Grup hızı - Group velocity

Derin su yüzeyinde yerçekimi dalgaları grupları halinde frekans dağılımı . NS  kırmızı kare faz hızıyla hareket eder ve      yeşil daireler grup hızıyla yayılır. Bu derin su durumunda, faz hızı grup hızının iki katıdır . Kırmızı kare, şeklin solundan sağına doğru hareket ederken iki yeşil daireyi geçiyor.

Yeni dalgalar, bir dalga grubunun arkasında ortaya çıkıyor, grubun merkezine gelene kadar genlik olarak büyüyor ve dalga grubunun önünde kayboluyor gibi görünüyor.

Yüzey yerçekimi dalgaları için su partikül hızları çoğu durumda faz hızından çok daha küçüktür.

Dağılma olmaksızın grup hızından daha büyük bir faz hızı gösteren bir dalga paketinin yayılması.

Bu, grup hızı ve faz hızı farklı yönlere giden bir dalgayı gösterir. Grup hızı pozitiftir (yani, dalganın zarfı sağa doğru hareket eder), faz hızı ise negatiftir (yani, tepeler ve çukurlar sola doğru hareket eder).

Grup hızı , bir bir dalga olan hızı dalgasının genel zarf şekli olarak genlikleri bilinen var hangi modülasyon veya zarf uzayda dalga husule arasında.

Örneğin, çok durgun bir havuzun ortasına bir taş atılırsa, suda kılcal dalga olarak da bilinen durgun bir merkeze sahip dairesel bir dalga modeli ortaya çıkar . Genişleyen dalga halkası, bir bütün olarak gruptan daha hızlı hareket eden bireysel dalgaların ayırt edilebildiği dalga grubudur . Bireysel dalgaların genlikleri, grubun arka kenarından çıktıkça büyür ve grubun ön kenarına yaklaştıkça azalır.

Tanım ve yorum

Tanım

  Bir dalga paketi .

 Zarf dalga paketinin. Zarf grup hızında hareket eder.

Grup hızı v _g aşağıdaki denklemle tanımlanır:

${\displaystyle v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\kısmi k}}}\,}$

burada ω dalganın olan açısal frekans (genellikle ifade saniyede radyan ) ve k bir açısal dalga sayısı (genellikle metre başına radyan cinsinden ifade edilir). Faz hızı olan: v _p = ω / k .

İşlev ω ( k ) verir, ω bir fonksiyonu olarak k , olarak bilinen dağılım ilişkisi .

• Eğer ω olan orantılı için k , daha sonra grup hızı tam olarak faz hızı eşittir. Herhangi bir şekle sahip bir dalga bu hızda bozulmadan yol alacaktır.
• Eğer ω lineer bir fonksiyonudur k , ama direkt olarak orantılı değildir ( ω = ak + b ) , o zaman grup hızı ve faz hızı farklıdır. Bir dalga paketinin zarfı ( sağdaki şekle bakın) grup hızında hareket ederken, zarf içindeki bireysel tepe ve çukurlar faz hızında hareket edecektir.
• Eğer ω doğrusal bir fonksiyonu değildir k olarak seyahat bir dalga paketinin zarf bozuk hale gelecektir. Bir dalga paketi bir dizi farklı frekans (ve dolayısıyla farklı k değerleri ) içerdiğinden , grup hızı ∂ω/∂k , k'nin farklı değerleri için farklı olacaktır . Bu nedenle, zarf tek bir hızda hareket etmez, ancak dalga sayısı bileşenleri ( k ) zarfı bozarak farklı hızlarda hareket eder. Dalga paketi dar bir frekans aralığına sahipse ve ω ( k ) bu dar aralıkta yaklaşık olarak doğrusal ise, darbe distorsiyonu küçük doğrusal olmama durumuna göre küçük olacaktır. Aşağıda daha fazla tartışmaya bakın . Örneğin, için derin su yerçekimi dalgaları , ve bu nedenle hacim _g = h _p / 2 .${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
  Bu , tüm gemilerin ve yüzen nesnelerin pruva dalgası için Kelvin uyanma düzeninin temelini oluşturur . Ne kadar hızlı hareket ederlerse etsinler, hızları sabit olduğu sürece, her iki tarafta iz, hareket çizgisi ile 19.47° = arksin(1/3)'lik bir açı oluşturur.

türetme

Grup hızı formülünün bir türevi aşağıdaki gibidir.

Bir dalga paketini x konumunun ve t zamanının bir fonksiyonu olarak düşünün : α ( x , t ) .

Let bir ( k ) Fourier süre içinde dönüşümü olabilir t = 0 ,

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

Tarafından üst üste prensibi , her zaman en wavepacket t olduğu

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

burada ω örtük olarak k'nin bir fonksiyonudur .

Dalga paketi olduğunu varsayalım α neredeyse tek renkli böylece, bir ( k ) keskin olan bir merkezi etrafında zirve dalga sayısı k ₀ .

Daha sonra, doğrusallaştırma verir

${\displaystyle \omega (k)\yaklaşık \omega _{0}+\sol(k-k_{0}\sağ)\omega '_{0}}$

nerede

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$ ve ${\displaystyle \omega '_{0}=\sol.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\sağ|_{k=k_{0}}}$

(bu adımın tartışılması için sonraki bölüme bakın). Sonra, biraz cebirden sonra,

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\sağ)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\ ,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\sağ)}.}$

Bu ifadede iki faktör vardır. İlk faktör, dalga paketinin zarfı içinde faz hızında hareket eden tepeler ve çukurlar ile dalga vektörü k ₀ olan mükemmel bir monokromatik dalgayı tanımlar. ${\displaystyle e^{i\sol(k_{0}x-\omega _{0}t\sağ)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

Diğer faktör,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\sağ) )}}$,

dalga paketinin zarfını verir. Bu zarf işlevi, yalnızca kombinasyon yoluyla konum ve zamana bağlıdır . ${\ Displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

Bu nedenle, dalga paketinin zarfı hızla hareket eder.

${\displaystyle \omega '_{0}=\sol.{\frac {d\omega }{dk}}\sağ|_{k=k_{0}}~,}$

hangi grup hızı formülünü açıklar.

Dağılımda daha yüksek dereceli terimler

Derin su üzerindeki yüzey yerçekimi dalgaları için yüksek dereceli dağılım etkileri ile dalga gruplarının bozulması ( v _g = ½ v _{p ile} ).

Bu, sırasıyla 22, 25 ve 29 dalga boyları ile 2 km uzunluğundaki periyodik yatay bir alana uyan üç dalga bileşeninin üst üste binmesini gösterir . Bileşenlerin dalga genlikleri sırasıyla 1, 2 ve 1 metredir.

Önceki türetmenin bir kısmı Taylor serisi yaklaşımıdır ve şu şekildedir :

${\displaystyle \omega (k)\yaklaşık \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

Dalga paketi nispeten büyük bir frekans yayılımına sahipse veya ω(k) dağılımı keskin değişimlere sahipse (örneğin bir rezonans nedeniyle ) veya paket çok uzun mesafeler boyunca seyahat ediyorsa, bu varsayım geçerli değildir ve daha yüksek mertebedendir. Taylor açılımındaki terimler önemli hale gelir.

Sonuç olarak, dalga paketinin zarfı sadece hareket etmekle kalmaz, aynı zamanda malzemenin grup hız dağılımı ile tanımlanabilecek bir şekilde bozulur . Açıkça söylemek gerekirse, dalga paketinin farklı frekans bileşenleri farklı hızlarda hareket eder, daha hızlı bileşenler dalga paketinin önüne doğru hareket eder ve daha yavaş olanlar arkaya doğru hareket eder. Sonunda, dalga paketi uzar. Bu, sinyallerin optik fiberler aracılığıyla yayılmasında ve yüksek güçlü, kısa darbeli lazerlerin tasarımında önemli bir etkidir .

Tarih

Bir dalganın faz hızından farklı bir grup hızı fikri ilk olarak 1839'da WR Hamilton tarafından önerildi ve ilk tam tedavi 1877'de Rayleigh tarafından "Ses Teorisi"nde yapıldı.

Diğer ifadeler

Işık için kırılma indisi n , vakum dalga boyu λ ₀ ve ortamdaki dalga boyu λ , ile ilişkilidir

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2 \pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0 }}{\lambda }},}$

ile v _p  =  ω / k faz hızı .

Bu nedenle grup hızı, aşağıdaki formüllerden herhangi biri ile hesaplanabilir,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+ {\frac {\lambda }{n}}{\frac {\kısmi n}{\partial \lambda }}\sağ)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\ rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\kısmi k}}.\end{hizalı }}}$

Faz hızı, kırılma indisi ve iletim hızı ile ilişkisi

Üç boyutlu

Işık dalgaları, ses dalgaları ve madde dalgaları gibi üç boyutta hareket eden dalgalar için faz ve grup hızı formülleri basit bir şekilde genelleştirilir:

Tek boyut: ${\displaystyle v_{\rm {p}}=\omega /k,\dörtlü v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\kısmi k}},\,}$

Üç boyut: ${\displaystyle (v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g} }={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

nerede

${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$

anlamına gelir gradyanı bir açısal frekans co dalga vektörünün bir fonksiyonu olarak ve bir birim vektör yönde k . ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Dalgalar anizotropik (yani rotasyonel simetrik olmayan) bir ortamda, örneğin bir kristalde yayılıyorsa , faz hızı vektörü ve grup hız vektörü farklı yönleri gösterebilir.

Kayıplı veya kazançlı medyada

Grup hızı genellikle bir dalga boyunca enerji veya bilginin iletildiği hız olarak düşünülür . Çoğu durumda bu doğrudur ve grup hızı , dalga formunun sinyal hızı olarak düşünülebilir . Ancak dalga soğurucu veya kazançlı bir ortamda ilerliyorsa, bu her zaman geçerli değildir. Bu durumlarda grup hızı iyi tanımlanmış bir miktar olmayabilir veya anlamlı bir miktar olmayabilir.

Brillouin , “Periyodik Yapılarda Dalga Yayılımı” adlı metninde, enerji tüketen bir ortamda grup hızının net bir fiziksel anlama sahip olmaktan çıktığını savundu. Elektromanyetik dalgaların bir atomik gaz yoluyla iletilmesine ilişkin bir örnek Loudon tarafından verilmiştir. Diğer bir örnek, güneş ışık küresindeki mekanik dalgalardır : Dalgalar sönümlenir (tepelerden çukurlara doğru yayılan ısı akışıyla) ve bununla ilgili olarak, enerji hızı genellikle dalgaların grup hızından önemli ölçüde daha düşüktür.

Bu belirsizliğe rağmen, grup hızı kavramını karmaşık ortamlara genişletmenin yaygın bir yolu, ortam içinde karmaşık değerli bir dalga vektörü ile karakterize edilen uzamsal olarak sönümlü düzlem dalga çözümlerini düşünmektir . Daha sonra, dalga vektörünün sanal kısmı keyfi olarak atılır ve grup hızı için genel formül dalga vektörünün gerçek kısmına uygulanır, yani,

${\displaystyle v_{\rm {g}}=\sol({\frac {\partial \sol(\operatöradı {Re} k\sağ)}{\partial \omega }}\sağ)^{-1}. }$

Veya, eşdeğer olarak, karmaşık kırılma indisinin reel kısmı açısından , n = n + iκ ,

${\displaystyle {\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\kısmi n}{\kısmi \omega }}.}$

Grup hızının bu genelleştirilmesinin, bir dalga paketinin tepe noktasının görünen hızıyla ilgili olmaya devam ettiği gösterilebilir. Bununla birlikte, yukarıdaki tanım evrensel değildir: alternatif olarak, duran dalgaların zaman sönümlenmesi (gerçek k , karmaşık ω ) düşünülebilir veya grup hızının karmaşık değerli bir miktar olmasına izin verilebilir. Farklı değerlendirmeler farklı hızlar sağlar, ancak tüm tanımlar kayıpsız, kazançsız bir ortam için hemfikirdir.

Karmaşık ortamlar için grup hızının yukarıdaki genellemesi garip davranabilir ve anormal dağılım örneği iyi bir örnek teşkil eder. Anormal dağılım bölgesinin kenarlarında, sonsuz hale gelir ( vakumdaki ışığın hızını bile aşar ) ve anormal dağılım bandının içinde kolaylıkla negatif olabilir (işareti Re k 'ye zıttır ). ${\displaystyle v_{\rm {g}}}$${\displaystyle v_{\rm {g}}}$

Süperluminal grup hızları

1980'lerden bu yana, çeşitli deneyler, kayıplı malzemeler veya kazançlı malzemeler yoluyla gönderilen lazer ışığı darbelerinin grup hızının (yukarıda tanımlandığı gibi) vakumdaki ışık hızını c önemli ölçüde aşmasının mümkün olduğunu doğrulamıştır . Wavepackets pikleri de daha hızlı hareket görüldü c .

Bununla birlikte, tüm bu durumlarda, v _g'nin yüksek değeri , keskin dalga cephesinin gerçek hareketini hızlandırmaya yardımcı olmadığından , sinyallerin boşlukta ışık hızından daha hızlı taşınması olasılığı yoktur . herhangi bir gerçek sinyalin başlangıcı. Esasen, görünüşte süperlüminal iletim, yukarıda grup hızını tanımlamak için kullanılan dar bant yaklaşımının bir eseridir ve araya giren ortamdaki rezonans fenomeni nedeniyle gerçekleşir. Geniş bir bant analizinde, sinyal zarfının görünüşte paradoksal yayılma hızının, aslında tümü mükemmel bir şekilde nedensel olarak ve faz hızında yayılan birçok döngü boyunca daha geniş bir frekans bandının yerel girişiminin sonucu olduğu görülmektedir. Sonuç, gölgelere neden olan ışık her zaman ışık hızında yayılıyor olsa bile, gölgelerin ışıktan daha hızlı hareket edebileceği gerçeğine benzer; Ölçülmekte olan fenomen nedensellik ile sadece gevşek bir şekilde bağlantılı olduğundan, normal şartlar altında böyle yapsa ve ortak bir sezgiye yol açsa bile, nedensel yayılma kurallarına ille de uymaz.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• Greg Egan'ın web sitesinde faz hızından grup hızındaki bariz farkı gösteren mükemmel bir Java uygulaması var .
• Maarten Ambaum'un, hava sistemlerinin akış yönündeki gelişimi için grup hızının önemini gösteren bir film içeren bir web sayfası var .
• Faz ve Grup Hızı – Çeşitli Faz ve Grup hız ilişkileri (animasyon)