Lipschitz alanı - Lipschitz domain

Gelen matematik bir Lipschitz alanı (ya da Lipschitz sınır olan alan ) a, alan içinde Öklid alan sınır bu yerel olarak bir grafiği olarak düşünülebilir anlamında "yeterli düzenli" dir Lipschitz sürekli fonksiyon . Terimi almıştır Alman matematikçi Rudolf Lipschitz .

Bu tür sahalar da denir kuvvetle Lipschitz etki alanlarının daha genel bir sınıfıdır zayıf Lipschitz etki, onları kontrast. Bir zayıf Lipschitz alanı olan sınır bir Lipschitzeomorphism tarafından yerel olarak matlaştırılabilir bir etki alanıdır.

Tanım

Let . Let bir olmak açık alt kümesi içinde ve izin belirtmek sınır arasında . Daha sonra bir adlandırılır Lipschitz alan her noktası için ise bir düzlem vardır boyut boyunca , bir Lipschitz-sürekli bir fonksiyon olduğu hiper üzerinde ve değerler ve bu gibi ${\ \ Mathbb içinde displaystyle n \ {N-}}$${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Kısmi \ Omega \ displaystyle p \}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle n-1}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle g H \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle h> 0}$

• ${\ Displaystyle \ Omega \ kap C = \ sol \ {\; x + y {\ vec {n}} \; | \ x \ b_ {R} (p) \ kap, H, \ h <y < g (x) \; \ doğru \}}$
• ${\ Displaystyle (\ kısmi \ Omega) \ kap C = \ sol \ {\; x + y {\ vec {n}} \; | \ x \ b_ {R} (p) \ kap, H, \ g (x) = y \; \ doğru \}}$

nerede

${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$için normal olan bir birim vektör ,${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle b_ {R} (p) = \ {\ x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \; | \; \ | xp \ | <r \, \}}$,

${\ Displaystyle C: = \ sol \ {\; x + y {\ vec {n}} \; | \ x \ b_ {R} (p) \ kap H, \ h <y <h \; \sağ\}}$.

Daha genel olarak, olduğu söylenir zayıf Lipschitz her noktası için ise , çapındaki vardır ve bir harita şekildedir ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Kısmi \ Omega \ displaystyle p \}$${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle l_ {s}: b_ {R} (s) \ rightarrow S}$

• ${\ Displaystyle l_ {s}}$a, bijection ;
• ${\ Displaystyle l_ {s}}$ve her ikisi de Sürekli Lipschitz fonksiyonlardır;${\ Displaystyle l_ {s} ^ {- 1}}$
• ${\ Displaystyle l_ {s} \ sol (\ kısmi \ Omega \ kap b_ {R} (p) \ sağ) = Q_ {0}}$;
• ${\ Displaystyle l_ {s} \ sol (\ Omega \ kap b_ {R} (p) \ sağ) = Q, _ {+}}$;

nerede belirtir birim topu içinde ve ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle b_ {1} (0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle Q_ {0} = \ {\ (x_ {1}, \ noktalar, x_ {n}) \ Q \; | \; x_ {n} = 0 \; \};}$

${\ Displaystyle S _ {+}. = \ {\ (X_ {1}, \ noktalar, x_ {n}) \ Q \; | \; x_ {n}> 0 \; \}}$

Lipschitz alanlarının Uygulamaları

Birçok Sobolev gömme teoremleri çalışmanın alanı bir Lipschitz alanı olmasını gerektirir. Sonuç olarak, birçok kısmi diferansiyel denklemler ve varyasyon problemleri Lipschitz etki tanımlanmıştır.

Referanslar

• Dacorogna, B. (2004). Varyasyonları Analize Giriş . Imperial College Press, Londra. ISBN  1-86094-508-2 .