Logaritmik Sobolev eşitsizlikleri - Logarithmic Sobolev inequalities

In matematik , logaritmik Sobolev eşitsizlikler bir işlev normunu içeren eşitsizliklerin sınıfıdır f , onun logaritma ve bunun gradyan . Bu eşitsizlikler, onları boyuttan bağımsız biçimde kuran Leonard Gross tarafından yapıcı kuantum alan teorisi bağlamında keşfedilmiş ve adlandırılmıştır . Daha önce diğer matematikçiler tarafından benzer sonuçlar keşfedilmiş ve bu tür eşitsizlikler üzerinde birçok varyasyon bilinmektedir. ${\ displaystyle \ nabla f}$

Brüt eşitsizliği kanıtladı:

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} f (x) {\ big |} ^ {2} \ log {\ big |} f (x) {\ big | } \, d \ nu (x) \ leq \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} \ nabla f (x) {\ big |} ^ {2} \, d \ nu (x) + | \! | f | \! | _ {2} ^ {2} \ log | \! | f | \! | _ {2},}$

nerede olduğu hakkındaki -norm ile, standart olmanın Gauss tedbir üzerinde klasik aksine Sobolev eşitsizlikler , Gross'un log-Sobolev eşitsizlik sonsuz boyutlu limiti onu uygulanabilir kılan herhangi bir boyut bağımlı sabit, yoktur. ${\ displaystyle | \! | f | \! | _ {2}}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ nu)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Referanslar