Logaritmik form - Logarithmic form

Karmaşık manifoldlar ve cebirsel geometri içeren bağlamlarda , logaritmik bir diferansiyel form , belirli bir türden kutuplara sahip meromorfik bir diferansiyel formdur . Konsept Deligne tarafından tanıtıldı .

Let X, karmaşık bir manifoldu olmak D ⊂ X bir böleni ve holomorfik co s ilgili -formunu X - D . ω ve d ω'nin D boyunca en fazla bir mertebesinde bir kutbu varsa , o zaman ω'nin D boyunca logaritmik bir kutbu olduğu söylenir . ω aynı zamanda logaritmik p -formu olarak da bilinir . Logaritmik p- formları , X üzerindeki meromorfik p- formlarının bir alt demetini oluşturur ve D boyunca bir kutup ile gösterilir.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D).}$

Riemann yüzeyleri teorisinde , yerel ifadeye sahip logaritmik tek formlarla karşılaşılır.

${\displaystyle \omega ={\frac {df}{f}}=\sol({\frac {m}{z}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\sağ) )dz}$

bazı meromorfik fonksiyonu (sırasıyla. rasyonel fonksiyonu ) , g holomorfik ve 0 ° C'de olmayan ufuk ve m, sırası f de 0 . Yani, bazı açık örtüler için , bu diferansiyel formun bir logaritmik türev olarak yerel temsilleri vardır ( olağan diferansiyel operatör d/dz yerine dış türev d ile hafifçe değiştirilmiş ). ω'nin sadece tamsayı artıkları olan basit kutuplara sahip olduğunu gözlemleyin. Daha yüksek boyutlu karmaşık manifoldlarda, Poincare kalıntısı , kutuplar boyunca logaritmik formların ayırt edici davranışını tanımlamak için kullanılır. ${\görüntüleme stili f(z)=z^{m}g(z)}$

Holomorfik günlük kompleksi

Tanımına göre ve dış farklılaşma gerçeği d tatmin d ² = 0, bir yer alır ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)}$.

Bu , bölen D'ye karşılık gelen holomorfik log kompleksi olarak bilinen bir demetler kompleksinin olduğu anlamına gelir . Bu, X - D üzerindeki holomorfik formların demetlerinin kompleksinin dahil edildiği ve bulunduğu yerin bir alt kompleksidir . ${\ Displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)}$${\displaystyle j_{*}\Omega _{XD}^{\bullet }}$${\görüntüleme stili j:XD\sağ ok X}$${\displaystyle \Omega _{XD}^{\bullet }}$

D' nin basit normal geçişlere sahip olduğu durum özel ilgi çekicidir . Sonra yumuşak, indirgenemez bileşenleridir D , bir sahiptir ile çapraz toplantı. Yerel olarak D , bazı holomorfik koordinatlarda formun yerel tanımlayıcı denklemleri ile hiperdüzlemlerin birleşimidir . At p'nin sapının tatmin edici olduğu gösterilebilir. ${\displaystyle \{D_{\nu }\}}$${\displaystyle D=\sum D_{\nu }}$${\displaystyle D_{\nu }}$${\displaystyle z_{1}\cdots z_{k}=0}$${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)_{p}={\mathcal {O}}_{X,p}{\frac {dz_{1}}{z_{1} }}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X,p}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X, p}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X,p}dz_{n}}$

ve şu

${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)_{p}=\bigwedge _{j=1}^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D) _{p}}$.

Bazı yazarlar, örneğin, normal geçişleri olan bir bölene karşılık gelen holomorfik log kompleksine atıfta bulunmak için log kompleksi terimini kullanırlar .

Daha yüksek boyutlu örnek

Nerede ve karmaşık bir sayı olduğunu sağlayan karmaşık noktaların ( x , y ) yeri D olarak verilen bir kez delinmiş bir eliptik eğri düşünün . Daha sonra D pürüzsüz indirgenemez hiperyüzey olarak C ² basit, normal geçişleri ile bölen, özellikle, ve. C ^2'de meromorfik bir iki form var${\displaystyle g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,}$${\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-\lambda )}$${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$

${\displaystyle \omega ={\frac {dx\kama dy}{g(x,y)}}}$

D boyunca basit bir kutba sahip olan . Poincare Tortu boyunca w arasında D holomorfik-formu ile verilir

${\displaystyle {\text{Res}}_{D}(\omega )=\sol.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\sağ|_{D}=\left.- {\frac {dx}{\kısmi g/\kısmi y}}\sağ|_{D}=\sol.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\sağ |_{D}.}$

Logaritmik formların kalıntı teorisi için hayati önem taşıyan, bir anlamda kompakt Riemann yüzeyleri için Kalıntı Teoreminin bir genellemesi olan Gysin dizisidir . Bu da, örneğin, göstermek için kullanılabilir bir holomorfik bir biçimine uzanmaktadır, yansıtmalı kapatma bölgesinin D de P ² , düz bir eliptik eğri. ${\displaystyle dx/y|_{D}}$

Hodge teorisi

Holomorfik log kompleksi, karmaşık cebirsel çeşitlerin Hodge teorisine dayanabilir . Let X'in karmaşık cebirsel manifoldu ve olmayacak iyi kompaktifikasyonu. Bu, Y'nin kompakt bir cebirsel manifold olduğu ve D = Y − X'in , Y üzerinde basit normal geçişli bir bölen olduğu anlamına gelir . Kasnak komplekslerinin doğal olarak dahil edilmesi ${\displaystyle j:X\hookrightarrow Y}$

${\displaystyle \Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }}$

yarı-izomorfizm olduğu ortaya çıkıyor. Böylece

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbf {C} )=\mathbb {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))}$

burada değişmeli kasnaklar kompleksinin hiperkohomolojisini gösterir . Tarafından verilen azalan bir filtrasyon var${\displaystyle \mathbb {H} ^{\bullet }}$${\displaystyle W_{\bullet }\Omega _{Y}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle W_{m}\Omega _{Y}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{Y}^{p}(\log D)&m \geq p\\\Omega _{Y}^{pm}\wedge \Omega _{Y}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\end{kasalar}}}$

logaritmik p- formları üzerinde önemsiz artan filtreleme ile birlikte, kohomoloji üzerinde filtrelemeler üretir ${\displaystyle F^{\bullet }\Omega _{Y}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle W_{m}H^{k}(X;\mathbf {C} )={\text{Im}}(\mathbb {H} ^{k}(Y,W_{mk}\Omega _{ Y}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X;\mathbf {C} ))}$

${\displaystyle F^{p}H^{k}(X;\mathbf {C} )={\text{Im}}(\mathbb {H} ^{k}(Y,F^{p}\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X;\mathbf {C} ))}$.

Biri aslında Q üzerinden tanımlanabileceğini gösteriyor . Daha sonra kohomoloji üzerindeki filtrasyonlar , üzerinde karışık bir Hodge yapısına yol açar . ${\displaystyle W_{m}H^{k}(X;\mathbf {C} )}$${\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }}$${\displaystyle H^{k}(X;\mathbf {Z} )}$

Klasik olarak, örneğin eliptik fonksiyon teorisinde, logaritmik diferansiyel formlar , birinci tür diferansiyellerin tamamlayıcısı olarak kabul edildi . Bunlara bazen ikinci türden (ve talihsiz bir tutarsızlıkla, bazen de üçüncü türden ) diferansiyeller denirdi . Klasik teori artık Hodge teorisinin bir yönü olarak sınıflandırılmıştır. Bir Riemann yüzeyi için S örneğin terimi ilk tür hesabın farklılıklar H ^1,0 olarak H ¹ ( S ) tarafından ne zaman Dolbeaut izomorfik bu olarak yorumlanır demet cohomoloji grubu H ⁰ ( s , Ω) ; bu, tanımları göz önüne alındığında totologdur. H ^1,0 doğrudan toplam kısmı H ¹ ( S ), bunun yanısıra, yorumlanır H ¹ ( S , o) burada O bir demet olup holomorfik fonksiyonları üzerinde S , logaritmik farklılıkları için bir vektör alanı ile daha somut olarak tespit edilebilir .

Logaritmik form demeti

Gelen cebirsel geometri , demet arasında logaritmik diferansiyel s -biçimleri bir ilgili düz yansıtmalı çeşitli X pürüzsüz boyunca bölen tanımlandığı gibidir ve içine uyan tam dizi lokal serbest kasnakların: ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\görüntüleme stili D=\toplam D_{j}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j }{i_{j}}_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}\to 0,\,p\geq 1}$

nerede indirgenemez bölenlerin içermeleri (ve bunlar boyunca ileriye doğru itme sıfırla uzatmadır) ve p 1 olduğunda β kalıntı haritası olarak adlandırılır . ${\displaystyle i_{j}:D_{j}\to X}$

Örneğin, x kapalı bir noktaysa ve açık değilse , o zaman ${\displaystyle D_{j},1\leq j\leq k}$${\displaystyle D_{j},j>k}$

${\displaystyle {du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}}$

bir temel oluşturmak de x , yerel koordinat etrafında x şekilde yerel parametrelerdir . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$${\görüntüleme stili u_{j}}$${\displaystyle u_{j},1\leq j\leq k}$${\displaystyle D_{j},1\leq j\leq k}$

Ayrıca bakınız

• ekleme formülü
• Borel-Moore homoloji
• Birinci tür diferansiyel
• Kalıntı Teoremi
• poincare kalıntısı

Referanslar

• Aise Johan de Jong, Cebirsel de Rham kohomolojisi .
• Pierre Deligne , Denklemler Différentielles à Points Singuliers Réguliers. Matematik Ders Notları. 163.