Kirchhoff'un kırınım formülü - Kirchhoff's diffraction formula

Kirchhoff'un kırınım formülü (ayrıca Fresnel-Kirchhoff kırınım formülü ),ışığın çok çeşitli konfigürasyonlarda yayılımını analitik olarak veya sayısal modelleme kullanarak modellemek için kullanılabilir . Tek renkli bir küresel dalga , incelenen bir durumun gelen dalgasıolduğunda, dalga bozukluğu için bir ifade verir. Bu formül,homojen skaler dalga denkleminin çözümünü elde etmek için Green'in ikinci kimliğini kullanan Kirchhoff integral teoreminin bazı yaklaşımlarla küresel bir dalgaya uygulanmasıyla elde edilir.

Huygens-Fresnel prensibi Fresnel Kirchhoff kırınım formülü ile elde edilir.

Kirchhoff'un kırınım formülünün türetilmesi

Kirchhoff'un integral teoremi , bazen Fresnel-Kirchhoff integral teoremi olarak anılır, Green'in ikinci kimliğini kullanarak homojen skaler dalga denkleminin çözümünü, dalga denkleminin çözümü ve birinci dereceden türevi açısından keyfi bir uzaysal P konumunda türetir. P dahil olmak üzere bazı hacmin sınırı olarak keyfi bir kapalı yüzey üzerindeki tüm noktalarda . ${\görüntüleme stili S}$

Tek renkli bir kaynak için integral teoremi tarafından sağlanan çözüm ,

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac { e^{iks}}{s}}\sağ)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}\sağ]dS,}$

burada homojen bir çözeltisinin uzamsal bir parçası olan sayısal dalga denklemi (yani , homojen skalar Dalga Denklemi solüsyon olarak) k olduğu dalga sayısı ve s mesafe olan P , bir (sonsuz küçük küçük) yekpare yüzey elemanına ve O anlamına gelir integral yüzey elemanı normal birim vektörü boyunca farklılaşma (yani, bir normal türev ), yani . Not bu yüzey normal veya yönü bu entegralin üzeri kapatılmış hacmin içine doğru olan ; daha olağan olan dış yönü işaret eden normal kullanılırsa, integral ters işarete sahip olacaktır. Ve ayrıca burada gösterilen ayrılmaz teoremi, dikkat, ve P olan vektör diğer şartlar ise miktarları sayıl miktarları. ${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$${\displaystyle {\frac {\kısmi }{\kısmi n}}}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle {\frac {\kısmi f}{\kısmi n}}=\nabla f\cdot n}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$

Aşağıdaki durumlar için aşağıdaki temel varsayımlar yapılmıştır.

• Noktasal dalga kaynağı ile integral alan arasındaki mesafe, integral alan ile gözlem noktası arasındaki mesafe P ve açıklığın boyutu S dalga dalga boyundan çok daha büyüktür .${\ Displaystyle \ lambda }$

• ${\görüntüleme stili U}$ve Kirchhoff'un sınır koşulları olarak adlandırılan açıklığın sınırlarında süreksizdir . Bu, bir açıklıktaki (veya açık bir alandaki) dalgaların, dalgalar için bir engel olmasaydı mevcut olacak dalgalarla aynı olduğu varsayımıyla ilgili olabilir.${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}=\nabla U\cdot n}$

Nokta kaynağı

Kirchhoff'un kırınım formülünün türetilmesinde kullanılan geometrik bir düzenleme. A ile gösterilen alan ₁ diyafram (açıklık), A ile işaretlenmiş alanların olan ₂ opak alanları vardır ve bir ₃ kapalı entegre yüzeyinin bir parçası olarak yarıküre bir (alanlarında oluşan A ₁ , A ₂ , ve A ₃ ) Kirchhoff integral teoremi için .

Bir ekrandaki bir açıklığı aydınlatan P _0'da tek renkli bir nokta kaynağı düşünün . Yoğunluk mesafenin ters kare seyahat amplitüd mesafenin ters olarak düşer, böylece bir nokta kaynağı tarafından yayılan dalganın, düşer. Bir mesafedeki rahatsızlığın karmaşık genliği şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili r}$

${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$

burada temsil büyüklüğünü noktası kaynağında rahatsızlık. ${\görüntüleme stili bir}$

P uzaysal konumundaki bozulma , Kirchhoff'un integral teoreminin ekran ile R yarıçaplı bir kürenin kesişmesiyle oluşturulan kapalı yüzeye uygulanmasıyla bulunabilir . Entegrasyon alanları üzerinde gerçekleştirilir bir ₁ , A ₂ ve A ₃ , verme

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3 }}\sağ]\sol(U{\frac {\partial }{\partial n}}\sol({\frac {e^{iks}}{s}}\sağ)-{\frac {e^{ iks}}{s}}{\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}\sağ)dS.}$

Denklem çözmek için, değerleri varsayılmaktadır ve açıklık alanında A ₁ çok pozisyonda, ekran mevcut olmadığı zaman aynıdır Q , ${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}}$

${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r} }\sol[ik-{\frac {1}{r}}\sağ]\cos(n,r),}$

burada düz bir hat uzunluğu p ₀ Q, ve bir düz bir uzatılmış versiyonu arasındaki açıdır p ₀ Q ve açıklığa (içe doğru), normal. Not böylece üzerinde olumlu reel sayıdır A ₁ . ${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili (n,r)}$${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$${\görüntüleme stili \cos(n,r)}$

At Q , biz de var

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\sağ)={\frac {e^{iks}}{s} }\sol[ik-{\frac {1}{s}}\sağ]\cos(n,s),}$

burada düz bir çizgi uzunluğu PQ ve bir düz bir uzatılmış versiyonu arasındaki açıdır PQ ve açıklığa (içe doğru), normal. Not yüzden üzerinde olumsuz reel sayıdır A ₁ . ${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili (n,s)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$${\görüntüleme stili \cos(n,s)}$

Aşağıdaki iki varsayım daha yapılmıştır.

• Yukarıda, normal türevleri açısından ve köşeli parantezler hem de karşılaştırıldığında ihmal edilebilir olan wavenumber , aracı ve çok daha büyük olan dalga boyu .${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\görüntüleme stili r}$ ${\görüntüleme stili s}$ ${\ Displaystyle \ lambda }$
• Kirchhoff , A ₂ ile işaretlenen opak alanların ve üzerindeki değerlerin sıfır olduğunu varsayar . Bu ifade eder ve açıklığın kenarında süreksiz bir ₁ . Durum böyle değildir ve bu, Kirchhoff'un kırınım formülünün türetilmesinde kullanılan yaklaşımlardan biridir . Bu varsayımlar bazen Kirchhoff'un sınır koşulları olarak adlandırılır .${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}}$

Yarımkürede katkısı bir ₃ integrali sıfır olması beklenir ve aşağıdaki nedenlerden biri kabul edilebilir.

1. Belirli bir zamanda radiatada kaynak başlar varsayımını olun ve ardından yapmak R de rahatsızlık zaman böylece, büyük yeterince P kabul ediliyor, hiçbir katkıları A ₃ oraya gelmiş olacaktır. Böyle bir dalga artık tek renkli değildir , çünkü tek renkli bir dalga her zaman var olmalıdır, ancak bu varsayım gerekli değildir ve kullanımından kaçınan daha resmi bir argüman türetilmiştir.
2. Açıklık kaynaklanan bir dalga A ₁ bu yayar olarak küresel bir dalga doğru gelişmeye beklenmektedir (su, bu örnek, nispeten dar bir açıklık içinden geçen bir su dalga gösteren çok sayıda resim bulunabilir dalga).. Yani, R, yeteri kadar büyük olan, daha sonra üzerinde yekpare A ₃ olur burada ve açıklık merkezinden uzaklığı olan A ₁ ayrılmaz bir yüzey elemanı ve koordinat sistemi küresel ayırıcı katı açı sırasıyla.${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{ 2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{ 3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$${\görüntüleme stili r'}$${\görüntüleme stili d{\Omega }}$

Sonuç olarak, son olarak, P noktasındaki karmaşık genliği temsil eden yukarıdaki integral ,

${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[ \cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$

Bu Kirchhoff veya Fresnel-Kirchhoff kırınım formülüdür .

Huygens–Fresnel İlkesine Denklik

Kirchhoff'un formülünü Huygens-Fresnel'e benzer bir biçimde ifade etmek için kullanılan geometrik düzenleme

Huygens-Fresnel prensibi da farklı bir kapalı yüzey (bir gözlem noktası olan bir hacim sınırı üzerinden integral alınarak elde edilebilir P ). Alan A ₁ yukarıda (a yayılan bir dalga cephesinin bir kısmı ile değiştirildiği P ₀ ile) r ₀ açıklığa yakın olan, ve bir tepeye sahip bir koni bir kısmı P ₀ etiketlenir, bir ₄ sağ diyagramda. Dalga cephesi, dalga cephesi açıklığın kenarlarına çok yakın olacak şekilde konumlandırılırsa, o zaman A _4'ün katkısı ihmal edilebilir (burada varsayılır). Bu yeni üzerinde A ₁ , normal bir (çok şemada sağ tarafına doğru kapalı entegre yüzey kısmı tarafından çevrelenen hacmi doğru) içe için A ₁ radyal yönde olan P ₀ , yani, dalga cephesinin dik yönde. Bunun bir sonucu olarak, açı ve açı açı ile ilgilidir (olarak oluşan açı Huygens-Fresnel prensibi ) halinde ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili (n,r)=0}$${\görüntüleme stili (n,s)}$${\görüntüleme stili \chi }$

${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$

De dalga cephesinin kompleks genlik r ₀ ile verilmektedir

${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

Böylece, kırınım formülü olur

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS}$,

burada integral, diyagramdaki açıklığa en yakın olan r _0'da dalga cephesinin parçası üzerinde yapılır . Bu integral, Huygens-Fresnel ilkesine (eğiklik faktörü ile ) yol açar . ${\displaystyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$

Bu integralin türetilmesinde sağdaki diyagramda gösterilen geometri yerine P ₀ merkezli , iç küre yarıçapı r ₀ ve sonsuz dış küre yarıçaplı çift ​​küreler kullanılabilir. Bu geometride, gözlem noktası P iki kürenin çevrelediği hacimde bulunur, bu nedenle iki küreye Fresnel-Kirchhoff kırınım formülü uygulanır. (Bu integral yüzeyler üzerindeki normal yüzey, diyelim ki, yukarıdaki kırınım formülünde kapalı hacme doğrudur.) Formül uygulamasında, dış küre üzerindeki integral, yukarıdaki sıfıra benzer bir nedenden dolayı, yarım küre üzerindeki integral sıfırdır. .

Genişletilmiş kaynak

Açıklığın genişletilmiş bir kaynak dalgası tarafından aydınlatıldığını varsayın. Açıklıktaki karmaşık genlik U ₀ ( r ) ile verilir.

Değerleri bu, daha önce olduğu gibi, kabul edilir ve alan A ₁ değerleri bu, ekran olup mevcut olduğunda aynıdır ve içinde A ₂ sıfır (Kirchhoff sınır koşulları) ve katkısı olduğu A ₃ integrali de sıfırdır. Ayrıca 1/ s'nin k ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir olduğu varsayılır . biz daha sonra ${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle {\frac {\kısmi U}{\kısmi n}}}$

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0} (r)\cos(n,s)-{\frac {\kısmi U_{0}(r)}{\kısmi n}}\sağ]\,dS.}$

Bu, Kirchhoff kırınım formülünün en genel şeklidir. Genişletilmiş bir kaynak için bu denklemi çözmek için, kaynaktaki tek tek noktaların yaptığı katkıları toplamak için ek bir entegrasyon gerekli olacaktır. Bununla birlikte, açıklığın her noktasında kaynaktan gelen ışığın iyi tanımlanmış bir yönü olduğunu varsayarsak, ki bu, kaynak ile açıklık arasındaki mesafenin dalga boyundan önemli ölçüde büyük olması durumunda, o zaman yazabiliriz.

${\displaystyle U_{0}(r)\yaklaşık a(r)e^{ikr},}$

burada a ( r ) açıklıktaki r noktasındaki bozukluğun büyüklüğüdür . biz daha sonra

${\displaystyle {\frac {\kısmi {U_{0}(r)}}{\kısmi n}}=ika(r)\cos(n,r)}$

ve böylece

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$

Fraunhofer ve Fresnel kırınım denklemleri

Formüle ulaşmak için yapılan çeşitli yaklaşımlara rağmen, enstrümantal optikteki problemlerin çoğunu tanımlamak yeterlidir. Bunun temel nedeni, ışığın dalga boyunun karşılaşılan engellerin boyutlarından çok daha küçük olmasıdır. Çoğu konfigürasyon için analitik çözümler mümkün değildir, ancak Kirchhoff'un yakın alan ve uzak alan formülünün yaklaşımları olan Fresnel kırınım denklemi ve Fraunhofer kırınım denklemi çok geniş bir optik sistem yelpazesine uygulanabilir.

Kirchhoff kırınım formülüne ulaşırken yapılan önemli varsayımlardan biri, r ve s'nin λ'dan önemli ölçüde büyük olmasıdır. Denklemi önemli ölçüde basitleştiren başka bir yaklaşım yapılabilir: bu, P ₀ Q ve QP mesafelerinin açıklığın boyutlarından çok daha büyük olmasıdır. Bu, kişinin iki yaklaşım daha yapmasına izin verir:

• cos( n, r ) − cos( n, s ) 2cos β ile değiştirilir; burada β, P ₀ P ile açıklığın normali arasındaki açıdır . Katsayısı 1 / r 1 / ile değiştirildiği r ' s ' , R ' ve s ' den mesafelerdir P ₀ ve P açıklık bulunur orijine. Karmaşık genlik daha sonra şöyle olur:
  $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$

  
• Açıklığın xy düzleminde olduğunu ve P ₀ , P ve Q'nun (açıklıktaki genel bir nokta) koordinatlarının ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) ve ( x olduğunu varsayın. ' , y ' , 0) sırasıyla. Daha sonra elimizde:

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

r ve s'yi şu şekilde ifade edebiliriz :

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^ {2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\sağ]^{1/2},}$

${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{ 2}}{s'^{2}}}\sağ]^{1/2}.}$

Bunlar güç serileri olarak genişletilebilir:

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{ 2}+y'^{2})]+{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{ 2}+y'^{2})]^{2}+\cdots \sağ],}$

${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2 })]+{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2})]^{2}+ \cdots \sağ].}$

Karmaşık genlik P artık olarak ifade edilebilir

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{ S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$

burada f ( x ' y ' ) için yukarıda ifadelerde tüm terimler içeren s ve r her ifade ilk dönem ayrı ve biçimde yazılabilir

${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{ 5}x'y'\cdots ,}$

burada c _i sabitlerdir.

Fraunhofer kırınımı

Tüm şartlar ise f ( x ' y ' ) 'de terimler hariç ihmal edilebilir x ' ve y ' , var Fraunhofer kırılım denklemi. P ₀ Q ve PQ yön kosinüsleri ise

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s', \\m&=y/s'.\end{hizalı}}}$

Fraunhofer kırınım denklemi daha sonra

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy', }$

burada C bir sabittir. Bu formda da yazılabilir.

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr', }$

burada k, ₀ ve k olan dalga vektörleri ile ilgili dalganın P ₀ açıklığına ve açıklıktan P , sırasıyla, ve R ' açıklık içinde bir noktadır.

Nokta kaynağı, açıklıktaki karmaşık genliği U ₀ ( r' ) ile verilen genişletilmiş bir kaynakla değiştirilirse , Fraunhofer kırınım denklemi şöyle olur:

${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$

burada a ₀ ( r' ), daha önce olduğu gibi, açıklıktaki bozukluğun büyüklüğüdür.

Kirchhoff denkleminin türetilmesinde yapılan yaklaşımlara ek olarak,

• r ve s , açıklığın boyutundan önemli ölçüde daha büyüktür,
• f ( x ' , y ' ) ifadesindeki ikinci ve daha yüksek dereceli terimler ihmal edilebilir.

Fresnel kırınımı

İkinci dereceden terimler ihmal edilemediğinde, ancak tüm yüksek dereceli terimler ihmal edilebildiğinde, denklem Fresnel kırınım denklemi olur. Kirchhoff denklemi için yaklaşımlar kullanılır ve ek varsayımlar şunlardır:

• r ve s , açıklığın boyutundan önemli ölçüde daha büyüktür,
• f ( x ' , y ' ) ifadesindeki üçüncü ve daha yüksek dereceli terimler ihmal edilebilir.

Referanslar

daha fazla okuma

• Baker, BB; Copson, ET (1939, 1950). Huygens Prensibinin Matematiksel Teorisi . Oxford.
• Woan, Graham (2000). Cambridge Fizik Formülleri El Kitabı . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 9780521575072.
• J. Goodman (2005). Fourier Optiğine Giriş (3. baskı). Roberts & Co Yayıncılar. ISBN'si 978-0-9747077-2-3.
• Griffiths, David J. (2012). Elektrodinamiğe Giriş . Pearson Eğitim, Sınırlı. ISBN'si 978-0-321-85656-2.
• Bant, Yehuda B. (2006). Işık ve Madde: Elektromanyetizma, Optik, Spektroskopi ve Lazerler . John Wiley ve Oğulları . ISBN'si 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, Ian (2008). Işık Fantastik: Klasik ve Kuantum Optiğine Modern Bir Giriş . Oxford Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-19-856646-5.
• Lerner, Rita G. ; George L., Trigg (1991). Fizik ansiklopedisi . VCH. ISBN'si 978-0-89573-752-6.
• Sybil P., Parker (1993). MacGraw-Hill Fizik Ansiklopedisi . McGraw-Hill Ryerson, Sınırlı. ISBN'si 978-0-07-051400-3.