Kepler-Poinsot çokyüzlü - Kepler–Poinsot polyhedron

In geometri , bir Kepler-Poinsot polihidron dört herhangi biridir düzenli yıldız polyhedra .

Düzenli dışbükey dodekahedron ve ikosahedron yıldızlanarak elde edilebilirler ve bunlardan düzenli pentagrammik yüzlere veya tepe şekillerine sahip olmaları bakımından farklılık gösterirler . Hepsi bir şekilde pentagramın üç boyutlu analogları olarak görülebilir.

özellikleri

Dışbükey olmama

Bu figürlerin yüzleri veya köşe figürleri olarak pentagramları (yıldız beşgenleri) vardır. Küçük ve büyük bir yıldız şeklinde dodecahedron Var konveks olmayan düzenli beş köşeli yüzler. Büyük dodecahedron ve büyük bir ikosahedron Var dışbükey çokgen yüzleri ama pentagrammic köşe rakamlar .

Her durumda, iki yüz, her iki yüzün de kenarı olmayan bir çizgi boyunca kesişebilir, böylece her yüzün bir kısmı şeklin içinden geçer. Bu tür kesişme çizgileri çokyüzlü yapının bir parçası değildir ve bazen yanlış kenarlar olarak adlandırılır. Benzer şekilde, bu tür üç çizgi herhangi bir yüzün köşesi olmayan bir noktada kesiştiğinde, bu noktalar yanlış köşelerdir. Aşağıdaki resimler, gerçek köşelerde küreleri ve gerçek kenarlar boyunca mavi çubukları göstermektedir.

Örneğin, küçük yıldız şeklinde dodekahedron , merkezi beşgen kısmı katının içine gizlenmiş olan 12 pentagram yüze sahiptir . Her yüzün görünen kısımları , beşgen etrafında beş noktada birbirine değen beş ikizkenar üçgenden oluşur . Dıştan aynı görünen yeni, düzensiz bir çokyüzlü elde etmek için bu üçgenleri 60 ayrı yüz olarak ele alabiliriz. Her kenar şimdi üç kısa kenara (iki farklı türden) bölünecek ve 20 sahte köşe doğru olacak, böylece toplam 32 köşemiz olacak (yine iki türden). Gizli iç beşgenler artık çokyüzlü yüzeyin bir parçası değildir ve kaybolabilir. Şimdi Euler'in formülü şu şekildedir : 60 − 90 + 32 = 2. Bununla birlikte, bu çokyüzlü artık Schläfli sembolü {5/2, 5} ile tanımlanan polihedron değildir ve bu nedenle hala göründüğü halde bir Kepler–Poinsot katı olamaz. dışarıdan biri gibi.

Euler karakteristiği

Bir Kepler-Poinsot polihedron, sınırlı küresini birden fazla kez kaplar; yüz merkezleri, pentagrammik yüzleri olan şekillerde sarma noktaları olarak hareket eder ve diğerlerinde köşeler. Bu nedenle, Platonik katılar ve özellikle Euler ilişkisi gibi topolojik olarak küreye zorunlu olarak eşdeğer değildirler.

her zaman tutmaz. Schläfli, tüm çokyüzlülerin χ = 2 olması gerektiğine karar verdi ve küçük yıldız şeklinde onikiyüzlü ve büyük onikiyüzlüleri uygun çokyüzlüler olarak reddetti. Bu görüş hiçbir zaman geniş çapta benimsenmedi.

Euler formülünün tepe şekillerinin ( ) ve yüzlerin ( ) yoğunluğunu ( D ) kullanan değiştirilmiş bir formu Arthur Cayley tarafından verilmiştir ve hem dışbükey çokyüzlüler (düzeltme faktörlerinin tümü 1'dir) hem de Kepler-Poinsot çokyüzlüleri için geçerlidir. :

Dualite ve Petrie çokgenleri

Kepler-Poinsot çokyüzlüleri ikili çiftler halinde bulunur. Dualler aynı Petrie poligonuna veya daha kesin olarak aynı iki boyutlu izdüşümlü Petrie poligonlarına sahiptir.

Aşağıdaki resimler aynı kenar yarıçapına sahip iki ikili bileşiği göstermektedir . Ayrıca Petrie çokgenlerinin çarpık olduğunu da gösterirler . Aşağıdaki makalede açıklanan iki ilişki resimlerde de kolayca görülmektedir: Menekşe kenarlarının aynı olması ve yeşil yüzlerin aynı düzlemde olması.

önde yatay kenar önde dikey kenar petri çokgen
küçük yıldız şeklinde dodekahedron {5/2, 5} büyük oniki yüzlü {5, 5/2} altıgen {6}
büyük ikosahedron {3, 5/2} büyük yıldız şeklinde dodekahedron {5/2, 3} dekagram { 10/3 }
Petrie altıgenleri ile sD ve gD'nin bileşimi
Petrie dekagramları ile gI ve gsD'nin bileşimi

Özet

İsim
(Conway'in kısaltması)
Resim küresel
döşeme
yıldız
diyagramı
Schläfli
{p, q} ve
Coxeter-Dynkin
Yüzler
{s}
Kenarlar Köşeler
{q}
Köşe
şekli

(yapılandırma)
petri çokgen χ Yoğunluk Simetri Çift
büyük oniki yüzlü
(gD)
Büyük dodecahedron (sarı yüzlü gri).svg Büyük on iki yüzlü döşeme.png Dodecahedron facets.svg'nin ikinci yıldızı {5, 5/2}
CDel düğümü 1.pngCDel 5.pngCDel düğümü.pngCDel 5.pngCDel fare.pngCDel d2.pngCDel düğümü.png
12
{5}
30 12
{5/2}
Büyük dodecahedron vertfig.png
(5 5 )/2
İskelet Gr12, Petrie, çubuk, boyut m, 3-kat.png
{6}
-6 3 Ben h küçük yıldız şeklinde dodekahedron
küçük yıldız şeklinde dodekahedron
(sD)
Küçük yıldız şeklinde dodekahedron (sarı yüzlü gri).svg Küçük yıldız şeklinde dodecahedron tiling.png Dodecahedron'un ilk yıldız şekli facets.svg {5/2, 5}
CDel düğümü.pngCDel 5.pngCDel düğümü.pngCDel 5.pngCDel fare.pngCDel d2.pngCDel düğümü 1.png
12
{5/2}
30 12
{5}
Küçük yıldız şeklinde on iki yüzlü vertfig.png
(5/2) 5
İskelet St12, Petrie, çubuk, boyut m, 3-kat.png
{6}
-6 3 Ben h büyük on iki yüzlü
büyük ikosahedron
(gI)
Büyük icosahedron (sarı yüzlü gri).svg Büyük icosahedron döşeme.png Büyük icosahedron yıldız şekli facets.svg {3, 5/2}
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü.pngCDel 5.pngCDel fare.pngCDel d2.pngCDel düğümü.png
20
{3}
30 12
{5/2}
Büyük icosahedron vertfig.svg
(3 5 )/2
Skeleton Gr20, Petrie, çubuk, boyut m, 5-fold.png
{10/3}
2 7 Ben h büyük yıldız şeklinde dodekahedron
büyük yıldız şeklinde oniki yüzlü
(sgD = gsD)
Büyük yıldız şeklinde dodekahedron (sarı yüzlü gri).svg Büyük yıldız şeklinde dodecahedron tiling.png Dodecahedron'un üçüncü yıldızı facets.svg {5/2, 3}
CDel düğümü.pngCDel 3.pngCDel düğümü.pngCDel 5.pngCDel fare.pngCDel d2.pngCDel düğümü 1.png
12
{5/2}
30 20
{3}
Büyük yıldız şeklinde dodecahedron vertfig.png
(5/2) 3
İskelet GrSt12, Petrie, çubuk, boyut m, 5-kat.png
{10/3}
2 7 Ben h büyük ikosahedron

Düzenli çokyüzlüler arasındaki ilişkiler

Conway'in altı çokyüzlü arasındaki ilişkiler sistemi ( yoğunluğa göre dikey olarak sıralanmıştır )

Conway'in operasyonel terminolojisi

John Conway , Kepler- Poinsot polihedrasını dışbükey katıların büyüklükleri ve yıldızları olarak tanımlar .
Onun içinde adlandırma küçük yıldız şeklinde dodecahedron sadece edilir dodecahedrondur yıldız şeklinde .

ikosahedron (I) on iki yüzlü (D)
büyük oniki yüzlü (gD) yıldız şeklinde dodekahedron (sD)
büyük ikosahedron (gI) büyük yıldız şeklinde on iki yüzlü (sgD = gsD)

Yıldız, beşgen yüzleri pentagramlara dönüştürür. (Bu anlamda yıldız, benzersiz bir işlemdir ve aşağıda açıklanan daha genel yıldızla karıştırılmamalıdır .)

Büyütme , yüzlerin türünü korur, onları paralel düzlemlere kaydırır ve yeniden boyutlandırır.

Yıldızlar ve cepheler

Büyük icosahedron biridir stellations ait İkosahedronun . (Bkz . Elli Dokuz Icosahedra )
Diğer üçü de on iki yüzlünün yıldızlarıdır .

Büyük yıldız şeklinde dodecahedron bir olan yontma dodecahedronun.
Diğer üçü, ikosahedronun yüzleridir.

Kavşaklar yeni kenarlar ve köşeler olarak ele alınırsa , elde edilen şekiller düzenli olmayacak , ancak yine de yıldız olarak kabul edilebilirler .

(Ayrıca bkz . Wenninger çokyüzlü modellerinin listesi )

Paylaşılan köşeler ve kenarlar

Büyük yıldız şeklindeki dodekahedron, köşelerini dodecahedron ile paylaşır. Diğer üç Kepler-Poinsot polihedrası, ikosahedron ile kendilerininkini paylaşır. İskeletler köşe paylaşan katıların olan topolojik eşdeğeri.

Çokyüzlü 20 büyük.png
ikosahedron
Çokyüzlü harika 12.png
büyük on iki yüzlü
Çokyüzlü harika 20.png
büyük ikosahedron
Çokyüzlü harika 12 dual.png
küçük yıldız şeklinde dodekahedron
Çokyüzlü 12 büyük.png
on iki yüzlü
Çokyüzlü harika 20 dual.png
büyük yıldız şeklinde dodekahedron
köşeleri ve kenarları paylaş köşeleri ve kenarları paylaş köşeleri paylaş, iskeletler on iki yüzlü grafiği oluşturur
köşeleri paylaş, iskeletler ikosahedral grafiği oluşturur

Yıldızlı dodecahedra

Gövde ve çekirdek

Küçük ve büyük bir yıldız şeklinde dodecahedron bir şekilde görülebilir düzenli ve büyük bir dodekahedronun onların kenarları ve kesiştiği onlar kadar uzatıldı yüzleri.
Bu çekirdeklerin beşgen yüzleri, yıldız çokyüzlülerinin pentagram yüzlerinin görünmeyen kısımlarıdır.
Küçük yıldız şeklinde onikiyüzlü için gövde, çekirdekten kat daha büyüktür ve büyük için kat daha büyüktür. (Bkz. Altın oran )
(Orta yarıçap , farklı çokyüzlülerin boyutunu karşılaştırmak için yaygın bir ölçüdür.)

Artırmalar

Geleneksel olarak, iki yıldız çokyüzlü, büyütmeler (veya birikimler ) olarak tanımlanmıştır.yani yüzlerine piramitler eklenmiş onikiyüzlü ve ikosahedron olarak.

Kepler, küçük yıldıza artırılmış bir dodecahedron adını verir (daha sonra ona kirpi takma adını verir ).

Onun görüşüne göre, büyük yıldız, ikosahedronla, küçük yıldız ise dodekahedronla ilişkilidir.

Bu naif tanımlar hala kullanılmaktadır. Örneğin MathWorld , Platonik katıların yüzlerine piramitler eklenerek iki yıldızlı çokyüzlülerin oluşturulabileceğini belirtir.

Bu sadece bu katıların şeklini görselleştirmeye yardımcı olur ve aslında kenar kesişimlerinin (yanlış köşeler) köşeler olduğu iddiası değildir. Öyle olsaydı, iki yıldızlı çokyüzlü, topolojik olarak pentakis dodecahedron ve triakis icosahedron'a eşdeğer olurdu .

Simetri

Tüm Kepler-Poinsot çokyüzlüleri , tıpkı dışbükey gövdeleri gibi tam ikosahedral simetriye sahiptir .

Büyük ikosahedron ve onun ikili benzer ikosahedron ve 3 kat (sarı) ve 5-kat (kırmızı) simetri eksenleri yüzleri ve köşe sahip olmasıyla da ikili.
Olarak büyük bir dodecahedrona ve onun ikili bütün yüzleri ve köşe 5-kat simetri eksenleri üzerinde (bu nedenle bu görüntülerde sarı elemanlar vardır) vardır.

Aşağıdaki tablo katıları ikili çiftler halinde göstermektedir. Üst sırada piritohedral simetri ile gösterilirler , alt sırada ikosahedral simetri ile (belirtilen renklerin atıfta bulunduğu).

Aşağıdaki tablo 5 katlı (kırmızı), 3 katlı (sarı) ve 2 katlı (mavi) simetri eksenlerinden ortografik projeksiyonları göstermektedir .

{3, 5} ( I ) ve {5, 3} ( D ) {5, 5/2} ( gD ) ve {5/2, 5} ( sD ) {3, 5/2} ( gI ) ve {5/2, 3} ( gsD )
Çokyüzlü 20 piritohedral big.pngÇokyüzlü 12 piritohedral big.png

( animasyonlar )

Çokyüzlü büyük 12 pyritohedral.pngÇokyüzlü harika 12 çift pyritohedral.png

( animasyonlar )

Çokyüzlü büyük 20 pyritohedral.pngÇokyüzlü büyük 20 çift pyritohedral.png

( animasyonlar )

Çokyüzlü 20 büyük.pngÇokyüzlü 12 büyük.png

( animasyonlar )

Çokyüzlü harika 12.pngÇokyüzlü harika 12 dual.png

( animasyonlar )

Çokyüzlü harika 20.pngÇokyüzlü harika 20 dual.png

( animasyonlar )

Tarih

Kepler-Poinsot çokyüzlülerinin hepsi olmasa da çoğu Kepler'den önce şu veya bu şekilde biliniyordu. Küçük bir yıldız şeklinde dodecahedron, St. Mark's Basilica , Venedik , İtalya'nın zemininde mermer bir tarsiada (kakma panel) görünür . 15. yüzyıldan kalmadır ve bazen Paolo Uccello'ya atfedilir .

Onun içinde Perspectiva corporum regularium ( düzenli katıların Perspectives ), 1568 yılında yayınlanan woodcuts kitabı, Wenzel Jamnitzer tasvir Büyük yıldız şeklinde dodecahedron ve büyük bir dodecahedron (her ikisi aşağıda gösterilmiştir). Ayrıca küçük yıldız şeklinde dodecahedron'un kesilmiş bir versiyonu da vardır . Kitabın genel düzenlemesinden, yalnızca beş Platonik katıyı düzenli olarak kabul ettiği açıktır.

Bazen Kepler polyhedra olarak da adlandırılan küçük ve büyük yıldız şeklinde on iki yüzlü , ilk olarak Johannes Kepler tarafından 1619 civarında düzenli olarak kabul edildi. Bunları , düzenli dışbükey dodekahedron'u ilk kez bir katı yerine bir yüzey olarak ele alarak yıldız haline getirerek elde etti . Dışbükey dodekahedronun kenarlarını veya yüzlerini tekrar buluşana kadar uzatarak yıldız beşgenler elde edebileceğini fark etti. Ayrıca, bu yıldız beşgenlerinin de düzenli olduğunu fark etti. Bu şekilde iki yıldız şeklinde dodecahedra'yı inşa etti. Her biri, iç kısımda "gizli" olan her yüzün merkezi dışbükey bölgesine sahiptir ve yalnızca üçgen kollar görünür durumdadır. Kepler'in son adımı, geleneksel Platonik katılar gibi dışbükey olmasalar da, bu çokyüzlülerin düzenlilik tanımına uyduğunu kabul etmekti .

1809'da Louis Poinsot , her tepe noktasının etrafına yıldız beşgenleri birleştirerek Kepler'in figürlerini yeniden keşfetti. Ayrıca, iki tane daha düzenli yıldız, büyük ikosahedron ve büyük dodekahedron keşfetmek için yıldız köşelerinin etrafında dışbükey çokgenler topladı. Bazı insanlar bu ikisine Poinsot çokyüzlü diyor . Poinsot, tüm düzenli yıldız çokyüzlülerini keşfedip keşfetmediğini bilmiyordu.

Üç yıl sonra, Augustin Cauchy , Platonik katıları yıldızlaştırarak listenin tamamlandığını kanıtladı ve bundan neredeyse yarım yüzyıl sonra, 1858'de Bertrand , onları fasetleyerek daha zarif bir kanıt sağladı.

Ertesi yıl, Arthur Cayley Kepler-Poinsot çokyüzlülerine bugün genel olarak bilinen isimleri verdi.

Yüz yıl sonra, John Conway dört boyuta kadar olan yıldızlar için sistematik bir terminoloji geliştirdi . Bu şemada küçük yıldız şeklinde onikiyüzlü sadece yıldız şeklinde onikiyüzlüdür .

Zemin mozaik içinde Aziz Marco Bazilikası , Venedik bazen atfedilen Paolo Uccello
Büyük dodecahedron ve büyük bir yıldız şeklinde dodecahedron içinde Perspectiva corporum Regularium tarafından Wenzel Jamnitzer (1568)
Yıldızlı dodecahedra, Harmonices Mundi , Johannes Kepler (1619)
Tübingen Üniversitesi'nden karton model (yaklaşık 1860)

Sanat ve kültürde düzenli yıldız çokyüzlüler

İskender'in Yıldızı

Büyük dodekahedron'un bir diseksiyonu , 1980'lerin bulmacası Alexander's Star için kullanıldı . Düzenli yıldız çokyüzlüler ilk olarak Rönesans sanatında ortaya çıkar. Küçük bir yıldız şeklinde dodekahedron, Venedik, İtalya'daki St. Mark Bazilikası'nın zemininde mermer bir tarsia içinde tasvir edilmiştir. 1430 ve bazen Paulo Ucello'ya atfedilir.

20. yüzyılda, sanatçı MC Escher'in geometrik formlara olan ilgisi, genellikle düzenli katılara dayalı veya bunları içeren çalışmalara yol açtı; Yerçekimi , küçük yıldız şeklinde bir dodecahedron'a dayanmaktadır.

Norveçli sanatçı Vebjørn Sands heykeli Kepler Star , Gardermoen'deki Oslo Havalimanı yakınlarında sergileniyor . Yıldız 14 metre genişliğindedir ve büyük bir yıldız şeklinde onikiyüzlü içinde bir ikosahedron ve bir onikiyüzlüden oluşur .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

bibliyografya

  • J. Bertrand , Not sur la théorie des polyedres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), s. 79-82, 117.
  • Augustin-Louis Cauchy , Recherches sur les polyedres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
  • Arthur Cayley , Poinsot'un Dört Yeni Düzenli Katısı Üzerine. Phil. Mag. 17 , s. 123–127 ve 209, 1859.
  • John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Şeylerin Simetrisi 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Bölüm 24, Normal Yıldız-politoplar, s. 404–408)
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editörlük F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Kağıt 1) HSM Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Yapabilmek. Matematik. Kongre 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
    • (Bildiri 10) HSM Coxeter, Star Polytopes ve Schlafli Fonksiyonu f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • Theoni Pappas , (Kepler-Poinsot Katıları) Matematiğin Sevinci . San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, s. 113, 1989.
  • Louis Poinsot , Memoire sur les polygones et polyedres. J. de l'École Polytechnique 9 , s. 16–48, 1810.
  • Lakatos, İmre; Kanıtlar ve Reddetmeler , Cambridge University Press (1976) - Euler karakteristiğinin kanıtının tartışılması
  • Wenninger, Magnus (1983). Çift Modeller . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-521-54325-8., s. 39–41.
  • John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Şeylerin Simetrileri 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Bölüm 26. s. 404: Normal yıldız-politoplar Boyut 3)
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: Görsel Bir Yaklaşım . California: California Press Berkeley Üniversitesi. ISBN'si 0-520-03056-7. Bölüm 8: Kepler Poisot çokyüzlü

Dış bağlantılar