Bilimsel gösterim - Scientific notation

Bilimsel gösterim , uygun bir şekilde ondalık biçimde yazılmak için çok büyük veya çok küçük (genellikle uzun bir basamak dizisiyle sonuçlanır) sayıları ifade etmenin bir yoludur . Bu şekilde ifade edilebilir bilimsel formda veya standart indeks formu veya standart form İngiltere'de. Bu on tabanlı gösterim, kısmen belirli aritmetik işlemleri basitleştirebildiği için bilim adamları, matematikçiler ve mühendisler tarafından yaygın olarak kullanılır . Bilimsel hesap makinelerinde genellikle "SCI" ​​görüntüleme modu olarak bilinir.

Ondalık gösterim Bilimsel gösterim
2 2 × 10 0
300 3 × 10 2
4 321 .768 4.321 768 × 10 3
-53 000 -5,3 × 10 4
6 720 000 000 6.72 × 10 9
0,2 2 × 10 -1
987 9.87 × 10 2
0.000 000 007 51 7,51 × 10 −9

Bilimsel gösterimde sıfırdan farklı sayılar şeklinde yazılır.

m × 10 n

veya m çarpı on, n'nin kuvvetine yükseltilmiştir , burada n bir tamsayıdır ve m katsayısı sıfır olmayan bir gerçek sayıdır (genellikle mutlak değerde 1 ile 10 arasındadır ve neredeyse her zaman bir ondalık sayı olarak yazılır ). Tam sayı , n olarak adlandırılır üs ve reel sayı m adlandırılır significand veya mantisi . Logaritma katılmaktadırlar nerede o da geleneksel adıdır çünkü dönem "mantis" belirsiz olabilir ve fraksiyonel parçanın içinde ortak logaritma . Sayı negatifse , sıradan ondalık gösterimde olduğu gibi m'den önce bir eksi işareti gelir . Olarak normalize gösterimde , böylece üs seçilir mutlak değer significand (modül) m , en az 1 derece, fakat 10'dan daha az.

Ondalık kayan nokta , bilimsel gösterimle yakından ilişkili bir bilgisayar aritmetik sistemidir.

Normalleştirilmiş gösterim

Verilen herhangi bir gerçek sayı, m × 10 n^ biçiminde birçok şekilde yazılabilir: örneğin, 350 olarak yazılabilir.3.5 × 10 2 veya35 × 10 1 veya350 × 10 0 .

Gelen normalize bilimsel gösterim üs, (İngiltere'de "standart form" olarak adlandırılır) n böylece seçilmesi mutlak değer arasında m az birinde kalıntıları ancak On'dan az ( 1 ≤ | m | <10 ). Böylece 350 olarak yazılır3.5 × 10 2 . Bu form, sayıların kolayca karşılaştırılmasını sağlar: daha büyük üslü sayılar (normalizasyon nedeniyle) daha küçük üslü olanlardan daha büyüktür ve üslerin çıkarılması , sayıları ayıran büyüklük mertebelerinin sayısının bir tahminini verir . Aynı zamanda, ortak logaritma tablolarını kullanırken gerekli olan formdur . Normalleştirilmiş gösterimde, mutlak değeri 0 ile 1 arasında olan bir sayı için n üssü negatiftir (örneğin, 0,5 olarak yazılır).5 × 10 -1 ). 10 ve üs, üs 0 olduğunda genellikle atlanır.

Normalleştirilmiş bilimsel biçim, mühendislik gösterimi gibi normalleştirilmemiş veya farklı şekilde normalleştirilmiş bir biçim istenmedikçe, birçok alanda çok sayıdaki ifadenin tipik biçimidir . Normalleştirilmiş bilimsel gösterime genellikle üstel gösterim denir - ancak ikinci terim daha geneldir ve m 1 ila 10 aralığıyla (örneğin mühendislik gösteriminde olduğu gibi) ve 10'dan farklı tabanlarla (örneğin, 3.15 ×^ ) sınırlı olmadığında da geçerlidir. 2 20 ).

mühendislik gösterimi

(Sıklıkla bilimsel hesap makineleri üzerinde "ENG" adında) Mühendislik notasyonu içinde normalize bilimsel gösterim gelen farklılık olduğu üs n ile sınırlıdır katları Sonuç olarak, mutlak değeri 3. m aralığında 1 içindedir ≤ | m | < 1000, yerine 1 ≤ | m | < 10. Kavram olarak benzer olmasına rağmen, mühendislik gösterimi nadiren bilimsel gösterim olarak adlandırılır. Mühendislik gösterimi, sayıların ilgili SI önekleriyle açıkça eşleşmesini sağlar , bu da okuma ve sözlü iletişimi kolaylaştırır. Örneğin,12,5 × 10 −9  m "on iki nokta beş nanometre" olarak okunabilir ve şu şekilde yazılabilir:12.5 nm , bilimsel gösterim eşdeğeri iken1,25 × 10 −8  m büyük olasılıkla "bir nokta-iki-beş çarpı on-eksi-sekiz metre" olarak okunacaktır.

önemli rakamlar

Önemli bir rakam, bir sayının kesinliğini artıran bir rakamdır. Bu, sıfır olmayan tüm sayıları, anlamlı basamaklar arasındaki sıfırları ve anlamlı olduğu belirtilen sıfırları içerir . Baştaki ve sondaki sıfırlar, yalnızca sayının ölçeğini göstermek için var oldukları için anlamlı rakamlar değildir. Ne yazık ki, bu belirsizliğe yol açar. Numara1 230 400 genellikle beş anlamlı rakama sahip olacak şekilde okunur: 1, 2, 3, 0 ve 4, son iki sıfır yalnızca yer tutucu görevi görür ve hiçbir kesinlik eklemez. Bununla birlikte, son iki hane de tam olarak ölçülseydi ve 0-7 anlamlı rakama eşit olduğu bulunduysa, aynı sayı kullanılacaktı.

Bir sayı normalleştirilmiş bilimsel gösterime dönüştürüldüğünde, 1 ile 10 arasında bir sayıya küçültülür. Tüm anlamlı basamaklar kalır, ancak yer tutucu sıfırlar artık gerekli değildir. Böylece1 230 400 olur1,2304 x 10 6 beş önemli basamak olsaydı. Sayı altı veya yedi önemli rakam tarafından biliniyorsa, şu şekilde gösterilirdi:1.230 40 × 10 6 veya1.230 400 x 10 6 . Bu nedenle, bilimsel gösterimin ek bir avantajı, anlamlı rakamların sayısının açık olmasıdır.

Tahmini son rakamlar

Bilimsel ölçümde, ölçümden kesin olarak bilinen tüm rakamları kaydetmek ve değeri hakkında herhangi bir bilgi varsa en az bir ek rakamı tahmin etmek gelenekseldir. Ortaya çıkan sayı, ekstra basamak olmadan olduğundan daha fazla bilgi içerir; bu, ölçümlerde ve ölçüm kümelerinde (toplama veya birlikte çarpma) daha fazla kesinliğe yol açan bazı bilgileri ilettiği için önemli bir basamak olarak kabul edilebilir.

Kesinlik hakkında ek bilgi, ek gösterim yoluyla iletilebilir. Son basamağın ne kadar kesin olduğunu bilmek genellikle yararlıdır. Örneğin, protonun kütlesinin kabul edilen değeri şu şekilde ifade edilebilir:1.672 621 923 69 (51) x 10 -27  kg kestirme için,(1.672 621 923 69 ± 0.000 000 000 51 ) × 10 −27  kg .

E gösterimi

Avogadro sabitini E notasyonunda gösteren bir Texas Instruments TI-84 Plus hesap makinesi ekranı

Çoğu hesap makinesi ve birçok bilgisayar programı , bilimsel gösterimde çok büyük ve çok küçük sonuçlar sunar, tipik olarak EXP( üs için ), EEX( üs için ) EE, EX, E, veya satıcıya ve modele bağlı olarak etiketlenen bir anahtarla çağrılır . Çünkü satırın üstünde 10 gibi üstler 7 daima elverişli görüntülenemiyor, mektup E (veya e ) çoğu zaman (ki olarak yazılabilir olur "nin kuvvete yükseltilmiş kez on" göstermek için kullanılan "× 10 n " ) ve takip eder üssün değeri; diğer bir deyişle, herhangi bir iki gerçek sayılar m ve n , kullanım " m E n " değeri işaret eder m 10 x n . Bu kullanımda e karakteri , matematik sabiti e veya üstel fonksiyon e x ile ilişkili değildir (bilimsel gösterim büyük E ile temsil ediliyorsa olası olmayan bir karışıklık ). E , üs anlamına gelse de , gösterime genellikle (bilimsel) üstel gösterim yerine (bilimsel) E gösterimi denir . E notasyonu kullanımı, tuş vuruşlarını en aza indirdiği, yazı tipi boyutlarını küçülttüğü ve daha basit ve daha özlü bir görüntü sağladığı için metinsel iletişimde veri girişini ve okunabilirliği kolaylaştırır, ancak bazı yayınlarda teşvik edilmez. ×10x

Örnekler ve diğer gösterimler

  • E notasyonu, 1958'de IBM 709 için SHARE İşletim Sistemi (SOS) geliştiricileri tarafından zaten kullanılıyordu .
  • En popüler programlama dillerinde, 6.022E23(veya 6.022e23) şuna eşdeğerdir:6.022 × 10 23 ve1,6 × 10 −35 yazılacaktır1.6E-35(örneğin Ada , Analytica , C / C++ , FORTRAN (1958 itibariyle FORTRAN II'den beri), MATLAB , Scilab , Perl , Java , Python , Lua , JavaScript , ve diğerleri).
  • 1972'de bilimsel gösterimi destekleyen ilk cep hesaplayıcılarının piyasaya sürülmesinden sonra ( HP-35 , SR-10 ) dekapower terimi , bazen ortaya çıkan kullanıcı topluluklarında, onu "normalden daha iyi ayırt etmek için on'un gücü çarpanı için kullanıldı. "Üslüler. Aynı şekilde daktiloyla yazılan sayılarda "D" harfi kullanılmıştır. Bu gösterim Jim Davidson tarafından önerildi ve Richard J. Nelson'ın Hewlett-Packard bülteni 65 HP-65 kullanıcıları için Notlar'ın Ocak 1976 sayısında yayınlandı ve Richard C. Vanderburgh tarafından kabul edildi ve Texas Instruments topluluğuna taşındı . Kasım 1976'da SR-52 kullanıcıları için 52-Notes bülteninin editörü .
  • LED cep hesap makinelerinin ekranlarında "e" veya "E" görüntülenmiyordu. Bunun yerine, mantis ve üs arasında bir veya daha fazla basamak boş bırakıldı (örneğin 6.022 23, Hewlett-Packard HP-25'teki gibi ) veya üs için ayrılmış bir çift daha küçük ve hafifçe yükseltilmiş basamak kullanıldı (örneğin , Commodore PR100 ).6.022 23
  • FORTRAN (en azından 1961 itibariyle FORTRAN IV'ten beri ) bilimsel gösterimde çift ​​kesinlikli sayıları belirtmek için "D" kullanır .
  • Benzer şekilde, Sharp cep bilgisayarları PC-1280 , PC-1470U , PC-1475 , PC-1480U , PC-1490U , PC-1490UII , PC-E500 , PC-E500S , PC-E550 , PC- tarafından bir "D" kullanılmıştır. E650 ve PC-U6000 bilimsel gösterimle 20 basamaklı çift duyarlıklı sayılar belirtmek için BASIC 1987 ile 1995 yılları arasında.
  • ALGOL 60 (1960) programlama dili bir alt simge on "kullanan 10 örneğin" karakterini yerine harfi E,: .6.0221023
  • Çeşitli Algol standartlarında " 10 " un kullanılması, böyle bir " 10 " karakteri sağlamayan bazı bilgisayar sistemlerinde bir zorluk oluşturmuştur . Sonuç olarak Stanford Üniversitesi Algol-W mesela tek alıntı, kullanımı gerektiren 6.022'+23ve bazı Sovyet Algol Kiril karakteri "kullanılmasına izin varyantları ю " karakteri, örneğin 6.022ю + 23.
  • Daha sonra, ALGOL 68 programlama dili 4 karakter seçeneği sağladı: E, e, \, veya 10. Örneklerle: 6.022E23, 6.022e23, 6.022\23veya .6.0221023
  • Ondalık Üs Sembolü , Unicode Standardının bir parçasıdır , örn 6.022⏨23. Algol 60 ve Algol 68 programlama dillerinde kullanıma uyum sağlamak için U+23E8ONDALIK ÜS SEMBOL olarak dahil edilmiştir .
  • TI-83 dizisi ve TI-84 Plus serisi hesap stilize bir kullanımı e karakter göstergesi için ondalık üs ve 10 eşdeğer x 10 ^ belirtmek için karakter operatör .
  • Simula programlama dili kullanımını gerektirir &(veya &&için uzun , örneğin): 6.022&23(veya 6.022&&23).
  • Wolfram Dil (kullanılan Mathematica'nın ) 'in bir bir notasyon sağlar 6.022*^23. (Bunun yerine, Etemsil eder matematik sabiti e ).

boşluk kullanımı

Normalleştirilmiş bilimsel gösterimde, E gösteriminde ve mühendislik gösteriminde, yalnızca "×" den önce ve sonra veya "E" nin önünde izin verilen boşluk ( dizgide normal genişlikte bir boşluk veya ince bir boşlukla temsil edilebilir ) alfabetik karakterden önce yapılması daha az yaygın olsa da bazen atlanır.

Bilimsel gösterimin diğer örnekleri

  • Bir elektronun kütlesi yaklaşık0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kg . Bilimsel gösterimde, bu yazılır9.109 383 56 × 10 −31  kg (SI birimlerinde).
  • Dünya 'nın kütlesi hakkındadır5 972 400 000 000 000 000 000 000  kg . Bilimsel gösterimde, bu yazılır5.9724 × 10 24  kg .
  • Dünya'nın çevresi yaklaşık40 000 000  m . Bilimsel gösterimde, bu4 x 10 7  m . Mühendislik notasyonunda, bu yazılır40 x 10 6  m . In SI yazma stili , bu yazılı olabilir40 mm (40 megametre ).
  • Bir inç tam olarak tanımlanır 25,4 mm . Bir değerini alıntılamak25.400 mm , değerin en yakın mikrometreye kadar doğru olduğunu gösterir. Yalnızca iki anlamlı basamağa sahip yaklaşık bir değer,Bunun yerine 2,5 × 10 1  mm . Önemli basamak sayısında bir sınırlama olmadığı için, gerekirse bir inçin uzunluğu şu şekilde yazılabilir (diyelim ki)Bunun yerine 2.540 000 000 00 × 10 1  mm .
  • Hiperenflasyon , çok az mal olduğu için çok fazla para basıldığında ortaya çıkan ve enflasyonun bir ayda %50 veya daha fazla yükselmesine neden olan bir sorundur; para birimleri zamanla içsel değerlerini kaybetme eğilimindedir. Bazı ülkelerde bir ayda yüzde 1 milyon veya daha fazla enflasyon oranı olmuştur ve bu da genellikle kısa bir süre sonra ülkenin para biriminin terk edilmesiyle sonuçlanmaktadır. Kasım 2008'de Zimbabwe dolarının aylık enflasyon oranı yüzde 79,6 milyara ulaştı; üç anlamlı rakamla yaklaşık değer7,96 × 10 yüzde 10 .

Sayıları dönüştürme

Bu durumlarda bir sayıyı dönüştürmek, sayıyı bilimsel gösterim biçimine dönüştürmek, tekrar ondalık biçime dönüştürmek veya denklemin üs kısmını değiştirmek anlamına gelir. Bunların hiçbiri gerçek sayıyı değiştirmez, sadece nasıl ifade edildiğini.

bilimsel ondalık

İlk olarak, normalleştirilmiş gösterim için sayının değerini 1 ile 10 arasında istenen bir aralığa yerleştirmek için ondalık ayırıcı noktayı yeterli yere taşıyın, n . Ondalık sayı sola kaydırılmışsa, sonuna ; sağa, . Sayıyı temsil etmek için× 10n× 10−n1.230.400 normalleştirilmiş bilimsel gösterimde, ondalık ayırıcı 6 basamak sola kaydırılır ve eklenir.× 1061.2304 × 10 6 . Numara−0.004 0321 , ondalık ayırıcısının sol yerine 3 basamak sağa kaydırılmasını sağlar ve sonuç verirSonuç olarak −4.0321 × 10 −3 .

Bilimsel ila ondalık

Bir sayıyı bilimsel gösterimden ondalık gösterime dönüştürmek için önce uçtaki işareti kaldırın , ardından ondalık ayırıcının n basamaklarını sağa (pozitif n ) veya sola (negatif n ) kaydırın . Numara× 10n1.2304 × 10 6 , ondalık ayırıcısının 6 haneyi sağa kaydırmasını ve1.230.400 iken−4.0321 × 10 −3 , ondalık ayırıcısının 3 basamak sola kaydırılmasını ve−0,004 0321 .

üstel

Aynı sayının farklı üssel değerlere sahip farklı bilimsel gösterimleri arasında dönüştürme, anlamlı üzerinde onluk bir kuvvetle ve üs kısmında bir çıkarma veya toplama işleminin zıt işlemleri yapılarak elde edilir. Anlamdaki ondalık ayırıcı, aşağıda gösterildiği gibi x basamak sola (veya sağa) kaydırılır ve x üsse eklenir (veya çıkarılır).

1.234 × 10 3 =12.34 × 10 2 =123.4 × 10 1 = 1234

Temel işlemler

Bilimsel gösterimde iki sayı verildiğinde,

ve

Çarpma ve bölme , üslü işlem kuralları kullanılarak gerçekleştirilir :

ve

Bazı örnekler:

ve

Toplama ve çıkarma , sayıların aynı üstel kısım kullanılarak temsil edilmesini gerektirir, böylece anlamlı basitçe eklenebilir veya çıkarılabilir:

ve ile

Ardından, anlamlıları ekleyin veya çıkarın:

Bir örnek:

Diğer bazlar

Temel on normalde bilimsel gösterim için kullanılırken, diğer bazların güçleri de kullanılabilir, 2. taban en yaygın kullanılanıdır.

Örneğin, baz-2 bilimsel gösterimde, numaranız 1001 b içinde ikili (= 9 d ) olarak yazılır 1.001 b x2 d 11 b veya 1.001 b * 10 b 11 b ikili sayılar (ya da daha kısa kullanılarak 1.001 x 10 11 ise ikili bağlam açıktır). E notasyonunda bu, 1.001 b E11 b (veya daha kısası: 1.001E11) olarak yazılır ve burada E harfi şimdi "çarpı iki (10 b ) üzeri kuvvet" anlamına gelir. Bu taban-2 üssünü bir taban-10 üssünden daha iyi ayırt etmek için, bir taban-2 üssü bazen , ilk olarak Brookhaven Ulusal Laboratuvarı'ndan Bruce Alan Martin tarafından 1968'de önerilen bir kestirme gösterim olan E yerine B harfi kullanılarak da belirtilir. , 1.001 b B11 b'deki gibi (veya daha kısa: 1.001B11). Karşılaştırma için, ondalık gösterimde aynı sayı : 1.125 × 2 3 (ondalık gösterim kullanılıyor) veya 1.125B3 (hala ondalık gösterim kullanılıyor). Bazı hesap makineleri, ikili kayan noktalı sayılar için karma bir gösterim kullanır; burada üs, ikili modda bile ondalık sayı olarak görüntülenir, bu nedenle yukarıdakiler 1.001 b × 10 b 3 d veya daha kısa 1.001B3 olur.

Bu ise taban 2 ile ilgilidir kayan nokta yaygın bilgisayar aritmetiği kullanılan temsili ve IEC kullanımına ikili önekleri 1 × 2 (örneğin 1B10 10 ( KiBi 1B20 x 2 1), 20 ( MEBI ), 1B30 için 1×2 30 ( gibi ), 1B40 için 1×2 40 ( tebi )).

B (veya b )' ye benzer şekilde , H (veya h ) ve O (veya o veya C ) harfleri bazen 1.25 = 1.40 h × 10 h 0 h = 1.40'ta olduğu gibi kuvvetin 16 veya 8 zamanlarını belirtmek için de kullanılır. H0 = 1.40h0 veya 98000 = 2.7732 o × 10 o 5 o = 2.7732o5 = 2.7732C5.

Taban-2 üslerini belirtmek için bir başka benzer kural, bir P harfi (veya "güç" için p ) kullanmaktır. Bu gösterimde, anlamlının her zaman onaltılık olması, üs ise her zaman ondalık olması gerekir. Bu gösterim , %a veya %A dönüştürme belirteçleri kullanıldığında, C99 belirtimini ve ( Tek Unix Belirtimi ) IEEE Std 1003.1 POSIX standardını izleyen printf işlev ailesinin uygulamalarıyla üretilebilir . C++11 ile başlayarak , C++ I/O işlevleri P notasyonunu da ayrıştırabilir ve yazdırabilir. Bu arada, gösterim, C++17'den beri dil standardı tarafından tamamen benimsenmiştir . Elma 'ın Swift de bunu destekliyor. Ayrıca IEEE 754-2008 ikili kayan nokta standardı tarafından da gereklidir . Örnek: 1.3DEp42 temsil 1.3DE h x2 42 .

Mühendislik gösterimi , temel 1000 bilimsel gösterim olarak görülebilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar