matematik -Calculus

Matematik , sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır , aynı şekilde geometri şeklin incelenmesidir ve cebir aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesidir .

Diferansiyel hesap ve integral hesap olmak üzere iki ana dalı vardır ; ilki anlık değişim oranları ve eğrilerin eğimleriyle ilgilidir , ikincisi ise miktarların birikimi ve eğrilerin altındaki veya arasındaki alanlarla ilgilidir . Bu iki dal, hesabın temel teoremi ile birbiriyle ilişkilidir ve sonsuz dizilerin ve sonsuz serilerin iyi tanımlanmış bir sınıra yakınsamasına ilişkin temel kavramları kullanırlar .

Sonsuz küçükler hesabı, 17. yüzyılın sonlarında Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirildi . Sınırlar fikrinin kodlanması da dahil olmak üzere daha sonraki çalışmalar, bu gelişmeleri daha sağlam bir kavramsal temele oturttu. Bugün matematik, bilim , mühendislik ve sosyal bilimlerde yaygın kullanımlara sahiptir .

etimoloji

Matematik eğitiminde matematik , temel olarak fonksiyonların ve limitlerin incelenmesine ayrılan temel matematiksel analiz derslerini ifade eder . Calculus kelimesi Latince'de "küçük çakıl" anlamına gelir ( "taş" anlamına gelen calx'in küçültülmüş hali ) , tıpta hala devam eden bir anlam . Bu tür çakıl taşları mesafeleri saymak, oyları saymak ve abaküs aritmetiği yapmak için kullanıldığından , kelime bir hesaplama yöntemi anlamına geldi. Bu anlamda, Leibniz ve Newton'un yayınlarından birkaç yıl önce, en azından 1672 gibi erken bir tarihte İngilizce olarak kullanılıyordu.

Diferansiyel hesap ve integral hesabına ek olarak, terim aynı zamanda belirli bir kavramı matematik açısından modellemeye çalışan belirli hesaplama yöntemlerini ve ilgili teorileri adlandırmak için de kullanılır. Bu kuralın örnekleri arasında önermeler hesabı , Ricci hesabı , varyasyonlar hesabı , lambda hesabı ve süreç hesabı yer alır . Ayrıca, "hesap" terimi, Bentham'ın felicific calculus ve etik hesap gibi sistemler için etik ve felsefede çeşitli şekillerde uygulanmıştır .

Tarih

Modern kalkülüs 17. yüzyıl Avrupa'sında Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından geliştirildi (birbirinden bağımsız olarak, ilk olarak aynı zamanlarda yayınlandı), ancak unsurları eski Yunanistan'da, ardından Çin'de ve Orta Doğu'da ve daha sonra tekrar ortaya çıktı. Ortaçağ Avrupa'sında ve Hindistan'da.

Eski öncüler

Mısır

İntegral hesabının bir amacı olan hacim ve alan hesaplamaları Mısır Moskova papirüsünde bulunabilir ( yaklaşık MÖ  1820  ), ancak formüller basit talimatlardır ve nasıl elde edildiklerine dair hiçbir gösterge yoktur.

Yunanistan

Arşimet , Parabolün Karelenmesi adlı çalışmasında bir parabolün altındaki alanı hesaplamak için tükenme yöntemini kullandı .

İntegral hesabın temellerini atan ve limit kavramının habercisi olan eski Yunan matematikçi Cniduslu Eudoxus (  390 – 337), koni ve piramit hacimlerinin formüllerini kanıtlamak için tükenme yöntemini geliştirdi.

Helenistik dönemde , bu yöntem Arşimet tarafından daha da geliştirildi ( c.  287 - c.  212 BC ), onu bölünmezler kavramıyla birleştirerek - sonsuz küçüklerin öncüsü - şimdi integral hesabıyla ele alınan birkaç sorunu çözmesine izin verdi. The Method of Mechanical Theorems'de açıklıyor . örneğin, katı bir yarımkürenin ağırlık merkezinin , kesik dairesel bir paraboloidin ağırlık merkezinin ve bir parabol ve onun sekant çizgilerinden birinin sınırladığı bölgenin alanının hesaplanması .

Çin

Tükenme yöntemi daha sonra MS 3. yüzyılda Liu Hui tarafından bir dairenin alanını bulmak için Çin'de bağımsız olarak keşfedildi. MS 5. yüzyılda, Zu Chongzhi'nin oğlu Zu Gengzhi , daha sonra bir kürenin hacmini bulmak için Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak bir yöntem geliştirdi .

Ortaçağa ait

Orta Doğu

Ibn al-Haytham , 11. yüzyıl Arap matematikçisi ve fizikçisi

Orta Doğu'da, Alhazen ( c.  965  - c.  1040 AD) olarak Latinize edilen Hasan Ibn al-Haytham , dördüncü kuvvetlerin  toplamı için bir formül türetmiştir . Sonuçları, şimdi bu fonksiyonun entegrasyonu olarak adlandırılacak şeyi gerçekleştirmek için kullandı ; burada, tam karelerin toplamları ve dördüncü kuvvetler için formüller, bir paraboloidin hacmini hesaplamasına izin verdi .

Hindistan

14. yüzyılda Hintli matematikçiler, bazı trigonometrik fonksiyonlara uygulanabilen, farklılaşmaya benzeyen, kesin olmayan bir yöntem verdiler. Sangamagrama'dan Madhava ve Kerala Astronomi ve Matematik Okulu böylece hesabın bileşenlerini belirtti. Bu bileşenleri kapsayan eksiksiz bir teori artık Batı dünyasında Taylor serisi veya sonsuz seri yaklaşımları olarak iyi bilinmektedir . Bununla birlikte, "birçok farklı fikri türev ve integralin iki birleştirici teması altında birleştiremediler , ikisi arasındaki bağlantıyı gösteremediler ve hesabı bugün sahip olduğumuz harika problem çözme aracına dönüştüremediler".

Modern

Johannes Kepler'in Stereometrica Doliorum çalışması integral hesabın temelini oluşturdu. Kepler, elipsin bir odağından çizilen birçok yarıçapın uzunluklarını toplayarak bir elipsin alanını hesaplamak için bir yöntem geliştirdi.

Önemli bir çalışma, hacimlerin ve alanların sonsuz ince kesitlerin hacim ve alanlarının toplamı olarak hesaplanması gerektiğini savunan Bonaventura Cavalieri tarafından yazılan, kökeni Kepler'in yöntemleri olan bir incelemeydi . Fikirler Arşimet'in Yöntem'deki fikirlerine benziyordu , ancak bu incelemenin 13. yüzyılda kaybolduğuna ve yalnızca 20. yüzyılın başlarında yeniden keşfedildiğine inanılıyor ve bu nedenle Cavalieri tarafından bilinmiyordu. Cavalieri'nin çalışmaları, yöntemleri hatalı sonuçlara yol açabileceğinden pek saygı görmedi ve ortaya koyduğu sonsuz küçük miktarlar ilk başta itibarsızdı.

Resmi analiz çalışması, Cavalieri'nin sonsuz küçüklerini Avrupa'da yaklaşık aynı zamanlarda geliştirilen sonlu farklar hesabıyla bir araya getirdi. Diophantus'tan ödünç aldığını iddia eden Pierre de Fermat , sonsuz küçük bir hata terimine kadar eşitliği temsil eden adequality kavramını ortaya attı . Kombinasyon, John Wallis , Isaac Barrow ve James Gregory tarafından elde edildi , son ikisi, 1670 civarında, hesabın ikinci temel teoreminin öncüllerini kanıtladı .

Çarpım kuralı ve zincir kuralı , yüksek türevler ve Taylor serileri kavramları ve analitik fonksiyonlar , Isaac Newton tarafından matematiksel fizik problemlerini çözmek için uyguladığı kendine özgü bir notasyonda kullanıldı . Newton, çalışmalarında fikirlerini zamanın matematiksel deyimine uyacak şekilde yeniden ifade etti, hesaplamaları sonsuz küçüklerle değiştirdi, suçlamanın ötesinde olduğu düşünülen eşdeğer geometrik argümanlarla değiştirdi. Gezegensel hareket problemini, dönen bir sıvının yüzeyinin şeklini, dünyanın yassılığını, bir sikloid üzerinde kayan bir ağırlığın hareketini ve Principia Mathematica'da tartışılan diğer birçok problemi çözmek için kalkülüs yöntemlerini kullandı ( 1687). Diğer çalışmalarında, kesirli ve irrasyonel kuvvetler dahil olmak üzere fonksiyonlar için seri açılımları geliştirdi ve Taylor serisinin ilkelerini anladığı açıktı . Tüm bu keşifleri yayınlamadı ve o zamanlar sonsuz küçük yöntemler hâlâ itibarsız görülüyordu.

Gottfried Wilhelm Leibniz, hesabın kurallarını açıkça belirten ilk kişiydi.
Isaac Newton, hareket ve yerçekimi yasalarında kalkülüs kullanımını geliştirdi .

Bu fikirler, başlangıçta Newton tarafından intihal yapmakla suçlanan Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından gerçek bir sonsuz küçükler hesabı halinde düzenlendi . O artık hesabın bağımsız bir mucidi ve ona katkıda bulunan biri olarak kabul ediliyor. Katkısı, ikinci ve daha yüksek türevlerin hesaplanmasına izin veren ve diferansiyel ve integral formlarında çarpım kuralını ve zincir kuralını sağlayan, sonsuz küçük miktarlarla çalışmak için net bir kurallar dizisi sağlamaktı . Newton'dan farklı olarak Leibniz, gösterim seçimleri için özenli bir çaba sarf etti.

Bugün, Leibniz ve Newton'a genellikle bağımsız olarak hesabı icat etmeleri ve geliştirmeleri için kredi verilmektedir. Newton, hesabı genel fiziğe uygulayan ilk kişiydi ve bugün matematikte kullanılan notasyonun çoğunu Leibniz geliştirdi. Hem Newton hem de Leibniz'in sağladığı temel görüşler, farklılaşma ve entegrasyonun ters süreçler, ikinci ve daha yüksek türevler ve yaklaşan bir polinom dizisi kavramı olduğunu vurgulayan türev ve entegrasyon yasalarıydı.

Newton ve Leibniz sonuçlarını ilk yayınladıklarında, hangi matematikçinin (dolayısıyla hangi ülkenin) övgüyü hak ettiği konusunda büyük bir tartışma vardı. Önce Newton sonuçlarını elde etti (daha sonra Method of Fluxions'da yayınlanacak ), ama önce Leibniz " Nova Methodus pro Maximis et Minimis "ini yayınladı. Newton, Leibniz'in, Newton'un Royal Society'nin birkaç üyesiyle paylaştığı yayınlanmamış notlarından fikir çaldığını iddia etti . Bu tartışma, İngilizce konuşan matematikçileri kıta Avrupası matematikçilerinden yıllarca İngiliz matematiğinin zararına olacak şekilde ayırdı. Leibniz ve Newton'un makalelerinin dikkatli bir incelemesi, Leibniz'in önce entegrasyonla ve Newton'un farklılaşmayla başlamasıyla, sonuçlara bağımsız olarak ulaştıklarını gösterir. Ancak yeni disipline adını veren Leibniz'dir. Newton, hesabını İngiliz okullarında 19. yüzyıla kadar süren bir terim olan " akış bilimi " olarak adlandırdı. Matematik üzerine İngilizce yazılmış ve Leibniz gösterimini kullanan ilk tam inceleme 1815'e kadar yayınlanmadı.

Leibniz ve Newton'un zamanından bu yana, birçok matematikçi hesabın süregelen gelişimine katkıda bulunmuştur. Hem sonsuz küçük hem de integral hesap üzerine ilk ve en eksiksiz çalışmalardan biri 1748'de Maria Gaetana Agnesi tarafından yazılmıştır .

vakıflar

Matematikte temeller , konunun aksiyomlardan ve tanımlardan titiz bir şekilde geliştirilmesini ifade eder . Erken kalkülüste, sonsuz küçük miktarların kullanımının titiz olmadığı düşünülüyordu ve bir dizi yazar, en önemlisi Michel Rolle ve Bishop Berkeley tarafından şiddetle eleştirildi . Berkeley, 1734'te The Analyst adlı kitabında sonsuz küçükleri, ayrılan niceliklerin hayaletleri olarak tanımladı. Analiz için titiz bir temel oluşturmak, Newton ve Leibniz'i takip eden yüzyılın büyük bir bölümünde matematikçileri meşgul etti ve bugün hala bir dereceye kadar aktif bir araştırma alanı .

Maclaurin de dahil olmak üzere birçok matematikçi sonsuz küçükleri kullanmanın sağlamlığını kanıtlamaya çalıştı, ancak Cauchy ve Weierstrass'ın çalışmaları sayesinde 150 yıl sonrasına kadar sonsuz küçük miktarların yalnızca "kavramlarından" kaçınmanın bir yolu bulundu. . Diferansiyel ve integral hesabın temelleri atılmıştı. Cauchy's Cours d'Analyse'de , sürekliliğin sonsuz küçükler cinsinden tanımı ve farklılaşmanın tanımındaki bir (ε, δ) limit tanımının (biraz kesin olmayan) bir prototipi dahil olmak üzere çok çeşitli temel yaklaşımlar buluyoruz . Weierstrass çalışmasında limit kavramını resmileştirdi ve sonsuz küçükleri ortadan kaldırdı (ancak tanımı aslında sıfır kare sonsuz küçükleri doğrulayabilir). Weierstrass'ın çalışmasının ardından, konu hala ara sıra "sonsuz küçük hesap" olarak adlandırılsa da, sonunda hesabı sonsuz küçük miktarlar yerine sınırlara dayandırmak yaygın hale geldi. Bernhard Riemann, integralin kesin bir tanımını vermek için bu fikirleri kullandı. Ayrıca bu dönemde, karmaşık analizin gelişmesiyle birlikte kalkülüs fikirleri karmaşık düzleme genelleştirildi .

Modern matematikte, hesabın temelleri, hesabın teoremlerinin tam tanımlarını ve kanıtlarını içeren gerçek analiz alanına dahil edilir . Hesabın erişimi de büyük ölçüde genişletildi. Henri Lebesgue, Émile Borel tarafından daha önceki gelişmelere dayanan ölçü teorisini icat etti ve onu en patolojik fonksiyonlar dışında tümünün integrallerini tanımlamak için kullandı . Laurent Schwartz herhangi bir fonksiyonun türevini almak için kullanılabilen dağılımları tanıttı .

Analizin temeline yönelik tek titiz yaklaşım limitler değildir. Başka bir yol da Abraham Robinson'ın standart olmayan analizini kullanmaktır . 1960'larda geliştirilen Robinson'un yaklaşımı, orijinal Newton-Leibniz anlayışında olduğu gibi, gerçek sayı sistemini sonsuz küçük ve sonsuz sayılarla artırmak için matematiksel mantıktan teknik makine kullanır. Ortaya çıkan sayılara hipergerçek sayılar denir ve bunlar, hesabın olağan kurallarının Leibniz benzeri bir gelişimini vermek için kullanılabilir. Ayrıca , türevler sırasında daha yüksek güçlü sonsuz küçüklerin ihmal edilmesini zorunlu kıldığı için standart olmayan analizden farklı olan pürüzsüz sonsuz küçükler analizi de vardır . FW Lawvere'nin fikirlerine dayanan ve kategori teorisi yöntemlerini kullanan pürüzsüz sonsuz küçük analiz, tüm fonksiyonları sürekli ve ayrı varlıklar açısından ifade edilemeyecek şekilde görür . Bu formülasyonun bir yönü, dışlanmış orta yasasının geçerli olmamasıdır. Dışlanmış orta yasası , bir sayının, işlevin veya başka bir matematiksel nesnenin varlığının kanıtlarının nesnenin bir yapısını vermesi gerektiğinde ısrar eden bir matematik dalı olan yapıcı matematikte de reddedilir . Analizin yapıcı bir çerçevede yeniden formüle edilmesi genellikle yapıcı analiz konusunun bir parçasıdır .

önemi

Analiz fikirlerinin çoğu daha önce Yunanistan , Çin , Hindistan , Irak , İran ve Japonya'da geliştirilmiş olsa da , Avrupa'da, Newton ve Leibniz'in önceki matematikçilerin çalışmaları üzerine inşa ettiği 17. yüzyılda Avrupa'da başladı. temel ilkelerini tanıtmak. Macar bilge John von Neumann bu çalışma hakkında şunları yazdı:

Analiz, modern matematiğin ilk başarısıydı ve önemini abartmak zor. Modern matematiğin başlangıcını her şeyden daha net bir şekilde tanımladığını düşünüyorum ve mantıksal gelişimi olan matematiksel analiz sistemi, kesin düşünmede hala en büyük teknik ilerlemeyi oluşturuyor.

Diferansiyel hesabın uygulamaları, hız ve ivmeyi , bir eğrinin eğimini ve optimizasyonu içeren hesaplamaları içerir . İntegral hesabın uygulamaları, alan, hacim , yay uzunluğu , kütle merkezi , ve basıncı içeren hesaplamaları içerir . Daha gelişmiş uygulamalar, güç serilerini ve Fourier serilerini içerir .

Kalkülüs ayrıca uzay, zaman ve hareketin doğasını daha kesin bir şekilde anlamak için kullanılır. Yüzyıllar boyunca matematikçiler ve filozoflar, sıfıra bölme veya sonsuz sayıda sayının toplamını içeren paradokslarla boğuştular . Bu sorular hareket ve alan çalışmasında ortaya çıkar . Antik Yunan filozofu Elea'lı Zeno, bu tür paradoksların birkaç ünlü örneğini verdi . Analiz , paradoksları çözen araçlar, özellikle limit ve sonsuz seriler sağlar.

Prensipler

Limitler ve sonsuz küçükler

Matematik genellikle çok küçük miktarlarla çalışarak geliştirilir. Tarihsel olarak, bunu yapmanın ilk yöntemi sonsuz küçüklerdi . Bunlar, gerçek sayılar gibi ele alınabilen, ancak bir anlamda "sonsuz küçük" olan nesnelerdir. Örneğin, sonsuz küçük bir sayı 0'dan büyük olabilir, ancak 1, 1/2, 1/3, ... dizisindeki herhangi bir sayıdan küçük ve dolayısıyla herhangi bir pozitif gerçek sayıdan küçük olabilir . Bu bakış açısına göre matematik, sonsuz küçükleri manipüle etmek için bir teknikler koleksiyonudur. ve sembolleri sonsuz küçük olarak alındı ​​ve türev onların oranıydı.

Sonsuz küçüklük yaklaşımı 19. yüzyılda gözden düştü çünkü sonsuz küçüklük kavramını kesin hale getirmek zordu. 19. yüzyılın sonlarında, akademide sonsuz küçüklerin yerini epsilon , sınırlara delta yaklaşımı aldı . Limitler, bir fonksiyonun belirli bir girişteki davranışını, yakın girişlerdeki değerleri cinsinden tanımlar. Gerçek sayı sisteminin içsel yapısını kullanarak ( en küçük-üst sınır özelliğine sahip bir metrik uzay olarak ) küçük ölçekli davranışı yakalarlar . Bu tedavide matematik, belirli sınırları manipüle etmek için kullanılan tekniklerin bir koleksiyonudur. Sonsuz küçükler, gittikçe küçülen sayı dizileriyle değiştirilir ve bir fonksiyonun sonsuz küçük davranışı, bu diziler için sınırlayıcı davranış alınarak bulunur. Limitlerin analiz için daha sağlam bir temel sağladığı düşünüldü ve bu nedenle 20. yüzyılda standart yaklaşım haline geldiler. Bununla birlikte, sonsuz küçük kavramı, 20. yüzyılda standart olmayan analizin ve sonsuz küçüklerin manipülasyonu için sağlam temeller sağlayan pürüzsüz sonsuz küçük analizin getirilmesiyle yeniden canlandırıldı .

Diferansiyel hesap

( x 0 , f ( x 0 )) ' daki teğet çizgi . Bir eğrinin bir noktadaki f' ( x ) türevi , o noktada o eğriye teğet olan çizginin eğimidir (boyun uzunluğuna göre artış).

Diferansiyel hesap, bir fonksiyonun türevinin tanımı, özellikleri ve uygulamalarının incelenmesidir . Türevi bulma işlemine diferansiyel denir . Tanım kümesinde bir fonksiyon ve bir nokta verildiğinde, o noktadaki türev, fonksiyonun o noktaya yakın küçük ölçekli davranışını kodlamanın bir yoludur. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada türevini bularak, türev fonksiyonu veya sadece orijinal fonksiyonun türevi olarak adlandırılan yeni bir fonksiyon üretmek mümkündür . Biçimsel olarak türev, girdi olarak bir işlev alan ve çıktı olarak ikinci bir işlev üreten doğrusal bir operatördür . Bu, fonksiyonların genellikle bir sayı girip başka bir sayı çıkardığı temel cebirde incelenen süreçlerin çoğundan daha soyuttur. Örneğin, ikiye katlama fonksiyonuna üç girişi verilirse, o zaman altı verir ve kare alma fonksiyonuna üç girişi verilirse, o zaman dokuz verir. Ancak türev, kare alma fonksiyonunu bir girdi olarak alabilir. Bu, türevin, kare alma işlevinin tüm bilgilerini aldığı anlamına gelir; örneğin, iki dörde gönderilir, üç dokuza gönderilir, dört on altıya gönderilir vb. ve bu bilgiyi başka bir işlev üretmek için kullanır. Kare alma fonksiyonunun türevi alınarak üretilen fonksiyon, ikiye katlama fonksiyonu olarak ortaya çıkar.

Daha açık terimlerle "ikiye katlama işlevi" g ( x ) = 2x ile ve "kare alma işlevi" f ( x )= x2 ile gösterilebilir . "Türev" artık " x 2 " ifadesiyle tanımlanan f ( x ) işlevini bir girdi olarak alır, yani tüm bilgi budur - örneğin ikiden dörde, üçten dokuza, dörtten gönderilir on altıya kadar vb. - ve bu bilgiyi başka bir fonksiyonun, g ( x ) = 2 x fonksiyonunun çıktısını almak için kullanır ve ortaya çıkacaktır.

Lagrange gösteriminde , bir türevin sembolü, asal adı verilen kesme işareti benzeri bir işarettir . Bu nedenle, f adı verilen bir fonksiyonun türevi , "f üssü" veya "f tire" olarak telaffuz edilen f' ile gösterilir . Örneğin, eğer f ( x ) = x 2 kare alma fonksiyonu ise, o zaman f' ( x ) = 2 x onun türevidir ( yukarıdan ikiye katlama fonksiyonu g ).

Fonksiyonun girişi zamanı temsil ediyorsa, türev zamana göre değişimi temsil eder. Örneğin, f, bir zamanı girdi olarak alan ve bir topun o andaki konumunu çıktı olarak veren bir fonksiyon ise, f'nin türevi, konumun zaman içinde nasıl değiştiğini, yani topun hızını verir . top.

Bir fonksiyon doğrusal ise (yani, fonksiyonun grafiği düz bir çizgiyse), o zaman fonksiyon y = mx + b şeklinde yazılabilir ; burada x bağımsız değişken, y bağımlı değişken, b ise y -intercept ve:

Bu, düz bir çizginin eğimi için kesin bir değer verir. Bununla birlikte, fonksiyonun grafiği düz bir çizgi değilse, o zaman y'deki değişim bölü x'teki değişim değişir . Türevler, girdideki değişime göre çıktıdaki değişim kavramına tam bir anlam verir. Somut olmak için, f bir fonksiyon olsun ve f'nin tanım kümesinde bir a noktasını sabitleyin . ( a , f ( a )) fonksiyonun grafiğindeki bir noktadır. h sıfıra yakın bir sayıysa, a + h a'ya yakın bir sayıdır . Bu nedenle, ( a + h , f ( a + h )) , ( a , f ( a )) ' ya yakındır . Bu iki nokta arasındaki eğim

Bu ifadeye fark bölümü denir . Bir eğri üzerinde iki noktadan geçen bir çizgiye sekant çizgi denir , dolayısıyla m ( a , f ( a )) ve ( a + h , f ( a + h )) arasındaki sekant çizginin eğimidir . Kesen çizgisi, a ile a + h arasında ne olduğunu hesaba katmadığı için, fonksiyonun a noktasındaki davranışına yalnızca bir yaklaşımdır . h'yi sıfıra ayarlayarak a'daki davranışı keşfetmek mümkün değildir çünkü bu tanımsız olan sıfıra bölmeyi gerektirir . Türev, h'nin sıfıra meyilli olduğu limit alınarak tanımlanır , yani h'nin tüm küçük değerleri için f'nin davranışını dikkate alır ve h'nin sıfıra eşit olduğu durum için tutarlı bir değer çıkarır :

Geometrik olarak türev , f'nin a'daki grafiğine teğet doğrunun eğimidir . Teğet çizgi, tıpkı türevin fark bölümlerinin bir limiti olması gibi, sekant çizgilerinin bir limitidir. Bu nedenle, türev bazen f fonksiyonunun eğimi olarak adlandırılır .

İşte özel bir örnek, kare alma fonksiyonunun 3 girişindeki türevi. Kare alma fonksiyonu f ( x ) = x 2 olsun.

Bir eğrinin bir noktadaki f' ( x ) türevi , o noktada o eğriye teğet olan doğrunun eğimidir. Bu eğim, kesen çizgilerin eğimlerinin sınır değeri dikkate alınarak belirlenir. Burada ilgili fonksiyon (kırmızıyla çizilmiş) f ( x ) = x 3 - x'tir . (-3/2, -15/8) noktasından geçen teğet çizginin (yeşil) eğimi 23/4'tür. Bu görüntüdeki dikey ve yatay ölçeklerin farklı olduğuna dikkat edin.

(3, 9) noktasındaki kare alma fonksiyonuna teğet doğrunun eğimi 6'dır, yani sağa gittiğinden altı kat daha hızlı yükselmektedir. Az önce açıklanan limit işlemi, kare alma fonksiyonunun etki alanındaki herhangi bir nokta için gerçekleştirilebilir. Bu , kare alma fonksiyonunun türev fonksiyonunu veya kısaca kare alma fonksiyonunun türevini tanımlar . Yukarıdakine benzer bir hesaplama, kare alma fonksiyonunun türevinin ikiye katlama fonksiyonu olduğunu gösterir.

Leibniz gösterimi

Yukarıdaki örnekteki türev için Leibniz tarafından tanıtılan ortak bir gösterim şu şekildedir:

Limitlere dayalı bir yaklaşımda, sembol öl/dxiki sayının bölümü olarak değil, yukarıda hesaplanan limitin kısaltması olarak yorumlanmalıdır. Bununla birlikte Leibniz, bunun iki sonsuz küçük sayının bölümünü temsil etmesini amaçlamıştı; dy , x'e uygulanan sonsuz küçük bir dx değişikliğinin neden olduğu y'deki son derece küçük değişiklikti . biz de düşünebilirizD/dxbir fonksiyonu girdi olarak alan ve çıktı olarak başka bir fonksiyonu, türevi veren bir türev operatörü olarak. Örneğin:

Bu kullanımda paydadaki dx " x'e göre " şeklinde okunur. Doğru gösterimin başka bir örneği şunlar olabilir:

Analiz, sonsuz küçükler yerine limitler kullanılarak geliştirildiğinde bile, dx ve dy gibi sembolleri sanki gerçek sayılarmış gibi manipüle etmek yaygındır ; bu tür manipülasyonlardan kaçınmak mümkün olsa da, bazen toplam türev gibi işlemleri ifade etmede notasyonel olarak uygundurlar .

Integral hesabı

Entegrasyon , iki nokta (burada a ve b ) arasında f ( x ) ile tanımlanan bir eğrinin altındaki alanı ölçmek olarak düşünülebilir .
Bir orta nokta Riemann dizisi, bir aralığın düzenli bir bölümü üzerinden toplanır: dikdörtgenlerin toplam alanı, fonksiyonun integraline yakınsar.

İntegral hesap, iki ilgili kavramın, belirsiz integralin ve belirli integralin tanımlarının, özelliklerinin ve uygulamalarının incelenmesidir . Bir integralin değerini bulma işlemine entegrasyon denir . Ters türev olarak da bilinen belirsiz integral , türevin ters işlemidir. f, F'nin bir türevi olduğunda F , f'nin belirsiz bir integralidir . (Bir fonksiyon ve onun belirsiz integrali için küçük ve büyük harflerin bu şekilde kullanılması, matematikte yaygındır.) Belirli integral, bir fonksiyon girer ve girdi grafiği ile fonksiyon arasındaki alanların cebirsel toplamını veren bir sayı verir. x ekseni Belirli integralin teknik tanımı, Riemann toplamı olarak adlandırılan, dikdörtgenlerin alanlarının toplamının sınırını içerir .

Motive edici bir örnek, belirli bir zamanda kat edilen mesafedir. Hız sabitse, yalnızca çarpma gerekir:

Ancak hız değişirse, mesafeyi bulmak için daha güçlü bir yöntem gereklidir. Böyle bir yöntem, zamanı birçok kısa zaman aralığına bölerek, ardından her aralıkta geçen süreyi o aralıktaki hızlardan biriyle çarparak ve ardından toplamını (bir Riemann toplamı) alarak kat edilen mesafeyi tahmin etmektir . her aralıkta kat edilen yaklaşık mesafe. Temel fikir, sadece kısa bir süre geçerse, hızın aşağı yukarı aynı kalacağıdır. Bununla birlikte, bir Riemann toplamı, kat edilen mesafenin yalnızca bir tahminini verir. Kat edilen tam mesafeyi bulmak için tüm bu Riemann toplamlarının limitini almalıyız.

Hız sabit olduğunda, verilen zaman aralığında kat edilen toplam mesafe, hız ve zamanın çarpılmasıyla hesaplanabilir. Örneğin, 3 saat boyunca sabit bir 50 mil hızla seyahat etmek, toplam 150 millik bir mesafe ile sonuçlanır. Hızı zamanın bir fonksiyonu olarak çizmek, yüksekliği hıza ve genişliği geçen zamana eşit olan bir dikdörtgen verir. Bu nedenle, hız ve zamanın çarpımı, (sabit) hız eğrisi altındaki dikdörtgen alanı da hesaplar. Bir eğrinin altındaki alan ile kat edilen mesafe arasındaki bu bağlantı , belirli bir süre boyunca dalgalanan bir hız sergileyen düzensiz şekilli herhangi bir bölgeye genişletilebilir . f ( x ), zamanla değişen hızı temsil ediyorsa , a ve b ile temsil edilen zamanlar arasında kat edilen mesafe, f ( x ) ile x ekseni arasındaki, x = a ve x = b arasındaki bölgenin alanıdır .

Bu alanı yaklaşık olarak tahmin etmek için, sezgisel bir yöntem, a ve b arasındaki mesafeyi bir dizi eşit parçaya bölmek olacaktır ; her parçanın uzunluğu Δ x sembolü ile temsil edilir . Her küçük parça için f ( x ) fonksiyonunun bir değerini seçebiliriz . Bu değeri h olarak adlandırın . Sonra, tabanı Δx ve yüksekliği h olan dikdörtgenin alanı, o parçada kat edilen mesafeyi ( Δx çarpı hız h ile çarpılır ) verir. Her segmentle ilişkili, üzerindeki fonksiyonun ortalama değeridir, f ( x ) = h . Tüm bu tür dikdörtgenlerin toplamı, katedilen toplam mesafenin bir tahmini olan, eksen ile eğri arasındaki alanın bir tahminini verir. Δ x için daha küçük bir değer daha fazla dikdörtgen verir ve çoğu durumda daha iyi bir yaklaşım sağlar, ancak kesin bir cevap için Δ x sıfıra yaklaşırken bir limit almamız gerekir .

Entegrasyonun sembolü , toplamı önermek için seçilen uzun bir S'dir . Belirli integral şu ​​şekilde yazılır:

ve " f -of- x'in a'dan b'ye x'e göre integrali " olarak okunur . Leibniz dx gösterimi , eğrinin altındaki alanı sonsuz sayıda dikdörtgene bölmeyi önermeyi amaçlar, böylece genişlikleri Δ x sonsuz küçük dx olur .

Belirsiz integral veya ters türev şu şekilde yazılır:

Sadece bir sabitle farklılık gösteren fonksiyonlar aynı türevlere sahiptir ve belirli bir fonksiyonun ters türevinin aslında sadece bir sabitle farklılaşan bir fonksiyonlar ailesi olduğu gösterilebilir. C'nin herhangi bir sabit olduğu y = x 2 + C fonksiyonunun türevi y' = 2 x olduğundan , ikincisinin ters türevi şu şekilde verilir:

Belirsiz integralde veya ters türevde bulunan belirtilmemiş C sabiti, entegrasyon sabiti olarak bilinir .

temel teorem

Analizin temel teoremi, türev ve entegrasyonun ters işlemler olduğunu belirtir. Daha kesin olarak, ters türevlerin değerlerini belirli integrallerle ilişkilendirir. Bir antitürevi hesaplamak, belirli bir integralin tanımını uygulamaktan genellikle daha kolay olduğundan, analizin temel teoremi, belirli integralleri hesaplamak için pratik bir yol sağlar. Farklılaşmanın entegrasyonun tersi olduğu gerçeğinin kesin bir ifadesi olarak da yorumlanabilir.

Analizin temel teoremi şöyle der: Eğer bir f fonksiyonu [ a , b ] aralığında sürekliyse ve F , ( a , b ) aralığında türevi f olan bir fonksiyonsa , o zaman

Ayrıca, ( a , b ) aralığındaki her x için ,

Hem Newton hem de Leibniz tarafından yapılan bu kavrayış , çalışmaları bilindikten sonra analitik sonuçların yaygınlaşmasında kilit rol oynadı. (Newton ve Leibniz'in öncekilerden ne ölçüde etkilendiğini ve özellikle Leibniz'in Isaac Barrow'un çalışmasından ne öğrenmiş olabileceğini belirlemek, aralarındaki öncelik anlaşmazlığından dolayı zordur.) Temel teorem, cebirsel bir hesaplama yöntemi sağlar. ters türevler için formüller bularak - limit işlemleri gerçekleştirmeden - birçok belirli integral . Aynı zamanda bir diferansiyel denklemin prototip çözümüdür . Diferansiyel denklemler, bilinmeyen bir fonksiyonu türevleriyle ilişkilendirir ve bilimlerde her yerde bulunur.

Uygulamalar

Nautilus kabuğunun logaritmik spirali , matematikle ilgili büyüme ve değişimi tasvir etmek için kullanılan klasik bir görüntüdür.

Calculus fizik bilimlerinin her dalında, aktüerya biliminde , bilgisayar biliminde , istatistikte , mühendislikte , ekonomide , işletmede , tıpta , demografide ve bir problemin matematiksel olarak modellenebildiği ve optimal bir çözümün istendiği diğer alanlarda kullanılır . Birinin (sabit olmayan) değişim oranlarından toplam değişime veya tersine gitmesine izin verir ve çoğu zaman bir problemi incelerken birini biliyoruz ve diğerini bulmaya çalışıyoruz. Calculus, diğer matematiksel disiplinlerle birlikte kullanılabilir. Örneğin, bir etki alanındaki bir dizi nokta için "en uygun" doğrusal yaklaşımı bulmak için doğrusal cebir ile birlikte kullanılabilir . Veya, olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen sürekli bir rasgele değişkenin beklenti değerini belirlemek için olasılık teorisinde kullanılabilir . Analitik geometride , fonksiyonların grafiklerinin incelenmesi, hesap, yüksek noktaları ve düşük noktaları (maksimum ve minimum), eğimi, içbükeyliği ve bükülme noktalarını bulmak için kullanılır . Kalkülüs, denklemlere yaklaşık çözümler bulmak için de kullanılır; pratikte diferansiyel denklemleri çözmenin ve çoğu uygulamada kök bulma yapmanın standart yoludur. Örnekler, Newton yöntemi , sabit nokta yinelemesi ve doğrusal yaklaşım gibi yöntemlerdir . Örneğin, uzay aracı, sıfır yerçekimi ortamlarında kavisli rotalara yaklaşmak için Euler yönteminin bir varyasyonunu kullanır.

Fizik, hesabı özellikle kullanır; klasik mekanik ve elektromanyetizmadaki tüm kavramlar, matematik yoluyla ilişkilidir. Yoğunluğu bilinen bir nesnenin kütlesi , nesnelerin atalet momenti ve yerçekimi ve elektromanyetik kuvvetlerden kaynaklanan potansiyel enerjilerin tümü , hesap kullanılarak bulunabilir. Analizin mekanikte kullanımına bir örnek , bir nesnenin momentumunun zamana göre türevinin , üzerindeki net kuvvete eşit olduğunu belirten Newton'un ikinci hareket yasasıdır . Alternatif olarak, Newton'un ikinci yasası, net kuvvetin nesnenin kütlesi çarpı ivmesine eşit olduğu söylenerek ifade edilebilir ; bu, hızın zamana göre türevi ve dolayısıyla uzamsal konumun zamana göre türevidir. Bir nesnenin nasıl hızlandığını bilmekten başlayarak, onun yolunu türetmek için hesabı kullanırız.

Maxwell'in elektromanyetizma teorisi ve Einstein'ın genel görelilik teorisi de diferansiyel hesabın dilinde ifade edilmiştir. Kimya ayrıca reaksiyon hızlarını belirlemede ve radyoaktif bozunmayı incelemede hesabı kullanır. Biyolojide popülasyon dinamikleri, popülasyon değişikliklerini modellemek için üreme ve ölüm oranlarıyla başlar.

Basit bir kapalı eğri C etrafındaki bir çizgi integrali ile C tarafından sınırlanan D düzlem bölgesi üzerindeki bir çift katlı integral arasındaki ilişkiyi veren Green teoremi , planimetre olarak bilinen ve bir dairenin alanını hesaplamak için kullanılan bir aletle uygulanır. bir çizim üzerinde yüzey. Örneğin, bir mülkün yerleşim planı tasarlanırken, düzensiz şekilli bir çiçek tarhının veya yüzme havuzunun kapladığı alanın miktarını hesaplamak için kullanılabilir.

Tıp alanında, akışı en üst düzeye çıkarmak için bir kan damarının en uygun dallanma açısını bulmak için hesap kullanılabilir. Bir ilacın vücuttan ne kadar hızlı atıldığını veya kanserli bir tümörün ne kadar hızlı büyüdüğünü anlamak için matematik uygulanabilir.

Ekonomide matematik, hem marjinal maliyeti hem de marjinal geliri kolayca hesaplamanın bir yolunu sağlayarak maksimum kârın belirlenmesine izin verir .

Ayrıca bakınız

notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar