ikosahedron - Icosahedron

Bir tensegrity icosahedron

İn geometrisi , bir ikosahedron ( / ˌ aɪ k ɒ s ə s Ben bir d r ən , - k ə -, - k oʊ / - veya / aɪ ˌ k ɒ s ə s Ben bir d r ən / a) çok yüzlü ile 20 yüz. İsim, Eski Yunanca εἴκοσι (eíkosi) 'yirmi' ve Eski Yunanca ἕδρα (hédra) 'koltuk' kelimesinden gelmektedir. Çoğul "ikosahedra" ( /- d r ə / ) veya "ikosahedronlar" olabilir.

Sonsuz sayıda benzer olmayan ikosahedra şekli vardır, bazıları diğerlerinden daha simetriktir. En iyi bilineni, yüzleri 20 eşkenar üçgen olan Platonik katılardan biri olan ( dışbükey , yıldızsız ) düzenli ikosahedrondur .

Düzenli ikosahedra

İki çeşit düzenli icosahedra
Dışbükey düzenli ikosahedron	büyük ikosahedron

Her ikisi de düzenli icosahedra olarak adlandırılabilecek biri dışbükey ve diğeri dışbükey olmayan iki nesne vardır. Her birinin 30 kenarı ve on iki köşesinin her birinde beş toplantı bulunan 20 eşkenar üçgen yüzü vardır. Her ikisi de ikosahedral simetriye sahiptir . "Düzenli ikosahedron" terimi genellikle dışbükey çeşitliliğe atıfta bulunurken, dışbükey olmayan biçime büyük ikosahedron denir .

Dışbükey düzenli ikosahedron

Dışbükey düzenli ikosahedron, genellikle beş düzenli Platonik katıdan biri olan düzenli ikosahedron olarak adlandırılır ve her köşe etrafında 5 yüzün buluştuğu 20 üçgen yüz içeren Schläfli sembolü {3, 5} ile temsil edilir .

Onun ikili polihedronu , her bir tepe noktasının etrafında üç düzgün beşgen yüze sahip olan düzenli dodekahedrondur {5, 3}.

büyük ikosahedron

Büyük icosahedron dört düzenli yıldız biridir Kepler-Poinsot polyhedra . Onun SCHLAFLI sembol , {3'tür5/2}. Dışbükey form gibi, aynı zamanda 20 eşkenar üçgen yüze sahiptir, ancak tepe şekli bir beşgenden ziyade bir pentagramdır ve geometrik olarak kesişen yüzlere yol açar. Üçgenlerin kesişimleri yeni kenarları temsil etmez.

Onun ikili çok yüzlü olan büyük bir yıldız şeklinde dodecahedron {5/2, 3}, her tepe noktasının etrafında üç düzenli yıldız beşgen yüze sahip.

yıldız şeklinde ikosahedra

Yıldız oluşturma , bir çok yüzlünün yüzlerini veya kenarlarını, yeni bir çokyüzlü oluşturmak üzere buluşana kadar uzatma işlemidir. Simetrik olarak yapılır, böylece ortaya çıkan şekil, ana figürün genel simetrisini korur.

The Fifty-Nine Icosahedra adlı kitaplarında , Coxeter ve ark. düzenli icosahedron'un bu tür 58 yıldızını numaralandırdı.

Bunlardan birçoğunun 20 yüz düzleminin her birinde tek bir yüzü vardır ve ikosahedra da öyledir. Büyük ikosahedron bunların arasındadır.

Diğer yıldızların her düzlemde birden fazla yüzü vardır veya daha basit çokyüzlülerin bileşiklerini oluşturur. Bunlar, genellikle böyle anılsalar da, kesin olarak ikosahedra değildirler.

(Dışbükey) ikosahedron	Küçük triambik ikosahedron	Beş oktahedranın bileşimi	büyük ikosahedron	kazılan dodekahedron
İkosahedronun önemli yıldızları
Düzenli	Üniforma ikilileri	düzenli bileşikler	normal yıldız	Diğerleri


İkosahedron üzerindeki yıldızlanma süreci, bir dizi ilgili çokyüzlü ve ikosahedral simetriye sahip bileşikler yaratır .

piritoedral simetri

Piritoedral ve tetrahedral simetriler

Coxeter diyagramları

(piritohedral)

(dört yüzlü)

Schläfli sembolü

s{3,4}
sr{3,3} veya

s{\başlangıç{Bmatrix}3\\3\son{Bmatrix}}

yüzler

20 üçgen:
8 eşkenar
12 ikizkenar

Kenarlar

30 (6 kısa + 24 uzun)

tepe noktaları

12

simetri grubu

T _h , [4,3 ⁺ ], (3*2), sipariş 24

Rotasyon grubu

T _d , [3,3] ⁺ , (332), sipariş 12

Çift çokyüzlü

piritoedron

Özellikleri

dışbükey

Ağ


Düzenli ikosahedron a topolojik aynıdır cuboctahedron pyritohedral simetriye sahip diyagonaller üzerinde ikiye bölünmüş olan 6 kare yüzleri ile.

Bir normal ikosahedron bozuk ya da bir düşük olarak işaretlenmiş olabilir pyritohedral simetri ve adı kalkık sekizyüzeylinin , kalkık tetratetrahedron , kalkık tetrahedron ve yalancı icosahedron . Bu, alternatif bir budanmış oktahedron olarak görülebilir . Tüm üçgenler eşkenar ise, simetri, 8 ve 12 üçgen setleri farklı renklendirilerek de ayırt edilebilir.

Pyritohedral simetri sembolü (3 x 2), [3 sahiptir ⁺ düzeni 24 ile, 4], tetrahedral simetri sahip sembol (332), [3,3] ⁺ , sırayla 12 ile bu alt simetrileri 20 geometrik bozulma izin eşkenar üçgen yüzler, bunun yerine 8 eşkenar üçgen ve 12 eş ikizkenar üçgen vardır .

Bu simetriler Coxeter diyagramları sunar : ve sırasıyla, her biri düzenli ikosahedronun alt simetrisini temsil eder , (*532), [5,3] 120 mertebesinde ikosahedral simetri .

Kartezyen koordinatları

İç dikdörtgenleri gösteren, kesik bir oktahedronun köşelerinden yapılan yapı .

12 köşenin koordinatları, formun (2, 1, 0) koordinatlarının tüm olası döngüsel permütasyonları ve işaret çevirmeleri tarafından tanımlanan vektörler tarafından tanımlanabilir. Bu koordinatlar , alternatif tepe noktaları silinmiş olarak kesilmiş oktahedronu temsil eder .

Bu yapı, adı kalkık tetrahedron aynı işlemler tarafından üretilen, düzenli ikosahedron formunda vektörü (başlamak sureti ile φ , 1, 0), φ olan altın oranı .

Jessen'in ikosahedronu

Kimi zaman Jessen en İkosahedronun, içinde Jessen en ortogonal ikosahedron , 12 eşkenar yüzleri şekil konveks değildir ve sahip olduğu farklı şekilde düzenlenir doğru dihedral açılar .

Bir küple uyumlu bir makastır, yani katı bir küp oluşturmak üzere yeniden düzenlenebilen daha küçük çokyüzlü parçalara bölünebilir.

Diğer ikosahedra

eşkenar dörtgen

Eşkenar paralel ikosahedron a, zonohedron 20 uyumlu eşkenar dörtgenlerin oluşur. 10 orta yüz kaldırılarak eşkenar dörtgen triakontahedrondan türetilebilir . Tüm yüzler uyumlu olsa da, eşkenar dörtgen ikosahedron yüz geçişli değildir .

Piramit ve prizma simetrileri

Piramit ve prizma simetrileri ile ortak icosahedra şunları içerir:

19 kenarlı piramit (artı 1 taban = 20).
18 kenarlı prizma (artı 2 uç = 20).
9 kenarlı antiprizma (2 takım 9 kenar + 2 uç = 20).
10 kenarlı bipiramit (2 takım 10 kenar = 20).
10 kenarlı yamuk (2 takım 10 kenar = 20).

Johnson katıları

Birkaç Johnson katısı ikosahedraldir:

J22	J35	J36	J59	J60	J92
Gyroelongated üçgen kubbe	Uzatılmış üçgen ortobikupola	Uzatılmış üçgen gyrobicupola	Parabiaugmented dodecahedron	Metabiaugmented dodecahedron	üçgen hebesfenorotunda

16 üçgen 3 kare 1 altıgen	8 üçgen 12 kare	8 üçgen 12 kare	10 üçgen 10 beşgen	10 üçgen 10 beşgen	13 üçgen 3 kare 3 beşgen 1 altıgen