Pappus'un ağırlık merkezi teoremi - Pappus's centroid theorem

Yüzey alanlarını elde etmek için açık bir silindir, koni ve küreye uygulanan teorem. Merkezler, dönme ekseninden a (kırmızı) uzaklıkta.

Matematik olarak, ince tüy en ağırlık merkezi teoremi (aynı zamanda Guldinus teoremi , pappus-Guldinus teoremi veya ince tüy teoremi ), iki ilişkili ait teoremi ile ilgili yüzey alanları ve hacim arasında yüzeyleri ve katı devrim.

Teoremler İskenderiyeli Pappus ve Paul Guldin'e atfedilir . Pappus'un bu teoreme ilişkin ifadesi ilk kez 1659'da baskıda yer aldı, ancak daha önce 1615'te Kepler ve 1640'ta Guldin tarafından biliniyordu.

ilk teorem

Birinci teoremi durumları yüzey alanı bir a dönme yüzeyi dönen tarafından oluşturulan düzlem eğri C , bir ilgili eksene dış C ve aynı düzlemde çarpımına eşittir yay uzunluğu ler arasında C ve uzaklık d katettiği geometrik ağırlık merkezi bölgesinin C :

${\görüntüleme stili A=sd.}$

Örneğin, yüzey alanı, torus küçük olan çapı r ve büyük yarıçap R olduğu

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.}$

ikinci teorem

İkinci teoremi durumları hacmi V a devrim katı bir döner tarafından oluşturulan düzlem Şekil F harici eksen etrafında alan çarpımına eşittir , A ve F ve uzaklık d geometrik ağırlık merkezi tarafından kat F . ( F'nin ağırlık merkezi genellikle C sınır eğrisinin ağırlık merkezinden farklıdır .) Yani:

${\ Displaystyle V=Reklam}$

Örneğin, ses torus küçük yarıçapı olan r ve büyük yarıçap R olduğu

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

Bu özel durum Johannes Kepler tarafından sonsuz küçükler kullanılarak türetilmiştir .

Kanıt

Izin alanı olması , bir devrim katı ve hacmi . Diyelim ki -düzleminde başlıyor ve - ekseni etrafında dönüyor . Ağırlık merkezinin -eksene olan uzaklığı onun -koordinatıdır. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili xz}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x\,dA}{A}},}$

ve teorem diyor ki

${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \iint _{F}x\,dA.}$

Bunu göstermek için, let olmak xz -plane, parametrize tarafından için bir parametre bölge. Yana esas olarak bir eşleme için alan, ile verilmektedir değişkenler değişimi formül: ${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle A=\iint _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\sağ |\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}- {\frac {\kısmi x}{\kısmi v}}{\frac {\kısmi z}{\kısmi u}}\sağ|\,du\,dv,}$

burada bir belirleyici ve Jacobi matris değişken değiştirme. ${\displaystyle \sol|{\tfrac {\kısmi (x,z)}{\kısmi (u,v)}}\sağ|}$

Katı var toroidal parametrizasyonunu için parametre bölgesinde ; ve hacmi ${\görüntüleme stili W}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$${\görüntüleme stili (u,v,\teta )}$${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$

${\displaystyle V=\iint _{W}dV=\iint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta) )}}\sağ|\,du\,dv\,d\theta .}$

Genişleyen,

${\displaystyle {\begin{hizalı}\sol|{\frac {\kısmi (x,y,z)}{\kısmi (u,v,\theta )}}\sağ|&=\sol|\det { \begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \ \[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt ]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\sağ|\\[5pt]&=\left| -{\frac {\kısmi z}{\kısmi v}}{\frac {\kısmi x}{\kısmi u}}\,x+{\frac {\kısmi z}{\kısmi u}}{\frac { \partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\sağ| =x\sol|{\frac {\kısmi (x,z)}{\kısmi (u,v)}}\sağ|.\son{hizalı}}}$

Son eşitlik, dönme ekseninin , yani 'nin dışında olması gerektiği için geçerlidir . şimdi, ${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle x\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}V&=\iint _{W^{*}}\sol|{\frac {\kısmi (x,y,z)}{\kısmi (u,v,\teta )} }\right|\,du\,dv\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u, v)\sol|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\sağ|\,du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\ pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\sağ|\,du\, dv=2\pi \iint _{F}x\,dA\end{hizalı}}}$

değişkenlerin değişmesiyle.

genellemeler

Teoremler, uygun koşullar altında keyfi eğriler ve şekiller için genelleştirilebilir.

Goodman & Goodman ikinci teoremi aşağıdaki gibi genelleştirir. Şekil ise F uzayda hareket eder kalacak şekilde dik eğri için L sentroidi ile takip F , o zaman birim bir katı madde süpürür V = Ad , burada bir alanıdır F ve d uzunluğu L . (Bu, cismin kendisiyle kesişmediğini varsayar.) Özellikle, F , hareket sırasında kendi ağırlık merkezi etrafında dönebilir.

Bununla birlikte, birinci teoremin karşılık gelen genellemesi, yalnızca ağırlık merkezi tarafından izlenen L eğrisi C düzlemine dik bir düzlemde yer alıyorsa doğrudur .

n-boyutlarda

Genel olarak, boyutlu bir katı boyutlu bir küre etrafında döndürülerek boyutlu bir katı üretilebilir . Buna türlerin katı devrimi denir . Let ait bırakanların ağırlık noktasına tanımlanabilir ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili np}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x^{p}\,dA}{A}},}$

O zaman Pappus' teoremleri şu şekilde genellenir:

Türlerin dönüşünün -katı hacmi = ( -katı üretme hacmi) ( -kürenin yüzey alanı, oluşturan katının -th ağırlık merkezi tarafından izlenir ) ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili p}$
${\görüntüleme stili (n{-}p)}$${\görüntüleme stili \kez }$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$

ve

Türlerin dönüşünün -katısının yüzey alanı = ( -katı oluşturan yüzey alanı ) ( -kürenin yüzey alanı, oluşturan katının -th ağırlık merkezi tarafından izlenir ) ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili p}$
${\görüntüleme stili (n{-}p)}$${\görüntüleme stili \kez }$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$

Orijinal teoremler . ${\görüntüleme stili n=3,\,p=1}$

Dipnotlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Pappus'un Centroid Teoremi" . Matematik Dünyası .