Logaritmik spiral -Logarithmic spiral

${\görüntüleme stili e}$

${\görüntüleme stili a>0}$

${\görüntüleme stili k\neq 0}$

Kartezyen koordinatlarda

Kutup denklemi ile logaritmik spiral

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$

${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$

$${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$

${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

$${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilis ve Jacob Bernoulli

Latince "mucizevi sarmal" anlamına gelen Spira mirabilis ,logaritmik sarmalın diğer adıdır. Bu eğri başka matematikçiler tarafından zaten adlandırılmış olmasına rağmen, bu eğriye özel bir isim ("mucizevi" veya "harika" sarmal) Jacob Bernoulli tarafından verildi , çünkü o, benzersiz matematiksel özelliklerinden birine hayran kaldı: sarmalın boyutu. artar, ancak şekli her ardışık eğriyle değişmez, bu özellik kendine benzerlik olarak bilinir . Muhtemelen bu eşsiz özelliğin bir sonucu olarak, spira mirabilis doğada evrim geçirmiş, nautilus kabukları ve ayçiçeği başlarıgibi belirli büyüyen formlarda ortaya çıkmıştırJacob Bernoulli, mezar taşına " Eadem mutata resurgo " ("Değişmiş olsa da, aynı şekilde ortaya çıkacağım") ibaresiyle birlikte, ancak yanlışlıkla onun yerine bir Arşimet spirali yerleştirildi.

Özellikleri

Eğim açısı ve sektör tanımı

Logaritmik spiral aşağıdaki özelliklere sahiptir (bkz.

${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Kutup eğimi :${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{sabit !}}})}$
  polar eğim açısı ile (şemaya bakın).${\görüntüleme stili \alfa }$
  ( Açı olması durumunda 0 ve eğri yarıçaplı bir daire olacaktır .)${\görüntüleme stili k=0}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili bir}$
• eğrilik :${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Ark uzunluğu :${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _ {2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha } }}$
  Özellikle: , eğer .${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\ metin{sonlu !}}})\;}$${\görüntüleme stili k>0}$
  Bu özellik ilk olarak Evangelista Torricelli tarafından hesap icat edilmeden önce gerçekleştirilmiştir.
• Sektör alanı: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Ters çevirme: Daire ters çevirme ( ) logaritmik sarmalı logaritmik sarmal üzerine eşler${\displaystyle r\to 1/r}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

için örnekler${\görüntüleme stili a=1,2,3,4,5}$

• Döndürme, ölçekleme : Spiralin açıyla döndürülmesi , orijinal spiral olan ve tarafından eşit olarak ölçeklenen (orijininde) spirali verir .${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Ölçekleme ile

${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$

${\görüntüleme stili a=1,2,3,4,5}$

${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$

Karmaşık üstel işlev : Üstel işlev , karmaşık düzlemdeki gerçek veya sanal eksene paralel olmayan tüm çizgileri, merkezi :${\görüntüleme stili 0}$

$${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b }\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. sarmal}}}$$

Logaritmik spiralin kutupsal eğim açısı , doğru ile hayali eksen arasındaki açıdır.${\görüntüleme stili \alfa }$

Özel durumlar ve yaklaşımlar

Altın spiral , her 90 derecelik dönüş için altın oranın bir faktörü kadar dışa doğru büyüyen logaritmik bir spiraldir (kutup eğim açısı yaklaşık 17.03239 derece). Yarıçapları Fibonacci sayılarıyla orantılı olan bir dizi çeyrek daireden oluşan bir "Fibonacci spirali" ile buna yaklaşılabilir .

Doğada

İzlanda üzerindeki ekstratropikal bir siklon , yaklaşık olarak logaritmik bir sarmal model gösterir.

Sarmal gökadaların kolları genellikle logaritmik bir sarmal şeklindedir, burada Girdap Gökadası

Yaklaşık olarak logaritmik bir spiral içinde düzenlenmiş odaları gösteren bir nautilus kabuğunun kesiti. Çizilen sarmal (kesikli mavi eğri), büyüme oranı parametresine dayalıdır ve .${\görüntüleme stili b=0.1759}$${\displaystyle \arctan b\yaklaşık 10^{\circ }}$

Birkaç doğal fenomende, logaritmik spirallere yakın olan eğriler bulunabilir. İşte bazı örnekler ve nedenler:

• Klasik takipte şahinin avına yaklaşması, avın düz bir çizgide ilerlediğini varsayar. En keskin görüş açıları uçuş yönlerine göredir; bu açı spiralin eğimi ile aynıdır.
• Bir böceğin bir ışık kaynağına yaklaşımı. Işık kaynağının uçuş yollarına göre sabit bir açıda olmasına alışkındırlar. Genellikle güneş (veya gece türleri için ay) tek ışık kaynağıdır ve bu şekilde uçmak neredeyse düz bir çizgiyle sonuçlanır.
• Sarmal galaksilerin kolları . Kendi galaksimiz Samanyolu'nun , her biri yaklaşık 12 derecelik eğime sahip kabaca logaritmik bir sarmal olan birkaç sarmal kolu vardır.
• Korneanın sinirleri (bu, subepitelyal tabakanın kornea sinirleri, logaritmik bir spiral düzende korneanın yüzeysel epitel tabakasının yakınında sonlanır).
• Kasırgalar gibi