Matematik felsefesi - Philosophy of mathematics

Matematik felsefesi olan şube ait felsefesi varsayımları, temellerini ve sonuçlarını inceleyen matematik . Matematiğin doğasını ve yöntemlerini anlamayı, matematiğin insan hayatındaki yerini bulmayı amaçlar . Matematiğin mantıksal ve yapısal doğası, bu çalışmayı felsefi muadilleri arasında hem geniş hem de benzersiz kılmaktadır.

Tarih

Matematiğin kökeni tartışmalara ve anlaşmazlıklara tabidir. Matematiğin doğuşunun rastgele bir olay mı yoksa fizik gibi diğer konuların gelişimi sırasında zorunluluktan mı kaynaklandığı hala çok tartışılan bir konudur.

Birçok düşünür matematiğin doğasına ilişkin fikirleriyle katkıda bulunmuştur. Bugün, bazı matematik filozofları, bu araştırma biçiminin ve ürünlerinin olduğu gibi açıklamalarını vermeyi amaçlarken, diğerleri kendileri için basit yorumlamanın ötesinde eleştirel analize giden bir rolü vurgulamaktadır. Her iki matematiksel felsefesinin gelenekleri vardır Batı felsefesi ve Doğu felsefesi . Matematik Batı felsefeleri kadar geriye gitmek Pisagor teorisi "her şey matematiktir" (tarif Matematikselcilik ), Eflatun Pisagor'u kelimelerle yazılmış, ve çalışılan ontolojik durumunu matematiksel nesnelerin ve Aristo okudu, mantık ve sorunlarıyla ilgilidir sonsuz (gerçek ve potansiyel).

Matematik üzerine Yunan felsefesi , geometri çalışmalarından güçlü bir şekilde etkilendi . Örneğin, bir zamanlar Yunanlılar 1 (bir)'in bir sayı değil, keyfi bir uzunluk birimi olduğu görüşündeydiler . Sayı, çokluk olarak tanımlandı. Bu nedenle, örneğin 3, belirli bir birim çokluğunu temsil ediyordu ve bu nedenle "gerçekten" bir sayı değildi. Başka bir noktada, 2'nin bir sayı değil, bir çiftin temel bir kavramı olduğu yönünde benzer bir argüman yapıldı. Bu görüşler, Yunanlıların ağırlıklı olarak geometrik düz-kenar ve pergel bakış açısından gelir: bir geometrik problemde çizilen çizgilerin, keyfi olarak çizilen ilk çizgiyle orantılı olarak ölçülmesi gibi, sayı doğrusundaki sayılar da orantılı olarak ölçülür. keyfi ilk "sayı" veya "bir" e.

Bu eski Yunan sayı fikirleri daha sonra ikinin karekökünün mantıksızlığının keşfiyle alt üst oldu . Pythagoras'ın bir öğrencisi olan Hippasus , bir birim karenin köşegeninin (birim uzunluk) kenarıyla kıyaslanamaz olduğunu gösterdi: başka bir deyişle, birimin köşegeninin oranını doğru bir şekilde gösteren mevcut (rasyonel) bir sayı olmadığını kanıtladı. kenarına kare. Bu, Yunan matematik felsefesinin önemli bir yeniden değerlendirilmesine neden oldu. Efsaneye göre, diğer Pisagorcular bu keşifle o kadar travma geçirdiler ki, sapkın fikrini yaymasını engellemek için Hippasus'u öldürdüler. Simon Stevin , Avrupa'da 16. yüzyılda Yunan fikirlerine meydan okuyan ilk kişilerden biriydi. Leibniz'den başlayarak , odak noktası güçlü bir şekilde matematik ve mantık arasındaki ilişkiye kaydı. Bu bakış açısı, Frege ve Russell döneminde matematik felsefesine egemen oldu, ancak 19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarındaki gelişmelerle sorgulandı.

çağdaş felsefe

Matematik felsefesinde çok yıllık bir konu, ortak temellerinde mantık ve matematik arasındaki ilişki ile ilgilidir. 20. yüzyıl filozofları bu makalenin başında belirtilen soru sormak için devam ederken, 20. yüzyılda matematik felsefesi bir baskın çıkar karakterize edilmiştir formel mantık , küme kuramı (hem naif küme teorisi ve aksiyomatik küme teorisi ) ve temel konular.

Bir yandan matematiksel doğruların zorlayıcı bir kaçınılmazlığa sahip olduğu, ancak diğer yandan onların "doğruluklarının" kaynağının belirsiz kalması derin bir bilmecedir. Bu konudaki araştırmalar matematik programının temelleri olarak bilinmektedir .

20. yüzyılın başında, matematik filozofları, matematiksel epistemoloji ve ontoloji resimleriyle geniş ölçüde ayırt edilen tüm bu sorular hakkında çeşitli düşünce okullarına ayrılmaya başlamışlardı . Üç okul, biçimcilik , intuitionism ve Mantıksalcılık , kısmen giderek yaygın bunun yanı matematik durduğunu endişe ve tepki olarak, şu anda ortaya çıkan analiz standartlarına kadar canlı değil, özellikle kesinlik ve titizlik için alınmıştı imtiyazlı. Her okul, o dönemde öne çıkan sorunları ya çözmeye çalışarak ya da matematiğin en güvenilir bilgimiz statüsüne sahip olmadığını iddia ederek ele aldı.

20. yüzyılın başlarında biçimsel mantık ve küme teorisindeki şaşırtıcı ve sezgisel gelişmeler, geleneksel olarak matematiğin temelleri olarak adlandırılan şeyle ilgili yeni sorulara yol açtı . Yüzyıl ilerledikçe, ilk ilgi odağı, matematiğin temel aksiyomlarının açık bir keşfine doğru genişledi; aksiyomatik yaklaşım, MÖ 300 civarında Öklid zamanından beri matematiğin doğal temeli olarak kabul edildi. Gibi kavramlar aksiyomu , önerme ve kanıt , hem de matematiksel nesnenin gerçek olmak önermenin kavramına (bakınız ataması ), bunları matematiksel tedavi edilecek izin biçimlendirilmiştir edildi. Zermelo-Fraenkel grubu teorisine aksiyomlarının çok matematiksel söylem yorumlanır olan kavramsal bir çerçeve temin şekilde formüle edilmiştir. Fizikte olduğu gibi matematikte de yeni ve beklenmedik fikirler ortaya çıktı ve önemli değişiklikler geliyordu. İle Gödel numaralandırması , önermeler, kendileri veya diğer önermeler atıfta içine soruşturma etkinleştirme gibi yorumlanabilecek tutarlılık matematiksel teorileri. İncelenmekte olan teorinin "bir matematiksel çalışmanın nesnesi haline geldiği" bu yansıtıcı eleştiri, Hilbert'in bu tür çalışmalara metamatematik veya ispat teorisi adını vermesine neden oldu .

Yüzyılın ortalarında, kategori teorisi olarak bilinen Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane tarafından yeni bir matematiksel teori oluşturuldu ve matematiksel düşüncenin doğal dili için yeni bir yarışmacı oldu. Ancak 20. yüzyıl ilerledikçe, yüzyılın başında ortaya atılan vakıflarla ilgili soruların ne kadar sağlam temellere dayandığı konusunda felsefi görüşler birbirinden ayrıldı. Hilary Putnam , yüzyılın son üçte birindeki duruma ilişkin ortak bir görüşü şöyle özetledi:

Felsefe bilimde yanlış bir şey keşfettiğinde, bazen bilimin değiştirilmesi gerekir -Russell'ın paradoksu , Berkeley'in gerçek sonsuz küçüklüğe saldırısı gibi akla gelir- ama daha sıklıkla değiştirilmesi gereken felsefedir. Felsefenin bugün klasik matematikte bulduğu zorlukların gerçek zorluklar olduğunu düşünmüyorum; ve bana her yerde sunulan matematiğin felsefi yorumlarının yanlış olduğunu ve "felsefi yorumun" matematiğin ihtiyaç duymadığı bir şey olduğunu düşünüyorum.

Bugün matematik felsefesi, matematik filozofları, mantıkçılar ve matematikçiler tarafından birkaç farklı araştırma hattı boyunca ilerlemektedir ve konuyla ilgili birçok düşünce okulu vardır. Bir sonraki bölümde okullar ayrı ayrı ele alınmakta ve varsayımları açıklanmaktadır.

Temel temalar

matematiksel gerçekçilik

Matematiksel gerçekçilik , genel olarak gerçekçilik gibi , matematiksel varlıkların insan zihninden bağımsız olarak var olduğunu kabul eder . Böylece insanlar matematiği icat etmezler, aksine keşfederler ve evrendeki diğer zeki varlıklar da muhtemelen aynısını yapacaktır. Bu bakış açısına göre, keşfedilebilecek gerçekten bir tür matematik vardır; örneğin üçgenler , insan zihninin yarattıkları değil, gerçek varlıklardır.

Çalışan birçok matematikçi matematiksel realist olmuştur; kendilerini doğal olarak oluşan nesnelerin kaşifi olarak görürler. Örnekler arasında Paul Erdős ve Kurt Gödel sayılabilir . Gödel, duyu algısına benzer bir şekilde algılanabilecek nesnel bir matematiksel gerçekliğe inanıyordu. Bazı ilkeler (örneğin, herhangi iki nesne için, tam olarak bu iki nesneden oluşan bir nesneler topluluğu vardır) doğrudan doğru olarak görülebilir, ancak süreklilik hipotezi varsayımı, yalnızca bu ilkeler temelinde karar verilemez olduğunu kanıtlayabilir. Gödel, böyle bir varsayımı makul bir şekilde varsayabilmek için yeterli kanıt sağlamak için yarı deneysel metodolojinin kullanılabileceğini öne sürdü.

Gerçekçilikte, matematiksel varlıkların ne tür bir varoluşa sahip olduğuna ve onlar hakkında nasıl bilgi sahibi olduğumuza bağlı olarak ayrımlar vardır. Matematiksel gerçekçiliğin başlıca biçimleri arasında Platonizm ve Aristotelesçilik bulunur .

Matematiksel anti-gerçekçilik

Matematiksel anti-gerçekçilik genellikle matematiksel ifadelerin doğruluk değerlerine sahip olduğunu, ancak bunu maddi olmayan veya ampirik olmayan varlıkların özel bir alanına tekabül ederek yapmadıklarını savunur. Matematiksel anti-gerçekçiliğin başlıca biçimleri arasında biçimcilik ve kurgusalcılık bulunur .

Çağdaş düşünce okulları

Sanatsal

İstemler o görünüşüdür matematik olan estetik de o zaman varsayımlar kombinasyonu ve matematik bir olduğunu iddia sanat . Bunun İngiliz GH Hardy ve aynı zamanda mecazi olarak Fransız Henri Poincaré olduğunu iddia eden ünlü bir matematikçi . Hardy için, A Mathematician's Apology adlı kitabında, matematiğin tanımı daha çok kavramların estetik birleşimi gibiydi.

Platonizm

Matematiksel Platonizm , matematiksel varlıkların soyut olduğunu, uzay-zamansal veya nedensel özelliklere sahip olmadığını ve ebedi ve değişmez olduğunu öne süren gerçekçilik biçimidir. Çoğu insanın sayılarla ilgili görüşünün bu olduğu iddia edilir. Terim Platonculuk böyle bir görünüm paralel görülür çünkü kullanılan Platon 'ın Formlar Teorisi : (Yunanca ve 'Fikirler Dünyası' Eidos Platon'un tarif (εἶδος)) mağaranın alegori : gündelik dünyanın can sadece eksik yaklaşık bir değişmez, nihai gerçeklik. Hem Platon'un mağarası hem de Platonizm, yalnızca yüzeysel değil, anlamlı ilişkilere sahiptir, çünkü Platon'un fikirleri , dünyanın kelimenin tam anlamıyla sayılar tarafından yaratıldığına inanan, antik Yunan'ın son derece popüler Pisagorcularından önce geldi ve muhtemelen onlardan etkilendi .

Matematiksel Platonizm'de ele alınan önemli bir soru şudur: Matematiksel varlıklar tam olarak nerede ve nasıl var olurlar ve onlar hakkında nasıl bilgi sahibi oluruz? Matematiksel varlıkların işgal ettiği, fiziksel dünyamızdan tamamen ayrı bir dünya var mı? Bu ayrı dünyaya nasıl erişebilir ve varlıklar hakkındaki gerçekleri keşfedebiliriz? Önerilen bir cevap, matematiksel olarak var olan tüm yapıların fiziksel olarak kendi evrenlerinde de var olduğunu varsayan bir teori olan Ultimate Ensemble'dır .

Kurt Gödel'in Platonculuğu, matematiksel nesneleri doğrudan algılamamızı sağlayan özel bir tür matematiksel sezgiyi varsayar. (Bu görüş, Husserl'in matematik hakkında söylediği birçok şeye benzerlikler taşır ve Kant'ın matematiğin sentetik a priori olduğu fikrini destekler .) Davis ve Hersh , 1999'da yayınladıkları The Mathematical Experience adlı kitaplarında , çoğu matematikçinin Platonistmiş gibi davrandıklarını öne sürmüşlerdir. yine de, pozisyonu dikkatli bir şekilde savunmaya zorlanırlarsa, formalizme geri dönebilirler . Matematikçi Alexander Grothendieck de bir Platoncuydu.

Tam kanlı Platonizm , kullanılan aksiyomlara ve çıkarım kurallarına (örneğin, dışlanan orta yasası ve seçim aksiyomu ). Tüm matematiksel varlıkların var olduğunu kabul eder. Hepsi tek bir tutarlı aksiyom kümesinden türetilemeseler bile kanıtlanabilir olabilirler.

Küme-teorik gerçekçilik (ayrıca küme-teorik Platonizm ), Penelope Maddy tarafından savunulan bir konum , küme teorisinin tek bir kümeler evreni hakkında olduğu görüşüdür . (Olarak da bilinen bu pozisyon Platonculuk vatandaşlığa bir olduğu için vatandaşlığa matematiksel Platonculuğun versiyonu) temelinde Mark Balaguer tarafından eleştiriliyor Paul Benacerraf 'ın epistemolojik sorun . Platonlaştırılmış natüralizm olarak adlandırılan benzer bir görüş daha sonra Stanford-Edmonton Okulu tarafından savunuldu : bu görüşe göre, daha geleneksel bir Platonizm türü natüralizmle tutarlıdır ; Savundukları daha geleneksel Platonizm türü, soyut nesnelerin varlığını öne süren genel ilkelerle ayırt edilir .

matematik

Max Tegmark 'ın matematiksel evren hipotezi (veya Matematikselcilik ) yalnızca tüm matematiksel nesnelerin var yapamaz iddia etmenin Platonism daha ileri gider, ama başka bir şey yok. Tegmark'ın tek varsayımı şudur: Matematiksel olarak var olan tüm yapılar fiziksel olarak da mevcuttur . Yani, "kendinin farkında olan altyapıları içerecek kadar karmaşık olan [dünyalarda] [onlar] öznel olarak kendilerini fiziksel olarak 'gerçek' bir dünyada var olarak algılayacaklar" anlamındadır.

mantık

Mantıkçılık , matematiğin mantığa indirgenebileceği ve dolayısıyla mantığın bir parçasından başka bir şey olmadığı tezidir. Mantıkçılar matematiğin a priori bilinebileceğini savunurlar , ancak matematik bilgimizin genel olarak mantık bilgimizin sadece bir parçası olduğunu ve dolayısıyla analitik olduğunu , herhangi bir özel matematiksel sezgi yetisi gerektirmediğini öne sürerler . Bu görüşe göre, mantık matematiğin uygun temelidir ve tüm matematiksel ifadeler gerekli mantıksal doğrulardır .

Rudolf Carnap (1931), mantıkçı tezi iki bölümde sunar:

  1. Kavramlar matematik açık tanımlamalar ile mantıksal kavramlar türetilebilir.
  2. Teoremi matematik tamamen mantıksal azaltılması yoluyla mantıksal aksiyomlarından türetilebilir.

Gottlob Frege , mantığın kurucusudur. Yeni ufuklar açan Die Grundgesetze der Arithmetik'inde ( Aritmetiğin Temel Yasaları ) , "Temel Yasa V" adını verdiği genel bir kavrama ilkesine sahip bir mantık sisteminden aritmetiği oluşturdu ( F ve G kavramları için , F'nin uzantısı F'nin uzantısına eşittir). G'nin uzantısı ancak ve ancak tüm nesneler için a , Fa eşittir Ga ), mantığın bir parçası olarak kabul edilebilir olarak kabul ettiği bir ilke.

Frege'nin yapısı kusurluydu. Bertrand Russell , Temel Yasa V'nin tutarsız olduğunu keşfetti (bu Russell'ın paradoksu ). Frege bundan kısa bir süre sonra mantıkçı programını terk etti, ancak buna Russell ve Whitehead tarafından devam edildi . Paradoksu "kısır döngüselliğe" bağladılar ve bununla başa çıkmak için dallanmış tip teorisi dedikleri şeyi oluşturdular. Bu sistemde, sonunda modern matematiğin çoğunu oluşturabildiler, ancak değiştirilmiş ve aşırı karmaşık bir biçimde (örneğin, her türde farklı doğal sayılar vardı ve sonsuz sayıda tür vardı). Ayrıca " indirgenebilirlik aksiyomu " gibi çok fazla matematik geliştirmek için çeşitli tavizler vermek zorunda kaldılar . Russell bile bu aksiyomun gerçekten mantığa ait olmadığını söyledi.

Modern mantıkçılar ( Bob Hale , Crispin Wright ve belki diğerleri gibi) Frege'ninkine daha yakın bir programa geri döndüler. Hume ilkesi ( F kavramına giren nesnelerin sayısı, G kavramına giren nesnelerin sayısına eşittir, ancak ve ancak ve ancak F'nin uzantısı ve G'nin uzantısı olabilirse) gibi soyutlama ilkeleri lehine V Temel Yasasını terk etmişlerdir . bire bir yazışmalara koyun ). Frege, sayıların açık bir tanımını yapabilmek için Temel Yasa V'yi gerekli kıldı, ancak sayıların tüm özellikleri Hume ilkesinden türetilebilir. Bu Frege için yeterli olmazdı çünkü (onu başka bir deyişle) 3 sayısının aslında Julius Caesar olma olasılığını dışlamaz. Ek olarak, Temel Kanun V'in yerini almak için benimsemek zorunda kaldıkları zayıflamış ilkelerin çoğu artık çok açık bir şekilde analitik ve dolayısıyla tamamen mantıklı görünmemektedir.

formalizm

Biçimcilik, matematiksel ifadelerin belirli dizi işleme kurallarının sonuçları hakkında ifadeler olarak düşünülebileceğini savunur. Örneğin, Öklid geometrisinin ("aksiyomlar" olarak adlandırılan bazı dizilerden ve verilenlerden yeni diziler oluşturmak için bazı "çıkarım kurallarından" oluştuğu görülen) "oyununda" , Pisagor teoreminin ( yani Pisagor teoremine karşılık gelen dizi üretilebilir). Biçimciliğe göre, matematiksel gerçekler sayılar, kümeler, üçgenler ve benzerleriyle ilgili değildir - aslında hiçbir şey "hakkında" değildirler.

Biçimciliğin başka bir versiyonu genellikle tümdengelimcilik olarak bilinir . Tümdengelimcilikte, Pisagor teoremi mutlak bir gerçek değil, göreli bir gerçektir: eğer biri dizgelere oyunun kuralları doğru olacak şekilde anlam atfederse (yani, doğru ifadeler aksiyomlara ve kurallara atanır). çıkarsama gerçeği korur), o zaman kişi teoremi kabul etmeli ya da daha doğrusu, ona verdiği yorum doğru bir ifade olmalıdır. Aynı durum diğer tüm matematiksel ifadeler için de geçerlidir. Bu nedenle formalizm, matematiğin anlamsız bir sembolik oyundan başka bir şey olmadığı anlamına gelmez. Genellikle oyunun kurallarının geçerli olduğu bir yorumun var olduğu umulur. (Bu konumu yapısalcılıkla karşılaştırın .) Ancak çalışan matematikçinin işine devam etmesine izin verir ve bu tür sorunları filozof veya bilim adamına bırakır. Pek çok formalist, pratikte, çalışılacak aksiyom sistemlerinin bilimin veya matematiğin diğer alanlarının talepleri tarafından önerileceğini söyleyecektir.

Biçimciliğin önemli bir erken savunucusu , programı tüm matematiğin eksiksiz ve tutarlı bir aksiyomizasyonu olması amaçlanan David Hilbert'di . Hilbert, "sonlu aritmetiğin" (olağan pozitif tam sayıların aritmetiğinin bir alt sistemi, felsefi olarak tartışmasız olarak seçilen bir alt sistemi) tutarlı olduğu varsayımından matematiksel sistemlerin tutarlılığını göstermeyi amaçladı . Hilbert'in hem eksiksiz hem de tutarlı bir matematik sistemi yaratma hedefleri, yeterince ifade edici tutarlı aksiyom sistemlerinin asla kendi tutarlılıklarını kanıtlayamayacağını belirten Gödel'in eksiklik teoremlerinin ikincisi tarafından ciddi şekilde baltalandı . Böyle bir aksiyom sistemi, bir alt sistem olarak sonlu aritmetiği içereceğinden, Gödel'in teoremi, sistemin buna göre tutarlılığını kanıtlamanın imkansız olacağını ima etti (çünkü o zaman kendi tutarlılığını kanıtlayacaktır, Gödel'in gösterdiği gibi). Bu nedenle, herhangi bir aksiyomatik matematik sisteminin aslında tutarlı olduğunu göstermek için, ilk önce, tutarlı olduğunun kanıtlanması için sistemden bir anlamda daha güçlü olan bir matematik sisteminin tutarlılığının varsayılması gerekir.

Hilbert başlangıçta bir tümdengelimciydi, ancak yukarıdan da anlaşılacağı gibi, özünde anlamlı sonuçlar elde etmek için belirli metamatematiksel yöntemleri düşündü ve sonlu aritmetik konusunda gerçekçiydi. Daha sonra, yorumdan bağımsız olarak, başka hiçbir anlamlı matematik olmadığı görüşündeydi.

Rudolf Carnap , Alfred Tarski ve Haskell Curry gibi diğer biçimciler, matematiği biçimsel aksiyom sistemlerinin araştırılması olarak gördüler . Matematiksel mantıkçılar biçimsel sistemleri incelerler, ancak çoğu zaman biçimci oldukları kadar gerçekçidirler.

Biçimciler nispeten hoşgörülüdür ve mantığa, standart olmayan sayı sistemlerine, yeni küme teorilerine vb. yeni yaklaşımlara davet eder. Ne kadar çok oyun çalışırsak o kadar iyi. Bununla birlikte, bu örneklerin üçünde de motivasyon, mevcut matematiksel veya felsefi kaygılardan alınmıştır. "Oyunlar" genellikle keyfi değildir.

Biçimciliğin ana eleştirisi, matematikçileri meşgul eden gerçek matematiksel fikirlerin yukarıda bahsedilen sicim işleme oyunlarından çok uzak olmasıdır. Biçimci bir bakış açısından hiçbiri diğerinden daha anlamlı olmadığından, formalizm hangi aksiyom sistemlerinin incelenmesi gerektiği konusunda sessiz kalır.

Son zamanlarda, bazı formalist matematikçiler , matematiksel kanıtların otomatik kanıt kontrolünü ve matematik teorilerinin ve bilgisayar yazılımının geliştirilmesinde etkileşimli teorem kanıtlamanın kullanımını kolaylaştırmak için , tüm formal matematiksel bilgimizin bilgisayar tarafından okunabilir formatlarda sistematik olarak kodlanması gerektiğini öne sürdüler . . Bilgisayar bilimi ile yakın bağlantıları nedeniyle , bu fikir aynı zamanda "hesaplanabilirlik" geleneğindeki matematiksel sezgiciler ve yapılandırmacılar tarafından da savunulmaktadır - genel bir bakış için QED projesine bakınız .

Geleneksellik

Fransız matematikçi Henri Poincaré , gelenekselci bir görüşü dile getiren ilk kişiler arasındaydı . Poincaré'nin diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmasında Öklidyen olmayan geometrileri kullanması, onu Öklid geometrisinin a priori bir gerçek olarak görülmemesi gerektiğine ikna etti . O düzenlenen aksiyomlar geometride değil fiziksel dünya hakkında insan sezgileri ile belirgin tutarlılık için, ürettikleri sonuçlar için seçilmelidir.

sezgicilik

Matematikte sezgicilik, sloganı "deneyimlenmemiş matematiksel gerçekler yoktur" ( LEJ Brouwer ) olan bir metodolojik reform programıdır . Bu sıçrama tahtasından, sezgiciler matematiğin düzeltilebilir kısmı olarak düşündükleri şeyi Kantçı varlık, oluş, sezgi ve bilgi kavramlarına uygun olarak yeniden yapılandırmaya çalışırlar. Hareketin kurucusu Brouwer, matematiksel nesnelerin , deneysel nesnelerin algısını bilgilendiren iradelerin a priori biçimlerinden ortaya çıktığını savundu.

Sezgiciliğin arkasındaki büyük bir güç , matematik için herhangi bir tür resmileştirilmiş mantığın yararlılığını reddeden LEJ Brouwer'dı . Öğrencisi Arend Heyting , klasik Aristotelesçi mantıktan farklı, sezgici bir mantık öne sürdü ; bu mantık , dışlanmış ortanın yasasını içermez ve bu nedenle çelişkili kanıtlara kaşlarını çatar . Seçim aksiyomu, bazı versiyonlarda kabul edilmesine rağmen, çoğu sezgisel küme teorisinde de reddedilir.

Sezgicilikte "açık inşa" terimi net bir şekilde tanımlanmamıştır ve bu da eleştirilere yol açmıştır. Bu boşluğu doldurmak için Turing makinesi veya hesaplanabilir fonksiyon kavramlarını kullanmak için girişimlerde bulunuldu, bu da yalnızca sonlu algoritmaların davranışına ilişkin soruların anlamlı olduğu ve matematikte araştırılması gerektiği iddiasına yol açtı . Bu , ilk olarak Alan Turing tarafından tanıtılan hesaplanabilir sayıların araştırılmasına yol açmıştır . O halde matematiğe bu yaklaşımın bazen teorik bilgisayar bilimi ile ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir .

yapılandırmacılık

Sezgicilik gibi, yapılandırmacılık da yalnızca belirli bir anlamda açıkça yapılandırılabilen matematiksel varlıkların matematiksel söyleme kabul edilmesi gerektiği şeklindeki düzenleyici ilkeyi içerir. Bu görüşe göre matematik, anlamsız sembollerle oynanan bir oyun değil, insan sezgisinin bir alıştırmasıdır. Bunun yerine, doğrudan zihinsel aktivite yoluyla yaratabileceğimiz varlıklarla ilgilidir. Ek olarak, bu ekollerin bazı taraftarları, çelişkili ispat gibi yapıcı olmayan kanıtları reddederler. Gerçek analizdeki en önemli teoremlerin versiyonlarını yapıcı analiz olarak ispatlamayı başaran Errett Bishop , 1967 Foundations of Constructive Analysis adlı eserinde önemli bir çalışma yapmıştır .

Finitizm

Finitizm aşırı bir formudur oluşturmacılığın , bu inşa edilebilir takdirde matematiksel bir nesne mevcut değil buna göre doğal sayılar bir de sonlu adım sayısı. Mary Tiles , Felsefenin Küme Teorisi adlı kitabında , sayılabilir sonsuz nesnelere izin verenleri klasik sonlandırıcılar ve sayılabilir sonsuz nesneleri bile reddedenleri katı sonlular olarak nitelendirdi.

Finitizmin en ünlü savunucusu Leopold Kronecker'di ve şöyle dedi:

Doğal sayıları Allah yaratmıştır, gerisi insanın eseridir.

Ultrafinitism , yalnızca sonsuzlukları değil, mevcut kaynaklarla uygulanabilir bir şekilde inşa edilemeyen sonlu miktarları da reddeden, sonluluğun daha da aşırı bir versiyonudur. Finitizmin bir başka çeşidi, John Penn Mayberry tarafından The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets adlı kitabında geliştirilen bir sistem olan Öklid aritmetiğidir . Mayberry'nin sistemi genel olarak Aristotelesçidir ve matematiğin temellerinde işlemsellik veya fizibilite için herhangi bir rolü güçlü bir şekilde reddetmesine rağmen, örneğin, süper-üslemenin meşru bir sınırlı işlev olmadığı gibi benzer sonuçlara varır.

Yapısalcılık

Yapısalcılık , matematiksel teorilerin yapıları tanımladığını ve matematiksel nesnelerin bu tür yapılardaki yerleriyle kapsamlı bir şekilde tanımlandığını ve dolayısıyla içsel özelliklere sahip olmadığını savunan bir konumdur . Örneğin, 1 sayısı hakkında bilinmesi gereken tek şeyin, 0'dan sonraki ilk tam sayı olması olduğunu savunur. Aynı şekilde diğer tüm tam sayılar da bir yapıdaki yerleriyle tanımlanır, sayı doğrusu . Matematiksel nesnelerin diğer örnekleri, geometrideki çizgileri ve düzlemleri veya soyut cebirdeki öğeleri ve işlemleri içerebilir .

Yapısalcılık, matematiksel ifadelerin nesnel bir doğruluk değerine sahip olduğunu kabul ettiği için epistemolojik olarak gerçekçi bir görüştür. Bununla birlikte, temel iddiası , matematiksel nesnelerin veya yapıların ne tür bir varlığa sahip olduklarıyla (başka bir deyişle ontolojileriyle değil ) değil, yalnızca matematiksel bir nesnenin ne tür bir varlık olduğuyla ilgilidir . Matematiksel nesnelerin sahip oldukları varoluş türü, açık bir şekilde, içine gömüldükleri yapılarınkine bağlı olacaktır; yapısalcılığın farklı alt türleri bu konuda farklı ontolojik iddialarda bulunur.

Ante rem yapısalcılık ( "şey daha önce") benzer bir ontolojisi olduğudur Platonism . Yapıların gerçek ama soyut ve maddi olmayan bir varlığa sahip olduğu kabul edilir. Bu haliyle, bu tür soyut yapılar ile etten kemikten matematikçiler arasındaki etkileşimi açıklamaya yönelik standart epistemolojik problemle karşı karşıyadır (bkz. Benacerraf'ın özdeşleşme problemi ).

Re yapısalcılık ( "şey") eşdeğerdir Aristotelean gerçekçilik . Yapılar, bazı somut sistemler onları örneklediği ölçüde var olurlar. Bu, bazı mükemmel meşru yapıların tesadüfen var olmayabileceği ve sonlu bir fiziksel dünyanın, aksi takdirde meşru bazı yapıları barındıracak kadar "büyük" olmayabileceği olağan sorunlarına yol açar.

Sonrası rem yapısalcılık ( "şey sonra") 'dir anti-realist paralel bir şekilde yapılar hakkında adcılığını . Nominalizm gibi, post rem yaklaşımı, ilişkisel bir yapıdaki yerleri dışında özelliklere sahip soyut matematiksel nesnelerin varlığını reddeder. Bu görüşe göre matematiksel sistemler vardır ve ortak yapısal özelliklere sahiptirler. Bir yapı için bir şey doğruysa, yapıyı örnekleyen tüm sistemler için doğru olacaktır. Bununla birlikte, sistemler arasında "ortak olarak tutulan" yapılardan bahsetmek yalnızca araçsaldır: aslında bağımsız bir varoluşları yoktur.

Bedenlenmiş zihin teorileri

Bedenlenmiş zihin teorileri, matematiksel düşüncenin, kendisini fiziksel evrenimizde bulan insan bilişsel aygıtının doğal bir sonucu olduğunu savunur . Örneğin, soyut sayı kavramı, ayrık nesneleri sayma deneyiminden kaynaklanır. Matematiğin evrensel olmadığı ve insan beyni dışında hiçbir gerçek anlamda var olmadığı kabul edilir. İnsanlar matematiği inşa eder ama keşfetmezler.

Bu görüşle, fiziksel evren matematiğin nihai temeli olarak görülebilir: beynin evrimine rehberlik etti ve daha sonra bu beynin hangi soruları araştırmaya değer bulacağını belirledi. Bununla birlikte, insan zihninin gerçeklik veya ona matematikten oluşan yaklaşımlar üzerinde özel bir iddiası yoktur. Euler'in kimliği gibi yapılar doğruysa, insan zihni ve bilişinin bir haritası olarak doğrudurlar .

Bedenlenmiş zihin teorisyenleri böylece matematiğin etkinliğini açıklarlar—matematik bu evrende etkili olmak için beyin tarafından oluşturulmuştur.

Bu perspektifin en erişilebilir, ünlü ve kötü şöhretli tedavisi, George Lakoff ve Rafael E. Núñez tarafından yazılan Mathematics Comes From adlı eseridir . Ayrıca matematikçi Keith Devlin , The Math Instinct adlı kitabıyla , nörobilimci Stanislas Dehaene'nin The Number Sense adlı kitabıyla benzer kavramları araştırdı . Bu bakış açısına ilham veren felsefi fikirler hakkında daha fazla bilgi için matematiğin bilişsel bilimi bölümüne bakınız .

Aristotelesçi gerçekçilik

Aristotelesçi gerçekçilik, matematiğin simetri, süreklilik ve düzen gibi fiziksel dünyada (veya olabilecek başka herhangi bir dünyada) tam anlamıyla gerçekleştirilebilen özellikleri incelediğini savunur. Sayılar gibi matematiğin nesnelerinin "soyut" bir dünyada var olmadığını, ancak fiziksel olarak gerçekleştirilebileceğini savunan Platonizm ile çelişir. Örneğin 4 sayısı, bir papağan yığını ile yığını bu kadar çok papağana bölen evrensel "papağan olmak" arasındaki ilişkide gerçekleşir. Aristotelesçi gerçekçilik, matematik felsefesinde James Franklin ve Sidney Okulu tarafından savunulmaktadır ve Penelope Maddy'nin bir yumurta kartonu açıldığında, üç yumurta kümesinin algılandığı (yani, oyunda gerçekleşen matematiksel bir varlık) görüşüne yakındır . fiziksel dünya). Aristotelesçi gerçekçilik için bir sorun, fiziksel dünyada gerçekleştirilemeyecek olan daha yüksek sonsuzlukların ne şekilde açıklanacağıdır.

John Penn Mayberry'nin The Foundations of Mathematics in the Theory of Kümeler kitabında geliştirdiği Öklid aritmetiği de Aristotelesçi realist geleneğe girer. Mayberry, Euclid'i takip ederek, sayıları basitçe doğada gerçekleşen "belirli bir birim çokluğu" olarak kabul eder - örneğin "Londra Senfoni Orkestrası'nın üyeleri" veya "Birnam ormanındaki ağaçlar" gibi. Euclid'in Ortak Kavramı 5'in (bütün parçadan daha büyüktür) başarısız olduğu ve sonuç olarak sonsuz olarak kabul edilecek belirli çok sayıda birimin olup olmadığı, Mayberry için esasen Doğa ile ilgili bir sorudur ve herhangi bir aşkın varsayımı gerektirmez.

psikoloji

Matematik felsefesinde psikoloji , matematiksel kavramların ve/veya gerçeklerin psikolojik gerçeklerden (ya da kanunlardan) türetildiği ya da açıklandığı konumdur .

John Stuart Mill gibi birçok 19. yüzyıl Alman mantıkçıların olduğu gibi, mantıksal psychologism bir türde bir savunucusu olmuş gibi görünmektedir Sigwart ve Erdmann iyi bir takım olarak psikologlar , örneğin: Geçmiş ve şimdiki, Gustave Le Bon . Psychologism ünlü tarafından eleştirildi Frege onun içinde Aritmetiğin Vakıflar ve yaptığı incelemede dahil eserleri ve denemelerine birçok Husserl'in 'ın Aritmetik Felsefesi . Edmund Husserl, "Saf Mantığın Prolegomenası" adlı Mantıksal Araştırmalar'ın birinci cildinde psikolojiyi baştan sona eleştirmiş ve ondan uzaklaşmaya çalışmıştır. "Prolegomena", psikolojizmin Frege'nin eleştirilerinden daha özlü, adil ve kapsamlı bir reddi olarak kabul edilir ve ayrıca bugün birçok kişi tarafından psikolojizme belirleyici darbesi için unutulmaz bir çürütme olarak kabul edilir. Psikoloji, Charles Sanders Peirce ve Maurice Merleau-Ponty tarafından da eleştirildi .

ampirizm

Matematiksel ampirizm , matematiğin a priori olarak bilinebileceğini reddeden bir gerçekçilik biçimidir . Tıpkı diğer bilimlerdeki gerçekler gibi, deneysel araştırmalarla matematiksel gerçekleri keşfettiğimizi söylüyor . 20. yüzyılın başlarında savunulan klasik üç konumdan biri değildir, ancak esas olarak yüzyılın ortalarında ortaya çıkmıştır. Bununla birlikte, böyle bir görüşün önemli bir erken savunucusu John Stuart Mill'di . Mill'in görüşü çokça eleştirildi, çünkü AJ Ayer gibi eleştirmenlere göre, "2 + 2 = 4" gibi ifadelerin belirsiz, olumsal gerçekler olarak ortaya çıkmasına neden oluyor, ki bunu ancak iki çiftin bir araya gelip gelme örneklerini gözlemleyerek öğrenebiliyoruz. dörtlü oluşturuyor.

WVO Quine ve Hilary Putnam tarafından formüle edilen çağdaş matematiksel ampirizm, öncelikle vazgeçilmez argüman tarafından desteklenir : matematik, tüm ampirik bilimler için vazgeçilmezdir ve bilimler tarafından tanımlanan fenomenlerin gerçekliğine inanmak istiyorsak, aynı zamanda şuna da inanmalıyız: bu açıklama için gerekli olan varlıkların gerçekliği. Olduğunu, hakkında konuşmak için fizik ihtiyaçları beri elektronlar onlar gibi ampuller davranırlar neden söylemek, daha sonra elektronlar gerekir var . Fizik, açıklamalarından herhangi birini sunarken sayılar hakkında konuşmaya ihtiyaç duyduğundan, sayıların var olması gerekir. Quine ve Putnam'ın genel felsefelerine uygun olarak, bu natüralist bir argümandır. Deneyim için en iyi açıklama olarak matematiksel varlıkların varlığını savunur, böylece matematiği diğer bilimlerden farklı olmaktan çıkarır.

Putnam, " Platoncu " terimini , herhangi bir gerçek anlamda matematiksel uygulama için gerekli olmayan aşırı spesifik bir ontolojiyi ima ettiği için şiddetle reddetti . Mistik hakikat kavramlarını reddeden ve matematikte yarı-ampirizmi kabul eden bir "saf gerçekçilik" biçimini savundu . Bu, 20. yüzyılın sonlarında giderek daha popüler hale gelen, matematiğin hiçbir temelinin varlığının kanıtlanamayacağı iddiasından doğdu . Bazen "matematikte postmodernizm" olarak da adlandırılır, ancak bu terim bazıları tarafından aşırı yüklenmiş ve diğerleri tarafından aşağılayıcı olarak kabul edilir. Yarı-ampirizm, matematikçilerin araştırmalarını yaparken teoremleri kanıtlamanın yanı sıra hipotezleri de test ettiklerini iddia eder. Matematiksel bir argüman, doğruyu öncüllerden sonuca iletebildiği gibi, sonuçtan öncüllere yanlışlığı aktarabilir. Putnam, herhangi bir matematiksel gerçekçilik teorisinin yarı deneysel yöntemleri içereceğini savundu. Matematik yapan bir yabancı türün, çoğunlukla kesin ve aksiyomatik kanıtlardan vazgeçmeye istekli olarak, öncelikle yarı deneysel yöntemlere pekala güvenebileceğini ve belki de hesaplamalarının başarısız olma riskini biraz daha artırarak matematik yapmaya devam edebileceğini öne sürdü. New Directions'da bunun için ayrıntılı bir argüman verdi . Yarı-ampirizm de Imre Lakatos tarafından geliştirilmiştir .

Matematiğin ampirik görüşlerinin en önemli eleştirisi yaklaşık olarak Mill'e yapılan eleştiriyle aynıdır. Eğer matematik diğer bilimler kadar ampirik ise, o zaman bu, sonuçlarının da onlarınki kadar yanılabilir ve aynı derecede olumsal olduğunu gösterir. Mill'in durumda ampirik gerekçe Quine durumda, yani bir bütün olarak bizim bilimsel teori tutarlılıktan ortaya dolaylı gelir ise, doğrudan gelir consilience sonra EO Wilson . Quine, matematiğin inanç ağımızda oynadığı rol olağanüstü derecede merkezi olduğu için tamamen kesin göründüğünü ve onu revize etmemizin imkansız olmasa da son derece zor olacağını öne sürüyor.

Girişimleri her yönlerini alarak Quine ve Gödel'in yaklaşımların eksikliklerinin bazılarının üstesinden gelmek için bu matematik felsefesi için bkz Penelope Maddy 'ın Matematik Gerçekçilik . Gerçekçi bir teorinin başka bir örneği, bedenlenmiş zihin teorisidir .

İnsan bebeklerinin temel aritmetik yapabildiğini gösteren deneysel kanıtlar için bkz. Brian Butterworth .

kurgusalcılık

Matematiksel kurgusalcılık , 1980'de Hartry Field'ın Quine'ın vazgeçilmezlik argümanını reddeden ve aslında tersine çeviren Science Without Numbers'ı yayınlamasıyla ün kazandı . Quine, matematiğin en iyi bilimsel teorilerimiz için vazgeçilmez olduğunu ve bu nedenle bağımsız olarak var olan varlıklar hakkında konuşan bir doğrular bütünü olarak kabul edilmesi gerektiğini öne sürerken, Field matematiğin vazgeçilebilir olduğunu ve bu nedenle hiçbir şey hakkında konuşmayan bir yanlışlar bütünü olarak düşünülmesi gerektiğini öne sürdü. gerçek. Bunu, Newton mekaniğinin tam bir aksiyomatizasyonunu vererek , sayılara veya fonksiyonlara hiç atıfta bulunmadan yaptı. Uzayı koordine etmeden karakterize etmek için Hilbert'in aksiyomlarının " aralığı " ile başladı ve daha sonra vektör alanları tarafından daha önce yapılan işi yapmak için noktalar arasında ekstra ilişkiler ekledi . Hilbert'in geometrisi matematikseldir, çünkü soyut noktalardan bahseder, ancak Field'ın teorisinde, bu noktalar fiziksel uzayın somut noktalarıdır, dolayısıyla hiçbir özel matematiksel nesneye ihtiyaç yoktur.

Sayıları kullanmadan bilimin nasıl yapıldığını gösterdikten sonra Field, matematiği bir tür faydalı kurgu olarak iyileştirmeye başladı . Matematiksel fiziğin, matematiksel olmayan fiziğinin muhafazakar bir uzantısı olduğunu gösterdi (yani, matematiksel fizikte kanıtlanabilen her fiziksel gerçek, Field'ın sisteminden zaten kanıtlanabilir), böylece matematik, fiziksel uygulamalarının tümü doğru olsa bile güvenilir bir süreçtir. kendi ifadeleri yanlıştır. Böylece matematik yaparken kendimizi bir tür hikaye anlatıyor, sayılar varmış gibi konuşuyormuş gibi görebiliriz. Field için, "2 + 2 = 4" gibi bir ifade , " Sherlock Holmes 221B Baker Sokağı'nda yaşıyordu " kadar hayalidir; ancak ilgili kurgulara göre her ikisi de doğrudur.

Bu hesaba göre, matematiğe özgü metafizik veya epistemolojik problemler yoktur. Geriye kalan tek endişe, matematiksel olmayan fizik ve genel olarak kurgu hakkındaki genel endişelerdir . Field'ın yaklaşımı çok etkili oldu, ancak geniş çapta reddedildi. Bu kısmen , indirgemeyi gerçekleştirmek için ikinci dereceden mantığın güçlü parçalarının gerekliliğinden ve muhafazakarlık ifadesinin soyut modeller veya tümdengelimler üzerinden nicelleştirme gerektirdiğinden dolayıdır .

Sosyal yapılandırmacılık

Sosyal yapılandırmacılık , matematiği öncelikle sosyal bir yapı , kültürün bir ürünü, düzeltmeye ve değişime tabi olarak görür . Diğer bilimler gibi matematik de sonuçları sürekli olarak değerlendirilen ve bir kenara atılabilen deneysel bir çaba olarak görülür. Bununla birlikte, ampirist bir görüşte değerlendirme, "gerçeklik" ile bir tür karşılaştırma olsa da, sosyal yapılandırmacılar, matematiksel araştırmanın yönünün, onu gerçekleştiren sosyal grubun modaları veya onu finanse eden toplumun ihtiyaçları tarafından belirlendiğini vurgular. Bununla birlikte, bu tür dış güçler bazı matematiksel araştırmaların yönünü değiştirebilse de, tarihsel olarak tanımlanmış disiplini korumaya çalışan güçlü içsel kısıtlamalar (matematikçilerin içine dahil edildiği matematiksel gelenekler, yöntemler, problemler, anlamlar ve değerler) vardır.

Bu, çalışan matematikçilerin geleneksel inançlarına, yani matematiğin bir şekilde saf veya nesnel olduğuna karşı çıkıyor. Ancak sosyal yapılandırmacılar, matematiğin aslında pek çok belirsizliğe dayandığını iddia eder: matematiksel uygulama geliştikçe, önceki matematiğin statüsü şüpheye düşer ve mevcut matematik topluluğu tarafından gerekli veya istendiği dereceye kadar düzeltilir. Bu, Leibniz ve Newton'un hesabının yeniden incelenmesinden elde edilen analizin geliştirilmesinde görülebilir. Ayrıca , uygulama olarak aksiyomatik kanıta ve akran değerlendirmesine aşırı vurgu yapılması nedeniyle , bitmiş matematiğe genellikle çok fazla statü verildiğini ve halk matematiğinin yeterli olmadığını ileri sürerler .

Matematiğin sosyal doğası, alt kültürlerinde vurgulanır . Büyük keşifler matematiğin bir dalında yapılabilir ve diğeriyle alakalı olabilir, ancak matematikçiler arasındaki sosyal temas eksikliği nedeniyle bu ilişki keşfedilmemiştir. Sosyal yapılandırmacılar, her bir uzmanlığın kendi epistemik topluluğunu oluşturduğunu ve genellikle iletişim kurmakta veya matematiğin farklı alanlarını ilişkilendirebilecek birleştirici varsayımların araştırılmasını motive etmekte büyük zorluk yaşadığını iddia eder. Sosyal yapılandırmacılar, "matematik yapma" sürecini gerçekten anlamı yaratan olarak görürken, sosyal realistler, ya insanın soyutlama kapasitesindeki ya da insanın bilişsel önyargısındaki ya da matematikçilerin kolektif zekasındaki bir eksikliği, gerçek bir dünya evreninin anlaşılmasını engelleyen bir eksiklik olarak görürler. matematiksel nesneler. Sosyal yapılandırmacılar bazen matematiğin temelleri arayışını başarısız olmaya mahkum, anlamsız ve hatta anlamsız bularak reddederler.

Bu okula katkılar Imre Lakatos ve Thomas Tymoczko tarafından yapılmıştır , ancak her ikisinin de unvanı destekleyip desteklemeyeceği net değildir. Daha yakın zamanlarda Paul Ernest açıkça sosyal yapılandırmacı bir matematik felsefesi formüle etti. Bazıları Paul Erdős'in çalışmasının bir bütün olarak bu görüşü geliştirdiğini (kişisel olarak reddetmiş olsa da), diğerlerini “matematiği sosyal bir aktivite olarak” görmeye ve incelemeye teşvik eden benzersiz geniş işbirliklerinden dolayı, örneğin Erdős sayısı aracılığıyla düşünüyor. . Reuben Hersh , matematiğin sosyal görüşünü de destekledi ve onu Alvin White ile ilişkili olana benzer ancak tamamen aynı olmayan "hümanist" bir yaklaşım olarak adlandırdı; Hersh'in ortak yazarlarından biri olan Philip J. Davis de sosyal görüşe sempati duyduğunu ifade etti.

Geleneksel okulların ötesinde

mantıksız etkinlik

Matematiksel gerçeğin gerçek doğası hakkındaki dar tartışmalara veya hatta ispat gibi matematikçilere özgü uygulamalara odaklanmak yerine , 1960'lardan 1990'lara doğru büyüyen bir hareket, temelleri arama veya herhangi bir doğru cevap bulma fikrini sorgulamaya başladı. matematik neden işe yarar. Bunun için başlangıç ​​noktası, Eugene Wigner'in 1960 yılında yazdığı " Matematiğin Doğa Bilimlerinde Mantıksız Etkinliği " adlı makalesiydi .

Popper'ın iki duyusal sayı ifadesi

Realist ve konstrüktivist teoriler normalde zıt olarak kabul edilir. Ancak Karl Popper , "2 elma + 2 elma = 4 elma" gibi bir sayı ifadesinin iki anlamda alınabileceğini savundu . Bir anlamda reddedilemez ve mantıksal olarak doğrudur. İkinci anlamda, olgusal olarak doğru ve yanlışlanabilir. Bunu ifade etmenin başka bir yolu, tek bir sayı ifadesinin iki önermeyi ifade edebileceğini söylemektir: bunlardan biri yapılandırmacı çizgilerle açıklanabilir; diğeri gerçekçi çizgilerde.

dil felsefesi

20. yüzyılda dil felsefesindeki yenilikler, matematiğin, sıklıkla söylendiği gibi, bilimin dili olup olmadığı konusundaki ilgiyi yeniden canlandırdı. Bazı matematikçiler ve filozoflar " matematik bir dildir " ifadesini kabul etseler de , dilbilimciler böyle bir ifadenin imalarının dikkate alınması gerektiğine inanırlar. Örneğin, dilbilim araçları genellikle matematiğin sembol sistemlerine uygulanmaz, yani matematik diğer dillerden belirgin şekilde farklı bir şekilde incelenir. Matematik bir dil ise, doğal dillerden farklı bir dil türüdür . Gerçekten de, açıklık ve özgüllük ihtiyacı nedeniyle, matematik dili, dilbilimciler tarafından incelenen doğal dillerden çok daha kısıtlıdır. Bununla birlikte, Frege ve Tarski tarafından matematiksel dilin incelenmesi için geliştirilen yöntemler, Tarski'nin öğrencisi Richard Montague ve biçimsel anlambilimde çalışan diğer dilbilimciler tarafından matematiksel dil ile doğal dil arasındaki ayrımın göründüğü kadar büyük olmayabileceğini göstermek için büyük ölçüde genişletildi. .

Mohan Ganesalingam, formal dilbilim araçlarını kullanarak matematiksel dili analiz etti. Ganesalingam, matematiksel dili analiz ederken ( zaman gibi ) doğal dilin bazı özelliklerinin gerekli olmadığını , ancak aynı analitik araçların birçoğunun kullanılabileceğini ( bağlamdan bağımsız gramerler gibi ) not eder. Önemli bir fark, matematiksel nesnelerin bir metinde açıkça tanımlanabilen açıkça tanımlanmış türlere sahip olmalarıdır : "Etkili olarak, bir cümlenin bir bölümüne bir kelime eklememize ve konuşmanın bir bölümünü başka bir yerde ilan etmemize izin verilir ; ve bu işlem doğal dilde benzeri yoktur."

Argümanlar

Gerçekçilik için vazgeçilmezlik argümanı

Willard Quine ve Hilary Putnam ile ilişkilendirilen bu argüman, Stephen Yablo tarafından sayılar ve kümeler gibi soyut matematiksel varlıkların varlığının kabulü lehine en zorlu argümanlardan biri olarak kabul edilir. Argümanın şekli aşağıdaki gibidir.

  1. En iyi bilimsel teoriler için vazgeçilmez olan tüm varlıklara ve yalnızca bu varlıklara (genellikle "hepsi ve yalnızca" olarak anılır) ontolojik taahhütlerde bulunulmalıdır .
  2. Matematiksel varlıklar, en iyi bilimsel teoriler için vazgeçilmezdir. Öyleyse,
  3. Matematiksel varlıklara ontolojik bağlılıklar olmalıdır.

İlk öncülün gerekçesi en tartışmalı olanıdır. Hem Putnam hem de Quine , bilimsel olmayan tüm varlıkların dışlanmasını haklı çıkarmak ve dolayısıyla “hepsi ve sadece”ın “tek” kısmını savunmak için natüralizme başvurur . Sayılar da dahil olmak üzere bilimsel teorilerde öne sürülen "tüm" varlıkların gerçek olarak kabul edilmesi gerektiği iddiası, doğrulama holizmi ile doğrulanır . Teoriler parça parça değil, bir bütün olarak doğrulandığından, iyi doğrulanmış teorilerde atıfta bulunulan varlıkların hiçbirini dışlamak için hiçbir gerekçe yoktur. Bu, kümelerin ve Öklidyen olmayan geometrinin varlığını dışlamak , ancak kuarkların ve fiziğin diğer saptanamayan varlıklarının varlığını dahil etmek isteyen nominalistleri , örneğin zor bir duruma sokar .

Gerçekçiliğe karşı epistemik argüman

Anti-realist " epistemik Platonism karşı argüman" tarafından yapılmıştır Paul Benacerraf ve Hartry Field . Platonizm, matematiksel nesnelerin soyut varlıklar olduğunu varsayar . Genel anlaşmaya göre, soyut varlıklar somut, fiziksel varlıklarla nedensel olarak etkileşime giremezler ("matematiksel iddialarımızın doğruluk değerleri, uzay-zamanın dışında bir alanda bulunan Platonik varlıkları içeren olgulara bağlıdır"). Somut, fiziksel nesneler hakkındaki bilgimiz, onları algılama ve dolayısıyla onlarla nedensel olarak etkileşim kurma yeteneğimize dayansa da, matematikçilerin soyut nesneler hakkında nasıl bilgi sahibi olduklarına dair paralel bir açıklama yoktur. Bu noktayı belirtmenin bir başka yolu, Platonik dünya ortadan kalkacak olsaydı, matematikçilerin beyinlerindeki fiziksel süreçler açısından zaten tamamen sorumlu olan ispatlar vb. üretme yeteneklerinde hiçbir fark yaratmayacaktı .

Field, görüşlerini kurgusallığa dönüştürdü . Benacerraf , matematiksel nesnelerin bulunmadığına göre matematiksel yapısalcılık felsefesini de geliştirdi . Bununla birlikte, yapısalcılığın bazı versiyonları gerçekçiliğin bazı versiyonlarıyla uyumludur.

Argüman , diğer her şeyle birlikte matematiksel akıl yürütme için beyin süreçleri açısından tatmin edici bir natüralist düşünce süreçlerinin verilebileceği fikrine dayanır . Bir savunma hattı, bunun yanlış olduğunu ileri sürmektir, böylece matematiksel akıl yürütme , Platonik alanla teması içeren bazı özel sezgileri kullanır . Bu argümanın modern bir biçimi Sir Roger Penrose tarafından verilmiştir .

Başka bir savunma hattı, soyut nesnelerin nedensel olmayan ve algıya benzemeyen bir şekilde matematiksel akıl yürütmeyle ilgili olduğunu iddia etmektir. Bu argüman Jerrold Katz tarafından 2000 yılında yayınlanan Gerçekçi Akılcılık kitabında geliştirilmiştir .

Daha radikal bir savunma, fiziksel gerçekliğin, yani matematiksel evren hipotezinin reddidir . Bu durumda, bir matematikçinin matematik bilgisi, bir matematiksel nesnenin diğeriyle temas kurmasıdır.

Estetik

Birçok pratik matematikçi, içinde algıladıkları bir güzellik duygusu nedeniyle konularına çekildi . Bazen, matematikçilerin felsefeyi filozoflara bırakıp matematiğe geri dönmek istedikleri duygusu duyulur - muhtemelen güzelliğin yattığı yerde.

Huntley , ilahi orantı üzerine çalışmasında, bir başkasının matematik teoremine ilişkin kanıtını okuma ve anlama hissini, bir sanat şaheserinin izleyicisininkiyle ilişkilendirir - bir ispatın okuyucusu, anlama konusunda benzer bir coşku duygusuna sahiptir. kanıtın asıl yazarı, tıpkı bir başyapıtın izleyicisinin, orijinal ressam veya heykeltıraşta olduğu gibi bir coşku duygusuna sahip olduğunu öne sürdüğü gibi. Gerçekten de matematiksel ve bilimsel yazılar edebiyat olarak incelenebilir .

Philip J. Davis ve Reuben Hersh , matematiksel güzellik duygusunun pratik matematikçiler arasında evrensel olduğu yorumunu yapmışlardır. Örnek olarak, 2 irrasyonelliğinin iki kanıtını sağlarlar . İlk geleneksel kanıtıdır çelişki atfedilen, Euclid ; ikincisi, aritmetiğin temel teoremini içeren daha doğrudan bir kanıttır ve iddia ettiklerine göre meselenin özüne iner. Davis ve Hersh, matematikçilerin ikinci kanıtı, sorunun doğasına daha yakın olduğu için estetik olarak daha çekici bulduklarını savunuyorlar.

Paul Erdős , en zarif veya en güzel matematiksel kanıtları içeren varsayımsal bir "Kitap" kavramıyla tanınırdı. Bir sonucun "en zarif" bir kanıtı olduğuna dair evrensel bir anlaşma yoktur; Gregory Chaitin bu fikre karşı çıktı.

Filozoflar bazen matematikçilerin güzellik veya zarafet duygularını en iyi ihtimalle belirsiz bir şekilde ifade edilmiş olmakla eleştirdiler. Bununla birlikte, aynı şekilde, matematik filozofları, her ikisi de mantıksal olarak sağlam olduğunda, bir ispatı diğerinden daha çekici kılan şeyi karakterize etmeye çalışmışlardır.

Estetiğin matematiğe ilişkin bir başka yönü, matematikçilerin matematiğin etik dışı veya uygunsuz sayılan amaçlar için olası kullanımlarına yönelik görüşleridir. Bu görüşün en iyi bilinen açıklaması, GH Hardy'nin , Hardy'nin saf matematiğin güzellikte uygulamalı matematiğe göre üstün olduğunu, çünkü savaş ve benzeri amaçlar için kullanılamayacağı için üstün olduğunu savunduğu A Mathematician's Apology adlı kitabında gerçekleşir .

dergiler

Ayrıca bakınız

İlgili işler

Tarihsel konular

Notlar

daha fazla okuma

  • Aristotle , " Prior Analytics ", Hugh Tredennick (çev.), s. 181-531, Aristotle, Cilt 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann, Londra, Birleşik Krallık, 1938.
  • Benacerraf, Paul ve Putnam, Hilary (eds., 1983), Philosophy of Mathematics, Selected Readings , 1. baskı, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2. baskı, Cambridge University Press, Cambridge, İngiltere, 1983.
  • Berkeley, George (1734), Analist ; veya Kâfir Bir Matematikçiye Hitap Edilen Bir Söylem. Burada Modern Analizin Nesnesinin, İlkelerinin ve Çıkarımlarının, Dini Gizemler ve İnanç Noktaları , Londra ve Dublin'den daha belirgin bir şekilde tasarlanıp anlaşılmadığı veya daha açık bir şekilde çıkarsanıp anlaşılmadığı incelenir . Çevrimiçi metin, David R. Wilkins (ed.), Eprint .
  • Bourbaki, N. (1994), Elements of the History of Mathematics , John Meldrum (çev.), Springer-Verlag, Berlin, Almanya.
  • Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Hakikat ve Güzellik. Bilimde Estetik ve Motivasyonlar , Chicago Press Üniversitesi, Chicago, IL.
  • Colyvan, Mark (2004), "Matematik Felsefesinde Vazgeçilmezlik Argümanları", Stanford Felsefe Ansiklopedisi , Edward N. Zalta (ed.), Eprint .
  • Davis, Philip J. ve Hersh, Reuben (1981), The Mathematical Experience , Mariner Books, New York, NY.
  • Devlin, Keith (2005), Matematik İçgüdüsü: Neden Matematiksel Bir Dahisiniz (Istakozlar, Kuşlar, Kediler ve Köpeklerle Birlikte) , Thunder's Mouth Press, New York, NY.
  • Dummett, Michael (1991 a), Frege, Matematik Felsefesi , Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Dummett, Michael (1991 b), Frege ve Diğer Filozoflar , Oxford University Press, Oxford, İngiltere.
  • Dummett, Michael (1993), Analitik Felsefenin Kökenleri , Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Ernest, Paul (1998), Matematik Felsefesi Olarak Sosyal Yapılandırmacılık , State University of New York Press, Albany, NY.
  • George, Alexandre (ed., 1994), Matematik ve Zihin , Oxford University Press, Oxford, İngiltere.
  • Hadamard, Jacques (1949), Matematiksel Alanda Buluş Psikolojisi , 1. baskı, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2. baskı, 1949. Yeniden basıldı, Dover Publications, New York, NY, 1954.
  • Hardy, GH (1940), A Mathematician's Apology , 1. basım, 1940. Yeniden basıldı, CP Snow (önsöz), 1967. Yeniden basıldı, Cambridge University Press, Cambridge, BK, 1992.
  • Hart, WD (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, İngiltere.
  • Hendricks, Vincent F. ve Hannes Leitgeb (ed.). Matematik Felsefesi: 5 Soru , New York: Otomatik Basın / VIP, 2006. [1]
  • Huntley, HE (1970), İlahi Oran: Matematiksel Güzellikte Bir Çalışma , Dover Publications, New York, NY.
  • Irvine, A., ed (2009), The Philosophy of Mathematics , Handbook of the Philosophy of the Science serisinde, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
  • Klein, Jacob (1968), Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra , Eva Brann (çev.), MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Reprinted, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
  • Kline, Morris (1959), Matematik ve Fiziksel Dünya , Thomas Y. Crowell Company, New York, NY, 1959. Yeniden basıldı, Dover Publications, Mineola, NY, 1981.
  • Kline, Morris (1972), Antik Çağdan Modern Zamana Matematiksel Düşünce , Oxford University Press, New York, NY.
  • König, Julius (Gyula) (1905), "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Mathematische Annalen 61, 156-160. Yeniden basıldı, "On the Foundations of Set Theory and the Continuum Problem", Stefan Bauer-Mengelberg (çev.), s. 145-149, Jean van Heijenoort (ed., 1967).
  • Körner, Stephan , Matematik Felsefesi, Giriş . Harper Kitapları, 1960.
  • Lakoff, George ve Núñez, Rafael E. (2000), Mathematics Comes From : How the Sombodied Mind , Mathematics'i Varlığa Getirir , Basic Books, New York, NY.
  • Lakatos, Imre 1976 Kanıtlar ve Çürütmeler: Matematiksel Keşfin Mantığı (Eds) J. Worrall ve E. Zahar Cambridge University Press
  • Lakatos, Imre 1978 Matematik, Bilim ve Epistemoloji: Felsefi Makaleler Cilt 2 (Eds) J.Worrall & G.Currie Cambridge University Press
  • Lakatos, Imre 1968 Matematik Felsefesinde Problemler Kuzey Hollanda
  • Leibniz, GW , Logical Papers (1666-1690), GHR Parkinson (ed., çev.), Oxford University Press, Londra, Birleşik Krallık, 1966.
  • Maddy, Penelope (1997), Matematikte Natüralizm , Oxford University Press, Oxford, İngiltere.
  • Maziarz, Edward A. ve Greenwood, Thomas (1995), Yunan Matematik Felsefesi , Barnes and Noble Books.
  • Mount, Matta , Klasik Yunan Matematik Felsefesi .
  • Parsons, Charles (2014). Yirminci Yüzyılda Matematik Felsefesi: Seçilmiş Denemeler . Cambridge, MA: Harvard University Press . ISBN'si 978-0-674-72806-6.
  • Peirce, Benjamin (1870), "Lineer Associative Cebir", § 1. Bkz. American Journal of Mathematics 4 (1881).
  • Peirce, CS , Charles Sanders Peirce'in Toplanan Belgeleri , cilt. 1-6, Charles Hartshorne ve Paul Weiss (ed.), cilt. 7-8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931 – 1935, 1958. Atıfta bulunulan CP (cilt).(paragraf).
  • Peirce, CS, matematik ve mantık üzerine çeşitli parçalar, birçoğu Charles Sanders Peirce bibliyografyasındaki bağlantılar aracılığıyla çevrimiçi olarak okunabilir , özellikle Peirce tarafından yazılan veya düzenlenen Kitaplar altında , yaşamı boyunca yayınlanmış ve onu takip eden iki bölüm.
  • Plato, "Devlet, Cilt 1", Paul Shorey (çev.), s. 1-535, Platon, Cilt 5 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londra, Birleşik Krallık, 1930.
  • Plato, "Devlet, Cilt 2", Paul Shorey (çev.), s. 1-521, Platon, Cilt 6 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londra, Birleşik Krallık, 1935.
  • Resnik, Michael D. Frege ve Matematik Felsefesi , Cornell Üniversitesi, 1980.
  • Resnik, Michael (1997), Modellerin Bilimi Olarak Matematik , Clarendon Press, Oxford, İngiltere, ISBN  978-0-19-825014-2
  • Robinson, Gilbert de B. (1959), The Foundations of Geometry , University of Toronto Press, Toronto, Kanada, 1940, 1946, 1952, 4. baskı 1959.
  • Raymond, Eric S. (1993), "Matematiğin Faydası ", Eprint .
  • Smullyan, Raymond M. (1993), Metamathematics için Özyineleme Teorisi , Oxford University Press, Oxford, İngiltere.
  • Russell, Bertrand (1919), Matematiksel Felsefeye Giriş , George Allen ve Unwin, Londra, Birleşik Krallık. Yeniden basıldı, John G. Slater (giriş), Routledge, Londra, Birleşik Krallık, 1993.
  • Shapiro, Stewart (2000), Matematik Hakkında Düşünmek: Matematik Felsefesi , Oxford University Press, Oxford, İngiltere
  • Strohmeier, John ve Westbrook, Peter (1999), İlahi Uyum, Pisagor'un Yaşamı ve Öğretileri , Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
  • Styazhkin, NI (1969), Leibniz'den Peano'ya Matematiksel Mantığın Tarihi , MIT Press, Cambridge, MA.
  • Tait, William W. (1986), "Gerçek ve Kanıt: Matematiğin Platonculuğu", Synthese 69 (1986), 341-370. Yeniden basılmıştır, s. 142–167, WD Hart'ta (ed., 1996).
  • Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938 , JH Woodger (çev.), Oxford University Press, Oxford, İngiltere, 1956. 2. baskı, John Corcoran (ed.), Hackett Publishing, Indianapolis, IN, 1983.
  • Ulam, SM (1990), Analojiler Arasında Analojiler: SM Ulam ve Los Alamos İşbirlikçilerinin Matematiksel Raporları , AR Bednarek ve Françoise Ulam (ed.), California Press Üniversitesi, Berkeley, CA.
  • van Heijenoort, Jean (ed. 1967), From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Wigner, Eugene (1960), " Matematiğin Doğa Bilimlerinde Mantıksız Etkinliği ", Temel ve Uygulamalı Matematikte İletişim 13 (1): 1-14. e-baskı
  • Wilder, Raymond L. Bir Kültürel Sistem Olarak Matematik , Bergama, 1980.
  • Witzany, Günther (2011), Matematik insan dilinin evrimini açıklayabilir mi? , İletişimsel ve Bütünleştirici Biyoloji, 4(5): 516-520.

Dış bağlantılar