Logit - Logit

0 ile 1 arasındaki etki alanında logit( p ) grafiği , burada logaritmanın tabanı e .

Olarak istatistik , logit ( / l oʊ dʒ ɪ t / LOH -jit ) fonksiyonu miktarsal fonksiyonu standart ilişkili lojistik dağıtım . Veri analizinde ve makine öğreniminde, özellikle veri dönüşümlerinde birçok kullanıma sahiptir .

Matematiksel olarak, logit olan ters bir standart lojistik fonksiyonu , yani logit olarak tanımlanmaktadır ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$

${\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\sigma ^{-1}(p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\sağ)\quad {\text{için }}\quad p\in (0,1)}$.

Bu nedenle, logit da adlandırılır log oranları bu da eşit olduğu için logaritmaları arasında risk oranı p bir olasılıktır. Bu nedenle logit, probit işlevine benzer şekilde olasılık değerlerini gerçek sayılara eşleyen bir işlev türüdür . ${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$${\görüntüleme stili (0,1)}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Tanım

Eğer p a, olasılığı , daha sonra p / (1 - p ) karşılık gelen bir oran ; logit olasılık oran logaritması, yani

${\displaystyle \operatöradı {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\sağ)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\sağ)\,.}$

Kullanılan logaritma fonksiyonunun tabanı , 1'den büyük olduğu sürece bu makalede çok az öneme sahiptir, ancak e tabanlı doğal logaritma en sık kullanılanıdır. Taban seçimi , değer için logaritmik birimin seçimine karşılık gelir : taban 2 bir shannon'a , taban  e bir " nat " a ve taban 10 bir hartley'e karşılık gelir ; bu birimler özellikle bilgi-kuramsal yorumlarda kullanılır. Her bir taban seçimi için, logit işlevi negatif ve pozitif sonsuz arasında değerler alır.

“Lojistik” işlevi herhangi bir sayının inverse- verilir logit : ${\görüntüleme stili \alfa }$

${\displaystyle \operatöradı {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatöradı {lojistik} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatöradı {exp} (-\alpha )}}= {\frac {\operatöradı {exp} (\alpha )}{\operatöradı {exp} (\alpha )+1}}}$

İki olasılığın logit s'si arasındaki fark , olasılık oranının ( R ) logaritmasıdır , bu nedenle, yalnızca toplama ve çıkarma yoluyla doğru olasılık oranları kombinasyonunu yazmak için bir kısayol sağlar :

${\displaystyle \operatöradı {ln} (R)=\ln \left({\frac {{p_{1}}/(1-p_{1})}{{p_{2}}/(1-p_{ 2})}}\sağ)=\ln \sol({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\sağ)-\ln \left({\frac {p_{2}} {1-p_{2}}}\right)=\operatöradı {logit} (p_{1})-\operatöradı {logit} (p_{2})\,.}$

Tarih

Doğrusal regresyon yöntemlerini çıktının herhangi bir gerçek sayı yerine bir olasılık değeri olduğu bir alana uyarlamak için çeşitli çabalar olmuştur . Birçok durumda, bu tür çabalar aralığını eşleyerek bu problem üzerine odaklanmıştır etmek ve daha sonra bu dönüştürülmüş değerler üzerinde lineer regresyon çalışan. 1934 yılında Chester Ittner Bliss bu haritlama kümülatif normal dağılım fonksiyonunu kullanarak çektiği modeli denilen probit "için bir kısaltma prob yeteneği un o ."; Ancak, bu hesaplama açısından daha pahalıdır. 1944'te Joseph Berkson , log of odds'ı kullandı ve bu fonksiyona probit benzetmesini takiben " log istic un it "in kısaltması olan logit adını verdi . Log oranları, Charles Sanders Peirce (19. yüzyılın sonları) tarafından yaygın olarak kullanıldı . GA Barnard 1949'da yaygın olarak kullanılan log-odds terimini ortaya attı ; bir olayın log-oranları, olayın olasılığının logitidir. ${\görüntüleme stili (0,1)}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\görüntüleme stili (0,1)}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Kullanımlar ve özellikler

• Logit içinde lojistik regresyon bir bir bağlantı fonksiyonunun özel bir durumudur genelleştirilmiş doğrusal modele : Bu kurallı olan bağlantı fonksiyonu için Bernoulli dağılımı .
• Logit işlevi olumsuz bir türevinin bir ikili entropi fonksiyonu .
• Logit da olasılık merkezidir Rasch modeli için ölçüm diğer alanları arasında psikolojik ve eğitsel değerlendirme uygulamaları vardır.
• Ters-logit fonksiyonu (örneğin, lojistik fonksiyon ) bazen şu şekilde ifade edilir expit fonksiyonu.
• Olarak bitki hastalığı epidemiyolojisi logit lojistik model veri sığdırmak için kullanılır. Gompertz ve Monomolecular modelleri ile üçü de Richards ailesi modelleri olarak bilinir.
• Olasılıkların log-odds fonksiyonu , küçük olasılıklar durumunda sayısal avantajlarından dolayı durum tahmin algoritmalarında sıklıkla kullanılır . Çok küçük kayan noktalı sayıları çarpmak yerine, (log-odds) ortak olasılığını hesaplamak için log-odds olasılıkları toplanabilir.

probit ile karşılaştırma

Karşılaştırma logit fonksiyonu ölçekli bir probit (yani ters ile CDF arasında normal dağılım ) karşılaştırarak, genel olarak, aynı yamaçları yapar, y -Origin.${\displaystyle \operatöradı {logit} (x)}$${\displaystyle {\tfrac {\Phi ^{-1}(x)}{\,{\sqrt {\pi /8\,}}\,}}}$

Logit işlevi (ve logit modeli ) ile yakından ilgili olan, probit işlevi ve probit modelidir . Logit ve probit hem sigmoid fonksiyonu her ikisini de yapan, 0 ile 1 arasında bir alan ile kantil fonksiyonlarını , yani, tersleri - kümülatif dağılım fonksiyonunun bir (CDF) bir olasılık dağılımı . Aslında, logit olduğu miktarsal fonksiyonu arasında lojistik dağıtım sırasında, probit bir miktarsal fonksiyonudur normal dağılım . Probit fonksiyonu belirtilmektedir burada, bir CDF sadece belirtildiği gibi, normal dağılımın: ${\görüntüleme stili \Phi ^{-1}(x)}$${\görüntüleme stili \Phi (x)}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2} }{2}}}dy.}$

Sağdaki grafikte gösterildiği gibi , probit fonksiyonu ölçeklendiğinde logit ve probit fonksiyonları son derece benzerdir , böylece y = 0'daki eğimi logitin eğimi ile eşleşir . Sonuç olarak, bazı uygulamalar için (örneğin, Bayes istatistiklerinde ) uygulama daha kolay olduğu için , bazen logit modelleri yerine probit modelleri kullanılır .

Ayrıca bakınız

• Sigmoid işlevi , logit işlevinin tersi
• İkili logit, çok terimli logit, koşullu logit, iç içe logit, karışık logit, patlatılmış logit ve sıralı logit üzerinde ayrık seçim
• Sınırlı bağımlı değişken
• Daniel McFadden , bir Nobel Ekonomi iktisat kullanılan özel bir logit model geliştirilmesi için kazanan
• Pazarlamada logit analizi
• çok terimli logit
• Ogee , benzer şekle sahip eğri
• Algılayıcı
• Probit , logit ile aynı etki alanına ve aralığa sahip başka bir işlev
• Ridit puanlama
• Veri dönüştürme (istatistikler)
• Arcsin (dönüşüm)
• Raş Modeli

Referanslar

daha fazla okuma

• Ashton, Winifred D. (1972). Logit Dönüşümü: Bioassay'deki kullanımlarına özel atıfta bulunularak . Griffin'in İstatistiksel Monografları ve Kursları. 32 . Charles Griffin. ISBN'si 978-0-85264-212-2.