Günlük–günlük grafiği - Log–log plot

y  =  x  (mavi), y  =  x ²  (yeşil) ve y  =  x ³  (kırmızı) log-log grafiği .
Eksenlerin her biri üzerindeki logaritmik ölçek işaretlerine ve log  x ve log  y eksenlerinin (logaritmaların 0 olduğu yerde) x ve y'nin kendilerinin 1 olduğu yerde olduğuna dikkat edin.

Olarak , bilim ve mühendislik , bir log-log grafiği veya log-log grafiği kullanan sayısal veriler bir iki boyutlu grafiktir ölçekleri hem yatay hem de dikey eksen üzerinde. Monomials - formun ilişkileri - bir log-log grafiğinde, eğime karşılık gelen güç terimi ve çizginin kesişimine karşılık gelen sabit terim ile düz çizgiler olarak görünür. Dolayısıyla bu grafikler, bu ilişkileri tanımak ve parametreleri tahmin etmek için çok kullanışlıdır . Logaritma için herhangi bir taban kullanılabilir, ancak en yaygın olarak taban 10 (ortak günlükler) kullanılır. ${\görüntüleme stili y=ax^{k}}$

monomials ile ilişki

Denklemin logaritmasını (herhangi bir tabanla) alan bir tek terimli denklem verildiğinde : ${\görüntüleme stili y=ax^{k},}$

${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$

Bir log-log grafiğinin kullanımına karşılık gelen ve ayarı , şu denklemi verir: ${\displaystyle X=\log x}$${\displaystyle Y=\log y,}$

${\görüntüleme stili Y=mX+b}$

burada m  =  k hattı (eğimidir gradyan ) ve b  = log  bir (log ile kesişmesini olan  y günlük anlamına gelir) -Axis,  x  , bu yüzden, günlükleri geri, = 0 , bir olduğu Y karşı gelen değer x  = 1.

denklemler

Log-log ölçeğindeki bir çizginin denklemi şöyle olacaktır:

${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$

${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$

burada m eğim ve b log grafiğindeki kesişme noktasıdır.

Bir log-log grafiğinin eğimi

Oranları kullanarak bir log-log grafiğinin eğimini bulma

Grafiğin eğimini bulmak için x ekseninde x ₁ ve x ₂ gibi iki nokta seçilir . Yukarıdaki denklemi kullanarak:

${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$

ve

${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$

m eğimi , farkı alarak bulunur:

${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\ frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$

burada F ₁ , F ( x ₁ )' in kısaltmasıdır ve F ₂ , F ( x ₂ )' nin kısaltmasıdır . Sağdaki şekil formülü göstermektedir. Şekil örneğindeki eğimin negatif olduğuna dikkat edin . Formül ayrıca, logaritmanın aşağıdaki özelliğinden de görülebileceği gibi, negatif bir eğim sağlar:

${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$

Log-log grafiğinden fonksiyonu bulma

Yukarıdaki prosedür, şimdi (varsayılan) bilinen log-log grafiğini kullanarak F ( x ) fonksiyonunun formunu bulmak için tersine çevrilir . F işlevini bulmak için , sabit bir nokta ( x ₀ , F ₀ ) seçin; burada F ₀ , F ( x ₀ ) için kısayoldur , yukarıdaki grafikte düz çizgi üzerinde bir yerde ve ayrıca başka bir keyfi nokta ( x ₁ , F ₁ ) aynı grafik üzerinde. Sonra yukarıdaki eğim formülünden:

${\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}}$

hangi yol açar

${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m} ].}$

10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁ olduğuna dikkat edin . Bu nedenle, günlükler aşağıdakileri bulmak için tersine çevrilebilir:

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\sağ)^{m}}$

veya

${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},}$

bu şu anlama gelir

${\displaystyle F(x)=\mathrm {sabit} \cdot x^{m}.}$

Başka bir deyişle, F , log-log grafiğinin düz çizgisinin eğiminin gücüyle x ile orantılıdır . Spesifik olarak, ( F ₀ ,  x ₀ ) ve ( F ₁ ,  x ₁ ) noktalarını içeren bir log-log grafiğindeki düz bir çizgi şu işleve sahip olacaktır:

${\displaystyle F(x)={F_{0}}\sol({\frac {x}{x_{0}}}\sağ)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0}) )}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$

Elbette tersi de doğrudur: formun herhangi bir işlevi

${\displaystyle F(x)=\mathrm {sabit} \cdot x^{m}}$

log-log grafik gösterimi olarak düz bir çizgiye sahip olacaktır, burada çizginin eğimi  m dir .

Log-log grafiğinin düz bir doğru parçasının altındaki alanı bulma

Bir log-log grafiğinin sürekli, düz çizgi parçasının altındaki alanı hesaplamak (veya neredeyse düz bir çizginin alanını tahmin etmek) için, daha önce tanımlanan fonksiyonu alın.

${\displaystyle F(x)=\mathrm {sabit} \cdot x^{m}.}$

ve entegre edin. Yalnızca belirli bir integral (tanımlanmış iki uç nokta) üzerinde çalıştığı için, grafiğin altındaki A alanı şu şekli alır:

${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx={\frac {\mathrm {sabit} }{m+1}}\cdot x^{m+1}:[x_{0},x_{1}]}$

Orijinal denklemin yeniden düzenlenmesi ve sabit nokta değerlerinin eklenmesiyle,

${\displaystyle \mathrm {sabit} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$

İntegrali tekrar yerine koyarsak, A bölü x ₀ ila x ₁ için şunu bulursunuz.

${\displaystyle A={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m) +1})}$

${\displaystyle \log A=\log \sol[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}- x_{0}^{m+1})\right]=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m} }}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})}$

${\displaystyle \log A=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^) {m+1}}{x_{0}^{m}}}\sağ)=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \sol({\frac {x_{) 1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}} }\sağ)}$

Bu nedenle: ${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}) \sağ)^{m}-x_{0}\sağ]}$

İçin m  = 1, bütünleşik hale

$${\displaystyle A_{(m=-1)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}} {\frac {\mathrm {sabit} }{x}}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1 }}{\frac {1}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln x:[x_{0},x_{1}]}$$

${\displaystyle A_{(m=-1)}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}}$

Uygulamalar

Bu grafikler, a ve b parametrelerinin sayısal verilerden tahmin edilmesi gerektiğinde kullanışlıdır . Bunun gibi özellikler ekonomide sıklıkla kullanılır .

Bir örnek, t zamanındaki para talebinin şu şekilde verildiğinin varsayılabileceği envanter teorisine dayanan para talebi fonksiyonlarının tahminidir.

${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$

Burada M , kamu tarafından tutulan gerçek para miktarıdır , R , alternatifin getiri oranıdır , paradan daha yüksek getirisi olan varlıktır, Y kamunun gerçek geliridir , U , lognormal olarak dağıldığı varsayılan bir hata terimidir. , bir ölçek tahmin edilecek parametresi ve bir B ve c olan elastikiyet parametreleri tahmin edilmesi. Günlük alma verimleri

${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$

burada m = log M , bir = log A , R = log R , y = log Y ve u = log U ile u olan normal dağılım . Bu denklem sıradan en küçük kareler kullanılarak tahmin edilebilir .

Diğer bir ekonomik örnek, denklemin sağ tarafı olan bir firmanın Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun tahminidir.

${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta}U_{t},}$

burada Q , ayda üretilebilecek çıktı miktarıdır, N , üretimde aylık olarak kullanılan emek saati sayısıdır, K , ayda kullanılan fiziksel sermayenin saat sayısıdır, U olduğu varsayılan bir hata terimidir. lognormal olarak dağılmış ve A , , ve tahmin edilecek parametrelerdir. Günlük almak doğrusal regresyon denklemini verir ${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \beta }$

${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$

burada q = log Q , a = log A , n = log N , k = log K ve u = log U .

Log-log regresyon, doğal olarak oluşan bir fraktalın fraktal boyutunu tahmin etmek için de kullanılabilir .

Ancak, diğer yöne gitmek - verilerin bir log-log ölçeğinde yaklaşık bir çizgi olarak göründüğünü gözlemlemek ve verilerin bir güç yasasına uyduğu sonucuna varmak - geçersizdir.

Aslında, birçok başka fonksiyonel formları yaklaşık log-log ölçeği üzerinde doğrusal görünür ve sadece değerlendirilmesi uyum iyiliğini a lineer regresyon kullanılarak kaydedilir verilere belirleme katsayısı ( R, ² ) doğrusal varsayımlar olarak, hatalı olabilir Gauss hatası gibi regresyon modeli sağlanmayabilir; ek olarak, log-log formunun uygunluk testleri düşük istatistiksel güç sergileyebilir , çünkü bu testler diğer gerçek fonksiyonel formların varlığında güç yasalarını reddetme olasılığı düşük olabilir. Basit log-log grafikleri olası güç yasalarını tespit etmede öğretici olsa ve 1890'larda Pareto'ya kadar uzanan bir şekilde kullanılmış olsa da , bir güç yasaları olarak doğrulama daha karmaşık istatistikler gerektirir.

Bu grafikler ayrıca, veriler üstel bir fonksiyon boyunca kontrol değişkeni değiştirilerek toplandığında son derece kullanışlıdır; bu durumda, kontrol değişkeni x bir günlük ölçeğinde daha doğal bir şekilde temsil edilir, böylece veri noktaları sıkıştırılmak yerine eşit aralıklarla yerleştirilir. düşük son. Çıkış değişkeni y , bir lin-log grafiği (log  x , y ) vererek lineer olarak temsil edilebilir veya logaritması da alınabilir ve log-log grafiği (log  x , log  y ) elde edilebilir.

Bode arsa (a grafik bir frekans yanıtı olan bir sistemin) de log-log bir arsa.

Ayrıca bakınız

• Yarı günlük arsa (lin–log veya log–lin)
• Güç yasası
• Zipf yasası

Referanslar

Dış bağlantılar

• Newton olmayan hesap web sitesi