Hilbert'in on dokuzuncu sorunu - Hilbert's nineteenth problem
Hilbert'in on dokuzuncu problemi , 1900 yılında David Hilbert tarafından derlenen bir listede ortaya konan 23 Hilbert probleminden biridir . Varyasyonlar hesabındaki düzenli problemlerin çözümlerinin her zaman analitik olup olmadığını sorar . Hilbert'in " düzenli varyasyon problemi " kavramı , Euler-Lagrange denklemi analitik katsayıları olan bir eliptik kısmi diferansiyel denklem olan bir varyasyon problemini tam olarak tanımladığından , gayri resmi olarak ve belki de daha az doğrudan, Hilbert'in on dokuzuncu problemi, görünüşte teknik ifadesine rağmen, basitçe şunu sorar: , bu kısmi diferansiyel denklemler sınıfında, herhangi bir çözüm işlevi, çözülen denklemden nispeten basit ve iyi anlaşılmış yapıyı devralır. Hilbert'in on dokuzuncu problemi 1950'lerin sonunda Ennio De Giorgi ve John Forbes Nash, Jr. tarafından bağımsız olarak çözüldü .
Tarih
Sorunun kökenleri
Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhänghängigen ayrıca, Analitik analizler, var.
— David Hilbert , ( Hilbert 1900 , s. 288).
David Hilbert, ikinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde yaptığı konuşmada, şimdilerde adlandırılan Hilbert'in on dokuzuncu problemini sundu . ( Hilbert 1900 , s. 288)'de, kendi görüşüne göre, analitik fonksiyonlar teorisinin en dikkat çekici olgularından birinin, Laplace'ın denklemi , Liouville denklemi , minimal yüzey denklemi ve Émile Picard tarafından örnek olarak incelenen bir lineer kısmi diferansiyel denklem sınıfı . Daha sonra, bu özelliği paylaşan kısmi diferansiyel denklemlerin çoğunun, aşağıdaki üç özelliği içeren, iyi tanımlanmış bir varyasyon probleminin Euler-Lagrange denklemi olduğu gerçeğini not eder:
- (1) ,
- (2) ,
- (3) F , tüm argümanlarının p , q , z , x ve y'nin analitik bir işlevidir .
Hilbert, bu tür varyasyon problemini " düzenli varyasyon problemi " olarak adlandırır: özellik (1) , bu tür varyasyon problemlerinin minimum problemler olduğu anlamına gelir , özellik (2) , verilen fonksiyonel ile ilişkili Euler-Lagrange denklemlerindeki eliptiklik koşulu iken, özellik (3) , basit bir düzenlilik varsayımıdır, F işlevi . Ele alınacak problem sınıfını belirledikten sonra, şu soruyu sorar:-" ... bir düzenli varyasyon probleminin her Lagrange kısmi diferansiyel denklemi, yalnızca analitik integralleri kabul etme özelliğine sahip midir? " ve daha sonra bunun olup olmadığını sorar. Dirichlet'in potansiyel fonksiyon üzerindeki probleminde olduğu gibi, fonksiyonun sürekli olan, ancak analitik olmayan sınır değerleri varsayması gerektiğinde bile .
Tam çözüme giden yol
Hilbert, on dokuzuncu problemini analitik katsayılı eliptik kısmi diferansiyel denklem sınıfı için bir düzenlilik problemi olarak ifade etmiş , bu nedenle onu çözmeye çalışan araştırmacıların ilk çabaları, bu sınıfa ait denklemler için klasik çözümlerin düzenliliğini incelemeye yönelmiştir . İçin C 3 çözümlere Hilbert'in problemi ile olumlu cevap verilmiştir Sergei Bernstein ( 1904 tezi olarak): O gösterdi C 3 2 değişkenlerde doğrusal olmayan eliptik analitik denklemlerin çözümleri analitik bulunmaktadır. Bernstein'ın sonucu , analitik olduğunu kanıtlamak için gereken çözüm üzerindeki türevlenebilirlik gereksinimlerini azaltan Petrowsky (1939) gibi birkaç yazar tarafından yıllar içinde geliştirildi . Öte yandan, varyasyon hesabındaki doğrudan yöntemler, çok zayıf türevlenebilirlik özelliklerine sahip çözümlerin varlığını göstermiştir. Uzun yıllar boyunca bu sonuçlar arasında bir boşluk vardı: İnşa edilebilecek çözümlerin, analitik olduklarını kanıtlayabilecek makinelere beslemek için yeterince güçlü olmayan, birinci türevlerin sürekliliğine ihtiyaç duyan kare integrallenebilir ikinci türevlere sahip olduğu biliniyordu. . Bu boşluk bağımsız olarak Ennio De Giorgi ( 1956 , 1957 ) ve John Forbes Nash ( 1957 , 1958 ) tarafından dolduruldu . Çözümlerin Hölder sürekli olan birinci türevleri olduğunu gösterebildiler; bu, önceki sonuçlara göre, diferansiyel denklemin analitik katsayıları olduğunda çözümlerin analitik olduğunu ima ederek Hilbert'in on dokuzuncu probleminin çözümünü tamamladı.
Sorunun çeşitli genellemelerine karşı örnekler
Hilbert'in on dokuzuncu sorununa Ennio De Giorgi ve John Forbes Nash tarafından verilen olumlu cevap, aynı sonucun daha genel fonksiyonellerin Euler-lagrange denklemleri için de geçerli olup olmadığı sorusunu gündeme getirdi : 1960'ların sonunda, Maz'ya (1968) , De Giorgi (1968) ve Giusti & Miranda (1968) bağımsız olarak birkaç karşı örnek oluşturdular ve genel olarak bu tür düzenlilik sonuçlarını daha fazla hipotez eklemeden kanıtlama umudunun olmadığını gösterdiler.
Tam olarak, Maz'ya (1968) , analitik katsayıları olan ikiden büyük tek bir eliptik mertebe denklemini içeren birkaç karşı örnek verdi: uzmanlar için, bu tür denklemlerin analitik olmayan ve hatta düzgün olmayan çözümlere sahip olabileceği gerçeği bir sansasyon yarattı.
De Giorgi (1968) ve Giusti & Miranda (1968) , çözümün skaler-değerli değil de vektör-değerli olması durumunda analitik olması gerekmediğini gösteren karşı örnekler verdiler: katsayılar, Giusti ve Miranda'dan biri ise analitik katsayılara sahiptir. Daha sonra, Nečas (1977) , vektör değerli problem için başka, daha rafine örnekler verdi.
De Giorgi'nin teoremi
De Giorgi tarafından kanıtlanan anahtar teorem , eğer u uygun bir lineer ikinci dereceden bir çözüm ise, formun kesinlikle eliptik PDE'si olduğunu belirten bir a priori tahmindir.
ve kare integrallenebilir birinci türevlere sahipse , Hölder süreklidir.
De Giorgi teoreminin Hilbert problemine uygulanması
Hilbert'in problemi , bir enerjinin minimize edicilerinin aşağıdaki gibi fonksiyonel olup olmadığını sorar .
analitiktir. Burada bazı kompakt setinde bir fonksiyonudur ve R , n , onun bir gradyan vektörü ve Lagrange, türevlerinin bir fonksiyonudur ye uyan belirli büyüme, yumuşaklık ve konveksite koşulları. De Giorgi teoremi kullanılarak düzgünlüğü aşağıdaki gibi gösterilebilir. Euler-Lagrange denklemi Bu varyasyon sorun için doğrusal olmayan denklem olan
ve saygı ile bu ayırt verir
Bu , lineer denklemi sağladığı anlamına gelir.
ile birlikte
bu nedenle, De Giorgi'nin sonucuna göre, w çözümü , matrisin sınırlı olması koşuluyla, Hölder sürekli birinci türevlere sahiptir . Bu durumda değil, diğer bir adım gereklidir: bir çözelti, kanıtlamak gerekir ise , sürekli Lipschitz örneğin, gradyan bir bir fonksiyonu.
Bir kez ağırlık sürekli tutucusu (sahip olduğu bilinmektedir , n bazıları için 1) St türevleri n ≥ 1, daha sonra katsayıları bir ij holder sürekli sahip N inci türevleri Schauder bir teoremi (anlamına gelir, böylece , n + 2) nd türevleri de vardır Hölder süreklidir, bu yüzden bunu sonsuz sıklıkta tekrarlamak, w çözümünün düzgün olduğunu gösterir .
Nash teoremi
Nash, parabolik denklemin çözümleri için bir süreklilik tahmini verdi
burada u , x 1 ,..., x n , t'nin t ≥ 0 için tanımlanmış sınırlı bir fonksiyonudur. Nash, tahmininden eliptik denklemin çözümleri için bir süreklilik tahmini çıkarabildi.
- u'nun t'ye bağlı olmadığı özel durumu dikkate alarak .
Notlar
Referanslar
- Bernstein, S. (1904), "Sur la nature analytique des çözümleri des équations aux dérivées partielles du Second ordre" , Mathematische Annalen (Fransızca), 59 (1-2): 20–76, doi : 10.1007/BF01444746 , ISSN 0025-5831 , JFM 35.0354.01 , S2CID 121487650.
- Bombieri, Enrico (1975), "Varyasyonel problemler ve eliptik denklemler" , Uluslararası Matematikçiler Kongresi Bildirileri, Vancouver, BC, 1974, Cilt. 1 , ICM Proceedings, Montreal: Canadian Mathematical Congress, s. 53–63, MR 0509259 , Zbl 0344.49002 , orijinalinden arşivlendi (PDF) 2013-12-31 , alındı 2011-01-29. İçinde yayımlanmaktadır Bombieri, Enrico (1976), içinde "varyasyon problemleri ve eliptik denklemler", Browder Felix E. (ed.), Hilbert sorunlardan kaynaklanan Matematiksel gelişmeler , Saf Matematik Sempozyumu Bildiriler Kitabı , XXVIII , Providence, Rhode Island: Amerikan Matematik Topluluğu , s. 525–535, ISBN 978-0-8218-1428-4, MR 0425740 , Zbl 0347.35032.
- De Giorgi, Ennio (1956), "Sull'analiticità delle estremali degli integrali çoklu", Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , Serie VIII (İtalyanca), 20 : 438–441, MR 0082045 , Zbl 0074.31503. " Çoklu integrallerin uç noktalarının analitikliği üzerine " (başlığın İngilizce çevirisi), sonuçları daha sonra ayrıntılı olarak açıklayan kısa bir araştırma duyurusudur ( De Giorgi 1957 ). De Giorgi'nin bilimsel yayınlarının tam listesine göre (De Giorgi 2006 , s. 6) İngilizce bir çevirinin de eklenmesi gerekirken ( De Giorgi 2006 ), ne yazık ki eksiktir.
- De Giorgi, Ennio (1957), "Sulla diferenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari", Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali , Serie III (İtalyanca), 3 : 25–43, MR 0093649 , Zbl 0084.31901. İngilizce'ye " Düzenli çoklu integrallerin ekstremallerinin türevlenebilirliği ve analitikliği üzerine " olarak çevrilmiştir ( De Giorgi 2006 , s. 149–166).
- De Giorgi, Ennio (1968), "Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie IV (İtalyanca), 1 : 135–137, MR 0227827 , Zbl 0084.31901. İngilizce'ye " Eliptik tipte bir varyasyonel problem için süreksiz ekstremler örneği " olarak çevrilmiştir ( De Giorgi 2006 , s. 285-287).
- De Giorgi, Ennio (2006), Ambrosio, Luigi ; Dal Maso, Gianni ; Forti, Marco; Miranda, Mario ; Spagnolo, Sergio (ed.), Selected papers , Springer Collected Works in Mathematics, Berlin–New York: Springer-Verlag , pp. x+889, doi : 10.1007/978-3-642-41496-1 , ISBN 978-3-540-26169-8, MR 2229237 , Zbl 1096.01015.
- Giaquinta, Mariano (1983), Varyasyonlar hesabında ve doğrusal olmayan eliptik sistemlerde çoklu integraller , Annals of Mathematics Studies , 105 , Princeton, New Jersey: Princeton University Press, s. vii+297, ISBN 978-0-691-08330-8, MR 0717034 , Zbl 0516.49003.
- Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], İkinci mertebeden Eliptik kısmi diferansiyel denklemler , Classics in Mathematics (2. baskının gözden geçirilmiş 3. baskısı), Berlin – Heidelberg – New York: Springer Verlag, s. xiv+517, ISBN 978-3-540-41160-4, MR 1814364 , Zbl 1042.35002.
- Giusti, Enrico (1994), Metodi diretti nel calcolo delle variazioni , Monografie Matematiche (İtalyanca), Bologna : Unione Matematica Italiana , s. VI+422, MR 1707291 , Zbl 0942.49002, İngilizce'ye çevrilen Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations , River Edge, New Jersey – Londra – Singapur: World Scientific Publishing, pp. viii+403, doi : 10.1142/9789812795557 , ISBN 978-981-238-043-2, MR 1962933 , Zbl 1028.49001.
- Giusti, Enrico ; Miranda, Mario (1968), "Un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni başına Un esempio di soluzioni devam etmiyor", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie IV (İtalyanca), 2 : 1–8, MR 0232265 , Zbl 0155.44501.
- Gohberg, İsrail (1999), "Vladimir Maz'ya: Friend and Mathematician. Recollections", Rossman, Jürgen'de; Takac, Peter; Wildenhain, Günther (ed.), The Maz'ya yıldönümü koleksiyonu. Cilt 1: Maz'ya'nın fonksiyonel analiz, kısmi diferansiyel denklemler ve uygulamalar konusundaki çalışmaları üzerine. Konferansta verilen konuşmalara dayanarak, Rostock, Almanya, 31 Ağustos – 4 Eylül 1998 , Operatör Teorisi. Gelişmeler ve Uygulamalar, 109 , Basel: Birkhäuser Verlag, s. 1–5, ISBN 978-3-7643-6201-0, MR 1747861 , Zbl 0939.01018.
- Hedberg, Lars Inge (1999), "Potansiyel teoride Maz'ya'nın çalışması ve fonksiyon uzayları teorisi", Rossmann, Jürgen'de; Takac, Peter; Wildenhain, Günther (ed.), Maz'ya Yıldönümü Koleksiyonu. Cilt 1: Maz'ya'nın fonksiyonel analiz, kısmi diferansiyel denklemler ve uygulamalardaki çalışmaları üzerine , Operatör Teorisi: Gelişmeler ve Uygulamalar, 109 , Basel : Birkhäuser Verlag, s. 7–16, doi : 10.1007/978-3-0348-8675- 8_2 , ISBN 978-3-0348-9726-6, MR 1747862 , Zbl 0939.31001
-
Hilbert, David (1900), "Mathematische Probleme" , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (Almanca) (3): 253–297, JFM 31.0068.03.
– "Mathematische Probleme" olarak yeniden basılmıştır , Archiv der Mathematik und Physik , dritte reihe (Almanca), 1 : 44–63 ve 253–297, 1900, JFM 32.0084.05 .
– İngilizce'ye Mary Frances Winston Newson tarafından Hilbert, David olarak çevrildi (1902), "Mathematical Problems", Bulletin of the American Mathematical Society , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923- 3 , JFM 33.0976.07 , MR 1557926 .
– Hilbert, David (2000), "Mathematical Problems", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 37 (4): 407–436, doi : 10.1090/S0273-0979-00-00881-8 , MR 1779412 olarak yeniden basılmıştır , Zbl 0979.01028.
– Fransızca'ya ML Laugel tarafından (Hilbert'in kendisinin ilaveleriyle) Hilbert, David (1902), "Sur les problèmes futurs des Mathématiques" , Duporcq, E. (ed.), Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Procès-Verbaux et Communications , ICM Proceedings, Paris: Gauthier-Villars, s. 58–114, JFM 32.0084.06 , orijinalinden (PDF) 2013-12-31 tarihinde arşivlendi , alınan 2013/12/28.
– Hilbert'in Fransızcaya çevrilmiş ve Hilbert, D. (1900), "Problèmes mathématiques", L'Enseignement Mathématique (Fransızca), 2 : 349–355 olarak yayınlanmış orijinal konuşmasının daha eski (ve daha kısa) bir özgeçmişi de bulunmaktadır. doi : 10.5169/seals-3575 , JFM 31.0905.03 . - Kristensen, Ocak; Mingione, Giuseppe (Ekim 2011). 20. Yüzyıldan Düzenlilik Teorisi Eskizleri ve Jindřich Nečas'ın Çalışması (PDF) (Rapor). Oxford: Doğrusal Olmayan PDE için Oxford Merkezi. s. 1–30. OxPDE-11/17. Arşivlenmiş orijinal (PDF) 2014-01-07 tarihinde..
-
Maz'ya, VG (1968),Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентам, Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya (Rusça), 2 (3): 53–57, MR 0237946.
– İngilizce'ye Maz'ya olarak çevrilmiştir, VG (1968), "Analitik katsayılı yarı doğrusal eliptik denklemlerin regüler olmayan çözümlerinin örnekleri", Fonksiyonel Analiz ve Uygulamaları , 2 (3): 230–234, doi : 10.1007/BF01076124 , S2CID 121038871 , Zbl 0179.43601. - Mingione, Giuseppe (2006), " Minimanın düzenliliği: Varyasyonlar Hesabının Karanlık Tarafına bir davet." , Matematik Uygulamaları , 51 (4): 355–426, CiteSeerX 10.1.1.214.9183 , doi : 10.1007/s10778-006-0110-3 , hdl : 10338.dmlcz/134645 , MR 2291779 , S2CID 16385131 , Zbl 1164.49324.
- Morrey, Charles B. (1966), Varyasyonlar hesabında çoklu integraller , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 130 , Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, s. xii+506, ISBN 978-3-540-69915-6, MR 0202511 , Zbl 0142.38701.
- Nash, John (1957), "Parabolik denklemler", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı , 43 (8): 754–758, Bibcode : 1957PNAS...43..754N , doi : 10.1073/ pnas.43.8.754 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 89599 , MR 0089986 , PMC 528534 , PMID 16590082 , Zbl 0078.08704.
- Nash, John (1958), "Parabolik ve eliptik denklemlerin çözümlerinin sürekliliği" (PDF) , American Journal of Mathematics , 80 (4): 931–954, Bibcode : 1958AmJM...80..931N , doi : 10.2307/ 2372841 , hdl : 10338.dmlcz/101876 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372841 , MR 0100158 , Zbl 0096.06902.
- Nečas, Jindřich (1977), "Analitik katsayılar ve düzenlilik koşulları ile doğrusal olmayan bir eliptik sisteme düzensiz bir çözüm örneği", Kluge, Reinhard; Müller, Wolfdietrich (ed.), Doğrusal olmayan operatörlerin teorisi: yapıcı yönler. 22-26 Eylül 1975 tarihleri arasında Berlin, GDR'de düzenlenen dördüncü uluslararası yaz okulunun bildirileri , Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR, 1 , Berlin: Akademie-Verlag, s. 197–206, MR 0509483 , Zbl 0372.35031.
- Petrowsky, IG (1939), "Sur l'analyticité des çözümleri des systèmes d'équations différentielles" , Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (Fransızca), 5 (47): 3-70, JFM 65.0405.02 , MR 0001425 , Zbl 0022.22601.