf {E} }}

Determinanttaki bir terimi çarpanlara ayırarak, rasyonel fonksiyonun sıfırlarını bulmakla kalırız: $\sol(-\lambda -V\sağ)$

\left(-\left(\lambda +V\sağ)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \sağ)^{2} }{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\sağ)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \sağ) }}\sağ)\sol(-\left(\lambda +V\sağ)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \sağ)

Böylece, bir kez çözdüğümüzde

{\ displaystyle - \ sol (\ lambda + V \ sağ) \ sol (- \ sol (\ lambda + V \ sağ) + \ epsilon _ {0} E ^ {2} \ sağ) - {\ frac {\ epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \sağ)^{2}=0}

diğer iki özdeğeri elde ederiz.

Ayrıca bakınız

Referanslar

David J. Griffiths , "Elektrodinamiğe Giriş" s. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
John David Jackson, "Klasik Elektrodinamik, 3. Baskı.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker, "Elektromanyetik Alanlar ve Etkileşimler", Dover Publications Inc., 1964.

Languages

In other projects