Hausdorff boyutu - Hausdorff dimension

Tamsayı olmayan boyutlara örnek. Koch eğrisinin ilk dört yinelemesi , her yinelemeden sonra tüm orijinal çizgi parçaları, her biri orijinalin 1/3'ü uzunluğundaki kendine benzer bir kopya olan dört ile değiştirilir. Hausdorff boyutunun bir formalizmi, D = (log N)/(log S) = ( olacak ilk yinelemeden sonra D boyutunu hesaplamak için bu ölçek faktörünü (3) ve kendine benzer nesnelerin sayısını (4) kullanır. log 4)/(log 3) ≈ 1.26. Yani, tek bir noktanın Hausdorff boyutu sıfır, bir doğru parçasının 1, bir karenin 2 ve bir küpün 3 olduğu halde, bunun gibi fraktallar için nesne tamsayı olmayan bir boyuta sahip olabilir.

Gelen matematik , Hausdorff boyutu bir ölçüsüdür pürüzlülüğü , veya daha spesifik olarak, fraktal boyut , ilk olarak 1918 yılında tanıtılan, matematikçi Felix Hausdorff . Örneğin, tek bir noktanın Hausdorff boyutu sıfır, bir doğru parçasının 1, bir karenin 2 ve bir küpün 3'tür. az sayıda köşe -geleneksel geometri ve bilimin şekilleri- Hausdorff boyutu, topolojik boyut olarak da bilinen olağan boyut duygusuyla uyumlu bir tamsayıdır . Bununla birlikte, daha az basit nesnelerin boyutunun hesaplanmasına izin veren formüller de geliştirilmiştir; burada, yalnızca ölçekleme ve kendi kendine benzerlik özelliklerine dayanarak, belirli nesnelerin - fraktallar da dahil olmak üzere - olmadığı sonucuna varılır. -tamsayı Hausdorff boyutları. Abram Samoilovitch Besicovitch tarafından oldukça düzensiz veya "kaba" kümeler için boyutların hesaplanmasına izin veren önemli teknik ilerlemeler nedeniyle , bu boyut aynı zamanda Hausdorff-Besicovitch boyutu olarak da anılır .

Hausdorff boyutu, daha spesifik olarak, belirli bir kümeyle ilişkili, o kümenin tüm üyeleri arasındaki mesafelerin tanımlandığı bir başka boyutlu sayıdır. Böyle bir kümeye metrik uzay denir . Boyut, genel metrik uzaylarla ilişkili olmayan ve yalnızca negatif olmayan tamsayılarda değerler alan daha sezgisel boyut kavramının aksine , genişletilmiş gerçek sayılardan çizilir . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Matematiksel terimlerle, Hausdorff boyutu, gerçek bir vektör uzayının boyutu kavramını genelleştirir . Kendisine, bir bölgesinin Hausdorff boyutu n boyutlu iç çarpım alanı eşittir , n . Bu, bir noktanın Hausdorff boyutunun sıfır, bir doğrunun bir vb. olduğu ve düzensiz kümelerin tamsayı olmayan Hausdorff boyutlarına sahip olabileceği şeklindeki önceki ifadenin temelini oluşturur . Örneğin , sağda gösterilen Koch kar tanesi bir eşkenar üçgenden yapılmıştır; her yinelemede, bileşen çizgi parçaları birim uzunlukta 3 parçaya bölünür, yeni oluşturulan orta parça, dışarıyı gösteren yeni bir eşkenar üçgenin tabanı olarak kullanılır ve bu taban parçası, daha sonra son bir nesne bırakmak için silinir. birim uzunluğunun yinelenmesi. Yani, ilk yinelemeden sonra, her orijinal çizgi parçası N=4 ile değiştirilir; burada her kendine benzer kopya, orijinalin 1/S = 1/3'ü kadardır. Başka bir şekilde ifade edersek, Öklid boyutu D olan bir nesne aldık ve doğrusal ölçeğini her yönde 1/3 oranında azalttık, böylece uzunluğu N=S ^{D olacak şekilde} artar . Bu denklem, şekillerde görünen logaritmaların (veya doğal logaritmaların ) oranını ve Koch ve diğer fraktal durumlarda bu nesneler için tamsayı olmayan boyutları vererek D için kolayca çözülür .

Hausdorff boyutu, daha basit, ancak genellikle eşdeğer kutu sayma veya Minkowski-Bouligand boyutunun halefidir .

Sezgi

Bir geometrik nesnenin sezgisel boyutu kavramı X , içindeki benzersiz bir noktayı seçmek için ihtiyaç duyulan bağımsız parametrelerin sayısıdır. Ancak, iki parametre tarafından belirlenen herhangi bir nokta yerine bir kişi tarafından belirlenebilir önem düzeyi arasında gerçek düzlemine kardinalitesi eşittir gerçek hattı (bu tarafından görülebilir değişken tek vermek üzere iki sayının rakamlarını iç içe kapsayan aynı bilgiyi kodlayan numara). Bir örnek boşluk doldurucu eğri bir hatta gerçek düzlemine gerçek hat eşlemek gösterir surjectively (numaraları her çifti sahiptir, böylece bir şekilde gerçek sayılar benzer bir çift bir gerçek sayı alarak) ve sürekli böylece, tek boyutlu bir nesne, daha yüksek boyutlu bir nesneyi tamamen doldurur.

Her boşluk doldurma eğrisi bazı noktalara birden çok kez çarpar ve sürekli bir tersi yoktur. Sürekli ve sürekli tersine çevrilebilir bir şekilde iki boyutu tek bir boyuta eşlemek imkansızdır. Lebesgue kaplama boyutu olarak da adlandırılan topolojik boyut nedenini açıklar. Bu boyut , n , her kaplama eğer X , küçük açık topları tarafından, en az bir nokta vardır , n  + 1 topları üst üste gelir. Örneğin, kısa açık aralıklı bir doğru kapatıldığında, bazı noktalar n  = 1 boyutu verilerek iki kez kapatılmalıdır  .

Ancak topolojik boyut, bir uzayın yerel boyutunun çok kaba bir ölçüsüdür (bir noktaya yakın boyut). Neredeyse boşluk dolduran bir eğri, bir bölgenin alanının çoğunu doldursa bile, topolojik boyut 1'e sahip olabilir. Bir fraktal bir tamsayı topolojik boyuta sahiptir, ancak kapladığı alan miktarı açısından daha yüksek boyutlu bir uzay gibi davranır.

Hausdorff boyutu, noktalar arasındaki mesafeyi ( metrik) hesaba katarak bir uzayın yerel boyutunu ölçer . X'i tamamen kaplamak için gereken en fazla r yarıçaplı topların N ( r ) sayısını göz önünde bulundurun . Zaman r çok küçüktür, N ( R ) 1 / ile polynomially büyür r . Yeterince iyi davranılmış bir X için , Hausdorff boyutu, r sıfıra yaklaştıkça N( r ) 1/ r ^d olarak büyüyecek şekilde benzersiz d sayısıdır . Daha kesin olarak, bu, d değeri alanı kaplamak için yetersiz olan büyüme oranları ile fazla olan büyüme oranları arasında kritik bir sınır olduğunda Hausdorff boyutuna eşit olan kutu sayma boyutunu tanımlar .

Düz olan şekiller veya az sayıda köşesi olan şekiller için, geleneksel geometri ve bilim şekilleri için Hausdorff boyutu, topolojik boyutla uyumlu bir tamsayıdır. Ancak Benoit Mandelbrot , tamsayı olmayan Hausdorff boyutlarına sahip kümeler olan fraktalların doğada her yerde bulunduğunu gözlemledi . Etrafınızda gördüğünüz çoğu kaba şeklin doğru idealleştirilmesinin düzgün idealleştirilmiş şekiller açısından değil, fraktal idealleştirilmiş şekiller açısından olduğunu gözlemledi:

Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir ve ağaç kabuğu pürüzsüz değildir ve yıldırım düz bir çizgide hareket etmez.

Doğada meydana gelen fraktallar için Hausdorff ve kutu sayma boyutu çakışır. Ambalaj boyutu henüz birçok şekil için aynı değere veren başka benzer bir kavram olmakla birlikte, tüm bu boyutların farklı iyi belgelenmiş istisnaları vardır.

Resmi tanımlar

Hausdorff içeriği

Let X'in bir olmak metrik uzay . Eğer S ⊂ X ve d ∈ [0, ∞) d boyutlu sınırsız Hausdorff içeriği arasında S ile tanımlanır

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ sayılabilir bir kapağı var } }S{\text{ yarıçaplı toplarla }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

Diğer bir deyişle, bir infimum sayılar kümesinin bir kısmı (endeksli) toplama olduğu gibi toplar kapsayan S ile r _i  > 0 her i  ∈  I 'e tatmin eden . (Burada, inf Ø = ∞ olan standart kuralı kullanıyoruz .) ${\ Displaystyle C_{H}^{d}(S)}$${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$

Hausdorff ölçüsü

Hausdorff dış ölçüsü, sınırsız Hausdorff içeriğinden farklıdır, çünkü S'nin tüm olası kaplamalarını düşünmek yerine , topların boyutları sıfıra gittiğinde ne olduğunu görürüz. İçin , tanımladığımızı d ait boyutlu Hausdorff dış ölçü S olarak ${\görüntüleme stili d\geq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S):=\lim _{r\to 0}\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d} :{\text{ yarıçaplı toplarla }}S{\text{'in sayılabilir bir kapağı vardır }}0<r_{i}<r{\Bigr \}}.}$

Hausdorff boyutu

Hausdorff boyutu arasında X ile tanımlanır

${\displaystyle \dim _{\operatöradı {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.}$

Aynı şekilde, loş _H ( x ) olarak tanımlanabilir infimum setinin d ∈ [0, ∞) böyle d boyutlu Hausdorff ölçü arasında X sıfırdır. Bu, X'in d -boyutlu Hausdorff ölçüsü sonsuz  olacak şekilde d ∈ [0, ∞) kümesinin üstünlüğü ile aynıdır (bu son sayı kümesi d boş olduğunda Hausdorff boyutunun sıfır olması dışında).

Örnekler

Başka bir fraktal örneğin boyutu . Sierpinski üçgeni , log (3) arasında Hausdorff boyuta sahip bir nesne / (2) ≈1.58 açın.

• Sayılabilir kümeler Hausdorff boyutu 0'a sahiptir.
• Öklid alan ℝ ⁿ Hausdorff boyuta sahiptir , n , ve daire S ¹ Hausdorff boyutu 1 sahiptir.
• Fraktallar genellikle Hausdorff boyutu topolojik boyutu kesin olarak aşan uzaylardır . Örneğin, sıfır boyutlu bir topolojik uzay olan Cantor kümesi , kendisinin iki kopyasının birleşimidir, her bir kopya 1/3 oranında küçülmüştür; dolayısıyla Hausdorff boyutunun ln(2)/ln(3) ≈ 0.63 olduğu gösterilebilir. Sierpinski üçgeni kendisinin üç nüsha birliği, her kopya 1/2 kat küçüldü olduğu; bu, ln(3)/ln(2) ≈ 1.58'lik bir Hausdorff boyutu verir. Bunlar Haussdorf boyutlar "kritik üs" ile ilgilidir Usta teoremi çözümü için tekrarlama ilişkileri içinde algoritmaların analizi .
• Peano eğrisi gibi boşluk dolduran eğriler , doldurdukları boşlukla aynı Hausdorff boyutuna sahiptir.
• 2 ve üzeri boyuttaki Brown hareketinin yörüngesinin Hausdorff boyutu 2 olduğu tahmin edilmektedir.

Büyük Britanya kıyılarının Hausdorff boyutunu tahmin etmek

• Lewis Fry Richardson , çeşitli kıyı şeritleri için yaklaşık Hausdorff boyutunu ölçmek için ayrıntılı deneyler gerçekleştirdi. Sonuçları Güney Afrika kıyı şeridi için 1.02'den Büyük Britanya'nın batı kıyısı için 1.25'e kadar değişmektedir .

Hausdorff boyutunun özellikleri

Hausdorff boyutu ve endüktif boyut

Let X'in keyfi olmak ayrılabilir metrik uzay. X için özyinelemeli olarak tanımlanan endüktif boyutun topolojik bir kavramı vardır . Her zaman bir tamsayıdır (veya +∞) ve dim _ind ( X ) ile gösterilir.

teorem . X'in boş olmadığını varsayalım . Sonra

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatör adı {ind} }(X).}$

Dahası,

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatöradı {Haus} }(Y)=\dim _{\operatöradı {ind} }(X),}$

burada Y , X'e homeomorfik metrik uzaylar üzerinde değişir . Diğer bir deyişle, X ve Y, noktaları aynı temel seti ve bir ölçü d _{, Y} ve Y için topolojik eşdeğerdir d _X .

Bu sonuçlar ilk olarak Edward Szpilrajn (1907–1976) tarafından oluşturulmuştur , örneğin bkz. Hurewicz ve Wallman, Bölüm VII.

Hausdorff boyutu ve Minkowski boyutu

Minkowski boyut benzer ve en az büyük olarak Hausdorff boyutta gibi ve onlar birçok durumda eşittir. Ancak, [0, 1]'deki rasyonel noktalar kümesi Hausdorff boyutu sıfır ve Minkowski bir boyutuna sahiptir. Minkowski boyutunun Hausdorff boyutundan kesinlikle daha büyük olduğu kompakt kümeler de vardır.

Hausdorff boyutları ve Frostman ölçüleri

Bir varsa ölçü tanımlanan μ Borel , bir metrik alan alt- X şekilde μ ( X )> 0 ve μ ( B ( x , r )) ≤ r ^ler bir sabit için de geçerlidir s > 0 ve her topu için B ( x , r ) X içinde , ardından _Haus ( X ) ≥ s 'yi karartın . Frostman'ın lemması tarafından kısmi bir konuşma sağlanır .

Birlikler ve ürünler kapsamındaki davranış

Eğer o zaman, bir sonlu ya da sayılabilir birleşmedir ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatöradı {Haus} }(X)=\sup _ {i\in I}\dim _{\operatöradı {Haus} }(X_{i}).}$

Bu, doğrudan tanımdan doğrulanabilir.

Eğer X ve Y, boş olmayan bir metrik boşluk, ürün tatmin sonra Hausdorff boyutu olan

${\displaystyle \dim _{\operatöradı {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatöradı {Haus} }(X)+\dim _{\operatöradı {Haus} }(Y).}$

Bu eşitsizlik katı olabilir. Bu boyut 0 olan ürün ters yönde boyut 1. sahip iki takım bulmak mümkündür, ne zaman olduğu bilinmektedir X ve Y, Borel alt kümeleri R ^{, n} , bir Hausdorff boyutu X- X , Y Hausdorff tarafından sınırlandırılmış olan boyutu X artı üst ambalaj boyutu arasında Y . Bu gerçekler Mattila'da (1995) tartışılmaktadır.

Kendine benzer setler

Bir öz-benzerlik koşuluyla tanımlanan birçok küme, açıkça belirlenebilen boyutlara sahiptir. Kabaca, bir dizi e bu ψ (bir dizi değerli dönüşüm ψ, sabit nokta ise, kendi kendine benzer E ) = E tam tanımı aşağıda verilmiştir, ancak,.

teorem . Sanmak

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

olan büzülme üzerinde dönüşümler R ⁿ kasılma sabit olan r _j <1 O eşsiz olduğu boş olmayan kompakt grubu bir şekilde

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

Teoremden Stefan Banach sitesindeki teoremi büzülme haritalama sabit nokta arasında boş olmayan kompakt alt kümelerinin tam metrik boşluğuna tatbik R ^{, n} ile Hausdorff mesafe .

Açık küme koşulu

Kendine benzer A kümesinin (belirli durumlarda) boyutunu belirlemek için , ψ _i kasılma dizisinde açık küme koşulu (OSC) adı verilen teknik bir koşula ihtiyacımız var .

Nispeten kompakt bir açık küme V vardır, öyle ki

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

soldaki birleşimdeki kümeler ikili olarak ayrıktır .

Açık ayar koşulu, görüntülerin ψ _i ( V ) "çok fazla" üst üste gelmemesini sağlayan bir ayırma koşuludur .

teorem . Açık küme koşulunun geçerli olduğunu ve her ψ _i'nin bir benzerlik olduğunu, yani bir izometri ve bir nokta etrafındaki genişlemenin bir bileşimi olduğunu varsayalım . O halde ψ'nin benzersiz sabit noktası, Hausdorff boyutu s olan bir kümedir; burada s ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

Bir benzetmenin büzülme katsayısı, genişlemenin büyüklüğüdür.

Bu teoremi, Sierpinski üçgeninin (veya bazen Sierpinski contası olarak adlandırılır) Hausdorff boyutunu hesaplamak için kullanabiliriz. Üç düşünün kolineer olmayan noktalar , bir ₁ , bir ₂ , bir ₃ düzlemi içinde , R ² ve ψ izin _ı çevresinde oranı 1/2 genleşme olduğu bir _i . Karşılık gelen eşlemenin ψ benzersiz boş olmayan sabit noktası bir Sierpinski contasıdır ve s boyutu , aşağıdakilerin benzersiz çözümüdür.

${\displaystyle \sol({\frac {1}{2}}\sağ)^{s}+\sol({\frac {1}{2}}\sağ)^{s}+\sol({\ frac {1}{2}}\sağ)^{s}=3\sol({\frac {1}{2}}\sağ)^{s}=1.}$

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak , s için çözebiliriz , yani: s = ln(3)/ln(2). Sierpinski contası kendine benzerdir ve OSC'yi karşılar. Genel olarak , bir eşlemenin sabit noktası olan bir E kümesi

${\displaystyle A\mapsto\psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

ancak ve ancak kavşaklar varsa kendine benzerdir

${\displaystyle H^{s}\sol(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\sağ)=0,}$

burada s , E'nin Hausdorff boyutudur ve H ^s , Hausdorff ölçüsünü belirtir . Bu, Sierpinski contası durumunda açıktır (kavşaklar sadece noktalardır), ancak daha genel olarak da doğrudur:

teorem . Önceki teoremle aynı koşullar altında, ψ'nin benzersiz sabit noktası kendine benzerdir.

Ayrıca bakınız

• Hausdorff boyutuna göre fraktalların listesi Deterministik fraktal, rastgele ve doğal fraktal örnekleri.
• Assouad boyutu , Hausdorff boyutu gibi, toplarla kaplamalar kullanılarak tanımlanan fraktal boyutun başka bir varyasyonu
• İç boyut
• ambalaj boyutu
• Fraktal boyut

Referanslar

daha fazla okuma

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12 Haziran 2003). "Hausdorff Boyut ve Diofant Yaklaşımı". Fraktal Geometri ve Uygulamaları: Benoît Mandelbrot'un Bir Jübilesi . Saf Matematikte Sempozyum Bildirileri. 72 . s. 305–347. arXiv : matematik/0305399 . Bibcode : 2003math......5399D . doi : 10.1090/pspum/072.1/2112110 . ISBN'si 9780821836378. S2CID  119613948 .
• Hurewicz, Witold ; Wallman, Henry (1948). Boyut Teorisi . Princeton Üniversitesi Yayınları.
• E. Szpilrajn (1937). "Boyut et la ölçü". Temel Matematik . 28 : 81–9.
• Marstrand, JM (1954). "Kartezyen ürün setlerinin boyutu". Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198-202. Bibcode : 1954PCPS...50..198M . doi : 10.1017/S0305004100029236 .
• Mattila, Pertti (1995). Öklid uzaylarında kümelerin ve ölçülerin geometrisi . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-65595-8.
• AS Besicovich (1929). "Kesirli Boyutların Noktalarının Doğrusal Kümeleri Üzerine". Matematikçi Annalen . 101 (1): 161–193. doi : 10.1007/BF01454831 . S2CID  125368661 .
• AS Besicovich ; HD Ursell (1937). "Kesirli Boyut Kümeleri". Londra Matematik Derneği Dergisi . 12 (1): 18–25. doi : 10.1112/jlms/s1-12.45.18 .
  Bu ciltten çeşitli seçmeler Edgar, Gerald A. (1993)' de yeniden basılmıştır . Fraktallar üzerine klasikler . Boston: Addison-Wesley. ISBN'si 0-201-58701-7. 9,10,11 bölümlerine bakın
• F. Hausdorff (Mart 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Matematikçi Annalen . 79 (1–2): 157–179. doi : 10.1007/BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz/100363 . S2CID  122001234 .
• Hutchinson, John E. (1981). "Fraktallar ve öz benzerlik" . Indiana Üniv. Matematik. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Falconer, Kenneth (2003). Fraktal Geometri: Matematiksel Temeller ve Uygulamalar (2. baskı). John Wiley ve Oğulları .

Dış bağlantılar

• Hausdorff boyutu en Matematik Ansiklopedisi
• Hausdorff önlem de Matematik Ansiklopedisi