Henstock–Kurzweil integrali - Henstock–Kurzweil integral

Gelen matematik , Henstock-Kurzweil'e yekpare ya da genel Riemann integrali veya göstergesi yekpare - aynı zamanda (dar) olarak bilinen Denjoy integrali (telaffuz[dɑ̃ˈʒwa] ), Luzin integrali veya Perron integrali , ancak daha genel geniş Denjoy integraliyle karıştırılmamalıdır -bir fonksiyonun integralinin bir dizi tanımından biridir. Bu Riemann integralinin bir genellemesidirve bazı durumlarda Lebesgue integralinden daha geneldir. Özellikle, bir fonksiyon ancak ve ancak fonksiyon ve onun mutlak değeri Henstock–Kurzweil integrallenebilir ise Lebesgue integrallenebilirdir.

Bu integral ilk olarak Arnaud Denjoy (1912) tarafından tanımlanmıştır . Denjoy, birinin aşağıdaki gibi işlevleri entegre etmesine izin verecek bir tanımla ilgilendi:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\sağ).}$

Bu işlevin 0'da bir tekilliği vardır ve Lebesgue ile integrallenemez. Ancak, [− ε , δ ] aralığı dışında integralini hesaplamak ve sonra ε, δ → 0 olmasına izin vermek doğal görünüyor .

Genel bir teori oluşturmaya çalışan Denjoy , olası tekillik türleri üzerinde transfinit tümevarım kullandı ve bu da tanımı oldukça karmaşık hale getirdi. Diğer tanımlar, Nikolai Luzin ( mutlak süreklilik kavramlarındaki varyasyonları kullanarak ) ve sürekli majör ve minör fonksiyonlarla ilgilenen Oskar Perron tarafından verilmiştir . Perron ve Denjoy integrallerinin aslında aynı olduğunu anlamak biraz zaman aldı.

Daha sonra, 1957'de, Çek matematikçi Jaroslav Kurzweil , Riemann'ın mastar integrali adını verdiği orijinal tanımına doğası gereği zarif bir şekilde benzeyen bu integralin yeni bir tanımını keşfetti ; teori Ralph Henstock tarafından geliştirildi . Bu iki önemli katkı nedeniyle, artık yaygın olarak Henstock–Kurzweil integrali olarak bilinir . Kurzweil'in tanımının basitliği, bazı eğitimcilerin, bu integralin giriş matematiği derslerinde Riemann integralinin yerini alması gerektiğini savunmasına neden oldu.

Tanım

Bir verilen etiketli bölümü P arasında [ a , b ] olduğu,

${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b}$

birlikte

${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$

bir fonksiyon için Riemann toplamını tanımlarız

${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

olmak

${\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.}$

nerede

${\displaystyle \Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.}$

Pozitif bir fonksiyon verildiğinde

${\displaystyle \delta \iki nokta üst üste [a,b]\to (0,\infty ),}$

hangi dediğimiz göstergesi , bir etiketli bir bölümü demek P ise eğer -Güzel ${\görüntüleme stili \delta }$

${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i} )].}$

Şimdi bir numara tanımlamak ben bir Henstock-Kurzweil integrali olmak f her için ise £ değerinin > 0 bir gösterge vardır her şekilde P olan -İyi, elimizdeki ${\görüntüleme stili \delta }$${\görüntüleme stili \delta }$

${\displaystyle \left\vert \sum _{P}fI\right\vert <\varepsilon .}$

Böyle bir I varsa, f'nin [ a , b ] üzerinde integrallenebilir Henstock–Kurzweil olduğunu söyleriz .

Cousin'in teoremi , her ölçü için böyle ince bir P bölümünün var olduğunu belirtir , bu nedenle bu koşul boş olarak sağlanamaz . Riemann integrali, yalnızca sabit ölçülere izin verdiğimiz özel durum olarak kabul edilebilir. ${\görüntüleme stili \delta }$${\görüntüleme stili \delta }$

Özellikleri

Let f : [ a , b ] → R be herhangi bir fonksiyon.

a < c < b verildiğinde , f , [ a , b ] üzerinde Henstock–Kurzweil integralidir, ancak ve ancak hem [ a , c ] hem de [ c , b ] üzerinde Henstock–Kurzweil integrali alınabilir ; bu durumda,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f( x)\,dx.}$

Henstock–Kurzweil integralleri doğrusaldır. Verilen integre edilebilir fonksiyonlar f , g ve gerçek sayılar a , β , sentezleme aF + βg integrallenebilirdir; Örneğin,

${\displaystyle \int _{a}^{b}\sol(\alpha f(x)+\beta g(x)\sağ)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x) \,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Eğer f , Riemann veya Lebesgue integrallenebilir ise, o zaman aynı zamanda Henstock–Kurzweil integrallenebilirdir ve bu integralin hesaplanması, her üç formülasyonda da aynı sonucu verir. Önemli Hake teoremi şunu belirtir:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\, dx}$

denklemin herhangi bir tarafı mevcut olduğunda ve aynı şekilde alt entegrasyon sınırı için simetrik olarak. Bu, eğer f " hatalı Henstock–Kurzweil integrallenebilir" ise, o zaman düzgün bir şekilde Henstock–Kurzweil integrallenebilirdir; özellikle, aşağıdaki gibi uygun olmayan Riemann veya Lebesgue integralleri

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}$

ayrıca uygun Henstock–Kurzweil integralleridir. Sonlu sınırlara sahip "uygun olmayan bir Henstock–Kurzweil integralini" incelemek anlamlı olmaz. Ancak, aşağıdaki gibi sonsuz sınırlara sahip uygunsuz Henstock–Kurzweil integrallerini düşünmek mantıklıdır.

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx .}$

Birçok fonksiyon türü için Henstock–Kurzweil integrali Lebesgue integralinden daha genel değildir. Örneğin, f kompakt mesnetle sınırlandırılmışsa, aşağıdakiler eşdeğerdir:

• f Henstock–Kurzweil integrallenebilir,
• f Lebesgue integrallenebilir,
• f olan Lebesgue ölçülebilir .

Genel olarak, her Henstock–Kurzweil integrallenebilir işlevi ölçülebilirdir ve f , ancak ve ancak hem f hem | f | Henstock–Kurzweil integrallenebilirdir. Bu, Henstock-Kurzweil integralinin " Lebesgue integralinin mutlak yakınsak olmayan bir versiyonu " olarak düşünülebileceği anlamına gelir . Ayrıca, Henstock-Kurzweil integralinin monoton yakınsama teoreminin (fonksiyonların negatif olmamasını gerektirmeden) ve baskın yakınsama teoreminin (baskınlık koşulunun g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤'ye gevşetildiği ) uygun versiyonlarını karşıladığını ima eder. h ( x ) bazı integrallenebilir g , h için ).

Eğer F her türevlenebilir (veya sayılabilir çok istisnalarla) türevi F 'Henstock-Kurzweil'e integrallenebilirdir, ve belirsiz Henstock-Kurzweil'e yekparedir F . (Not bu F 'ihtiyaç Lebesgue entegre edilebilir vermeye.) Diğer bir deyişle, bir basit ve daha tatmin edici bir versiyonunu elde etmek taşı ikinci temel teoremi : Her türevlenebilir fonksiyonudur kadar sabit, türevi entegrali ile:

${\displaystyle F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.}$

Tersine, Lebesgue farklılaşma teoremi Henstock–Kurzweil integrali için geçerliliğini korur: f , [ a , b ] üzerinde Henstock–Kurzweil integrali alınabilirse ve

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$

o zaman F ′( x ) = f ( x ) [ a , b ] içinde hemen hemen her yerde (özellikle, F hemen hemen her yerde türevlenebilir).

Tüm Henstock-Kurzweil-integrallenebilir fonksiyonların uzayı genellikle sahip olduğunu Alexiewicz norm bunun hangi göre, namlulu ama eksik .

McShane integrali

Bir çizgi üzerindeki Lebesgue integrali de benzer bir şekilde sunulabilir.

Henstock–Kurzweil integralinin tanımını yukarıdan alırsak ve koşulu bırakırsak

${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$

sonra , Lebesgue integraline eşdeğer olan McShane integralinin bir tanımını elde ederiz . koşul olduğunu unutmayın

${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i} )]}$

hala geçerlidir ve biz teknik olarak da gerektirir için tanımlanacak. ${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$${\textstyle f(t_{i})}$

Ayrıca bakınız

• Pfeffer integrali
• Cauchy asıl değeri
• Hadamard sonlu parça integrali

Referanslar

Dipnotlar

Genel

• Bartle, Robert G. (2001). Modern Bir Entegrasyon Teorisi . Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları . 32 . Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-0845-0.
• 21. Yüzyılda Modern Bir Entegrasyon Teorisi
• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1999). Gerçek Analize Giriş (3. baskı). Wiley. ISBN'si 978-0-471-32148-4.
• Čelidze, VG; Džvaršeǐšvili, AG (1989). Denjoy İntegrali Teorisi ve Bazı Uygulamalar . Gerçek Analizde Seriler. 3 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-02-0021-3.
• Das, AG (2008). Riemann, Lebesgue ve Genelleştirilmiş Riemann İntegralleri . Narosa Yayıncılar. ISBN'si 978-81-7319-933-2.
• Gordon, Russell A. (1994). Lebesgue, Denjoy, Perron ve Henstock integralleri . Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 4 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-3805-1.
• Henstock, Ralph (1988). Entegrasyon Teorisi Üzerine Dersler . Gerçek Analizde Seriler. 1 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-9971-5-0450-2.
• Kurzweil, Jaroslav (2000). Henstock–Kurzweil Entegrasyonu: Topolojik Vektör Uzayları ile İlişkisi . Gerçek Analizde Seriler. 7 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-02-4207-7.
• Kurzweil, Jaroslav (2002). Lebesgue İntegrali ile Henstock–Kurzweil İntegrali Arasındaki İntegral: Yerel Dışbükey Vektör Uzaylarıyla İlişkisi . Gerçek Analizde Seriler. 8 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-238-046-3.
• Lider, Süleyman (2001). Kurzweil–Henstock İntegrali ve Diferansiyelleri . Saf ve Uygulamalı Matematik Serisi. CRC. ISBN'si 978-0-8247-0535-0.
• Lee, Peng-Yee (1989). Henstock Entegrasyonu Üzerine Lanzhou Dersleri . Gerçek Analizde Seriler. 2 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-9971-5-0891-3.
• Lee, Peng-Yee; Vibornı, Rudolf (2000). İntegral: Kurzweil ve Henstock'tan Sonra Kolay Bir Yaklaşım . Avustralya Matematik Derneği Ders Serisi. Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-77968-5.
• McLeod, Robert M. (1980). Genelleştirilmiş Riemann integrali . Carus Matematiksel Monograflar. 20 . Washington, DC: Amerika Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-88385-021-3.
• Swartz, Charles W. (2001). Gösterge İntegrallerine Giriş . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-02-4239-8.
• Swartz, Charles W.; Kurtz, Douglas S. (2004). Entegrasyon Teorileri: Riemann, Lebesgue, Henstock–Kurzweil ve McShane'nin İntegralleri . Gerçek Analizde Seriler. 9 . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-256-611-9.

Dış bağlantılar

Aşağıdakiler, daha fazla bilgi edinmek için web'deki ek kaynaklardır:

• "Kurzweil-Henstock integrali" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Gösterge İntegraline Giriş
• Açık Bir Öneri: Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik ve Výborný tarafından imzalanan kalkülüs ders kitaplarındaki Riemann integralini mastar integraliyle değiştirmek