Cebir tarihi - History of algebra

Cebir , esasen, aritmetik hesaplamalarına benzer, ancak sayısal olmayan matematiksel nesnelerle hesaplamalar yapmak olarak düşünülebilir . Bununla birlikte, 19. yüzyıla kadar cebir, esas olarak denklemler teorisinden oluşuyordu . Örneğin, cebirin temel teoremi denklemler teorisine aittir ve günümüzde cebire ait olduğu düşünülmemektedir (aslında her ispat , cebirsel bir özellik olmayan gerçek sayıların tamlığını kullanmalıdır ).

Bu makale, burada "cebir" olarak adlandırılan denklemler teorisinin kökeninden, matematiğin ayrı bir alanı olarak cebirin ortaya çıkışına kadar olan tarihini anlatmaktadır .

etimoloji

"Cebir" kelimesi , Arapça الجبر al-jabr kelimesinden türetilmiştir ve bu , Arapça başlığı Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb olan ortaçağ İranlı matematikçi Muhammed ibn Mūsā al-Khwārizmī tarafından 830 yılında yazılan incelemeden gelmektedir. el-ğabr wa-l-muqābala , Tamamlanma ve Dengeleme Yoluyla Hesaplamanın Özeti Kitabı olarak tercüme edilebilir . Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümü için sağlanan inceleme . Bir tarihe göre, " el-cebr ve mukabele terimlerinin tam olarak ne anlama geldiği kesin değildir , ancak genel yorum önceki çeviride ima edilene benzer. 'El-cebr' kelimesi muhtemelen ' restorasyon' veya 'tamamlama' ve çıkarılan terimlerin bir denklemin diğer tarafına aktarılmasına atıfta bulunuyor gibi görünüyor ; 'mukabele' kelimesinin 'indirgeme' veya 'dengeleme' - yani benzer terimlerin iptali anlamına geldiği söylenir. El-Harezmi zamanından çok sonra İspanya'da Arap etkisi, 'cebirci' kelimesinin bir kemik yapıcı, yani bir 'restoratör' için kullanıldığı Don Kişot'ta bulunur . Terim, el-Harezmi tarafından , çıkarılan terimlerin bir denklemin diğer tarafına aktarılmasına, yani karşıt taraflardaki benzer terimlerin iptaline atıfta bulunarak ortaya koyduğu " indirgeme " ve "dengeleme" işlemlerini tanımlamak için kullanılır. denklemin.

cebirin aşamaları

Cebirsel ifade

Cebir, artık matematikte her yerde bulunan sembolizmi her zaman kullanmadı; bunun yerine, üç farklı aşamadan geçti. Sembolik cebirin gelişim aşamaları yaklaşık olarak şöyledir:

• Denklemlerin tam cümlelerle yazıldığı retorik cebir . Örneğin, retorik formu "Bir şey artı bir ikiye eşittir" veya muhtemelen "Şey artı 1 eşittir 2"dir. Retorik cebir ilk olarak eski Babilliler tarafından geliştirildi ve 16. yüzyıla kadar baskın kaldı.${\görüntüleme stili x+1=2}$

• Bilinçsiziz cebir bazı sembolizm kullanılır, ancak hangi sembolik cebir tüm özellikleri içermez. Örneğin, çıkarma işleminin bir denklemin bir tarafında yalnızca bir kez kullanılabileceğine dair bir kısıtlama olabilir, bu durum sembolik cebirde geçerli değildir. Bilinçsiziz cebirsel ifadesi ilk kez ortaya yılında Diophantus ' Arithmetica'sının izledi (3 yy), Brahmagupta s' Brahma Sphuta Siddhanta'nın (7 yüzyıl).

• Tam sembolizmin kullanıldığı sembolik cebir . Buna yönelik ilk adımlar , tamamen sembolik cebir François Viète (16. yüzyıl) tarafından geliştirilmiş olmasına rağmen, İbn el-Benna (13.-14. yüzyıllar) ve el-Kalasadi (15. yüzyıl) gibi çeşitli İslami matematikçilerin çalışmalarında görülebilir . Daha sonra René Descartes (17. yüzyıl) modern gösterimi (örneğin, x'in kullanımı - aşağıya bakınız ) tanıttı ve geometride meydana gelen problemlerin cebir ( Kartezyen geometri ) cinsinden ifade edilebileceğini ve çözülebileceğini gösterdi .

Cebirde sembolizm kullanımı veya eksikliği kadar, ele alınan denklemlerin derecesi de eşit derecede önemliydi. İkinci dereceden denklemler erken cebirde önemli bir rol oynadı; ve tarihin çoğu boyunca, erken modern döneme kadar, tüm ikinci dereceden denklemler üç kategoriden birine ait olarak sınıflandırıldı.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

nerede ve olumlu. Bu kısma bölünen formun kuadratik denklemler çünkü yaklaşık geliyor ile ve pozitif, hiçbir olumlu olması kökleri . ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$

Sembolik cebirin retorik ve senkoplu aşamaları arasında, klasik Yunan ve Vedik Hintli matematikçiler tarafından cebirsel denklemlerin geometri yoluyla çözüldüğü bir geometrik yapıcı cebir geliştirildi . Örneğin, formun bir denklemi, bir alanın karesinin kenarı bulunarak çözüldü.${\görüntüleme stili x^{2}=A}$${\görüntüleme stili A.}$

kavramsal aşamalar

Cebirsel fikirleri ifade etmenin üç aşamasına ek olarak, bazı yazarlar cebirin gelişiminde ifadedeki değişikliklerle birlikte meydana gelen dört kavramsal aşamayı fark ettiler. Bu dört aşama şu şekildeydi:

• Cebir kavramlarının büyük ölçüde geometrik olduğu geometrik aşama . Bu, Babillilere kadar uzanır ve Yunanlılarla devam etmiş ve daha sonra Ömer Hayyam tarafından yeniden canlandırılmıştır .
• Amacın belirli ilişkileri sağlayan sayıları bulmak olduğu statik denklem çözme aşaması . Geometrik cebirden uzaklaşma, Diophantus ve Brahmagupta'ya kadar uzanır , ancak cebir, Al-Khwarizmi , cebirsel problemleri çözmek için genelleştirilmiş algoritmik süreçler ortaya koyana kadar kararlı bir şekilde statik denklem çözme aşamasına geçmedi .
• Hareketin temel bir fikir olduğu dinamik fonksiyon aşaması . Bir fonksiyon fikri Sharaf al-Dīn al-Tūsī ile ortaya çıkmaya başladı , ancak cebir Gottfried Leibniz'e kadar kesin olarak dinamik fonksiyon aşamasına geçmedi .
• Matematiksel yapının merkezi bir rol oynadığı soyut aşama . Soyut cebir , büyük ölçüde 19. ve 20. yüzyılların bir ürünüdür.

Babil

Cebirin kökenleri, retorik cebirsel denklemlerini çözmede onlara büyük ölçüde yardımcı olan bir konumsal sayı sistemi geliştiren eski Babillilere kadar izlenebilir . Babilliler kesin çözümlerle değil, yaklaşık değerlerle ilgilendiler ve bu nedenle, ara değerleri yaklaşık olarak belirlemek için yaygın olarak doğrusal enterpolasyon kullanırlardı. En ünlü tabletlerden biri, MÖ 1900-1600 yıllarında oluşturulan ve Pisagor üçlülerinin bir tablosunu veren ve Yunan matematiğinden önceki en gelişmiş matematiğin bazılarını temsil eden Plimpton 322 tabletidir .

Babil cebiri, zamanın Mısır cebirinden çok daha gelişmişti; Mısırlılar esas olarak doğrusal denklemlerle ilgilenirken, Babilliler daha çok ikinci dereceden ve kübik denklemlerle ilgilendiler . Babilliler, kesirleri ve faktörleri ortadan kaldırmak için eşitlere eşitler ekleyebilecekleri ve bir denklemin her iki tarafını benzer miktarlarla çarpabilecekleri esnek cebirsel işlemler geliştirmişlerdi . Genel kübik denklemi azaltıp azaltamayacakları bilinmemekle birlikte, birçok basit çarpanlara ayırma biçimine, pozitif köklü üç terimli ikinci dereceden denklemlere ve birçok kübik denkleme aşinaydılar .

Antik Mısır

Eski Mısır cebiri esas olarak lineer denklemlerle uğraşırken, Babilliler bu denklemleri çok temel buldular ve matematiği Mısırlılardan daha yüksek bir seviyeye geliştirdiler.

Ahmes Papirüsü olarak da bilinen Rhind Papirüsü, MÖ M.Ö. MÖ 1650, Ahmes tarafından, MÖ 2000 ile 1800 yılları arasına tarihlenen daha önceki bir çalışmadan kopyalandı. Tarihçiler tarafından bilinen en kapsamlı eski Mısır matematiksel belgesidir. Rhind Papirüs lineer formda denklemleri sorunları içerir ve çözülür, burada ve bilinmektedir ve bilinmemektedir, "aha" ya da yığın olarak ifade edilir ki. Çözümler muhtemelen "yanlış konum yöntemi" veya regula falsi kullanılarak ulaşıldı , burada önce denklemin sol tarafına belirli bir değer konuldu , ardından gerekli aritmetik hesaplamalar yapıldı, üçüncü olarak sonuç, denklemin sağ tarafı ile karşılaştırılır ve son olarak oranlar kullanılarak doğru cevap bulunur. Bazı problemlerde yazar çözümünü "kontrol eder", böylece bilinen en eski basit ispatlardan birini yazar. ${\displaystyle x+ax=b}$${\displaystyle x+ax+bx=c}$${\görüntüleme stili a,b,}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili x,}$

Yunan matematiği

Bazen Yunanlıların cebir olmadığı iddia edilir , ancak bu yanlıştır. Platon zamanında , Yunan matematiği şiddetli bir değişim geçirmişti. Yunanlılar , terimlerin geometrik nesnelerin kenarlarıyla, genellikle çizgilerle temsil edildiği, kendileriyle ilişkili harfleri olan bir geometrik cebir yarattılar ve bu yeni cebir formuyla, icat ettikleri bir işlemi kullanarak denklemlere çözümler bulabildiler. "alanların uygulaması" olarak. "Alanların uygulama" sadece geometrik cebir bir parçasıdır ve iyice kaplıdır Öklid 'in Elements .

Geometrik cebire bir örnek lineer denklemi çözmek olabilir. Eski Yunanlılar bu denklemi oranlar arasında bir eşitlikten ziyade alanların eşitliği olarak görerek çözerlerdi ve Yunanlılar kenar uzunlukları olan bir dikdörtgen oluşturur ve sonra bir dikdörtgeni uzatırdı. Dikdörtgenin kenar uzunluğuna kadar ve sonunda dikdörtgenin çözüm olan kenarını bulmak için uzatılmış dikdörtgeni tamamlayacaklardı. ${\görüntüleme stili balta=bc.}$${\görüntüleme stili a:b}$${\görüntüleme stili c:x.}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili c,}$${\görüntüleme stili bir,}$

Thymaridas'ın Çiçeği

Iamblichus içinde Introductio arithmatica söylüyor Thymaridas eşzamanlı lineer denklem ile çalışmış - (. C. 350 BCE c 400 BCE). Özellikle, "Thymaridas'ın çiçeği" veya "Thymaridas'ın çiçeği" olarak bilinen o zamanlar ünlü kuralı yarattı ve şöyle diyor:

Miktarların toplamı ve ayrıca belirli bir miktar içeren her çiftin toplamı verilirse, bu belirli miktar, bu çiftlerin toplamları ile ilk verilen toplam arasındaki farka eşittir .${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle 1/(n-2)}$

veya modern gösterimi kullanarak , bilinmeyenlerde aşağıdaki lineer denklem sisteminin çözümü , ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\görüntüleme stili \vnoktalar }$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

NS,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{ i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Iamblichus, bu formda olmayan bazı lineer denklem sistemlerinin bu forma nasıl yerleştirilebileceğini açıklamaya devam ediyor.

İskenderiye Öklid

Öklid ( Yunanca : Εὐκλείδης ) İskenderiye , Mısır'da , neredeyse kesin olarak Ptolemy I (323–283 BCE) döneminde gelişen bir Yunan matematikçiydi . Ne doğumunun yılı, ne yeri, ne de ölümünün koşulları tespit edilmiştir.

Öklid " geometrinin babası" olarak kabul edilir . Onun Elemanları en başarılı olduğu ders kitabı içinde matematik tarihine . Tarihin en ünlü matematikçilerinden biri olmasına rağmen, kendisine atfedilen yeni bir keşif yoktur; daha ziyade onun büyük açıklama becerileri ile hatırlanır. Elemanlar bazen sanıldığı gibi, onun bugüne kadar tüm Yunan matematiksel bir bilgi toplama değil, daha ziyade, ona temel bir giriştir.

Elementler

Yunanlıların Öklid'in Elemanları'nda belirtilen geometrik çalışması, formülleri belirli problemlerin çözümünün ötesinde, denklemleri belirtmek ve çözmek için daha genel sistemlere genelleştirmek için bir çerçeve sağladı.

Elementlerin II. Kitabı , Öklid'in zamanında geometrik cebir yapmak için son derece önemli olan on dört önermeyi içerir. Bu önermeler ve sonuçları, modern sembolik cebir ve trigonometrimizin geometrik karşılıklarıdır. Bugün, modern sembolik cebir kullanarak, sembollerin bilinen ve bilinmeyen büyüklükleri (yani sayıları) temsil etmesine izin verdik ve sonra onlara cebirsel işlemler uyguladık, Öklid'in zamanında büyüklükler çizgi parçaları olarak görüldü ve daha sonra aksiyomlar veya geometri teoremleri kullanılarak sonuçlar çıkarıldı.

Toplama ve çarpmanın birçok temel kanunu Elementlere dahil edilmiş veya geometrik olarak ispatlanmıştır . Örneğin, Kitap II'nin 1. önermesi şunları belirtir:

İki düz çizgi varsa ve bunlardan biri herhangi bir sayıda parçaya bölünecekse, iki düz çizginin içerdiği dikdörtgen, kesilmemiş düz çizginin ve parçaların her birinin içerdiği dikdörtgenlere eşittir.

Ama bu (sol) geometrik versiyonundan başka bir şey değildir dağıtıcı hukuk , ; ve Kitaplar V ve VII Element değişmeli ve birleştirici çoğalması için yasalar gösterilmektedir. ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

Birçok temel denklem geometrik olarak da ispatlandı. Örneğin, Kitap II'deki 5. önerme bunu kanıtlıyor ve Kitap II'deki 4. önerme bunu kanıtlıyor.${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Ayrıca birçok denkleme verilen geometrik çözümler de vardır. Örneğin, Kitap II'nin 6. önermesi ikinci dereceden denklemin çözümünü verir ve Kitap II'nin 11. önermesi aşağıdakilere bir çözüm verir.${\displaystyle balta+x^{2}=b^{2},}$${\displaystyle balta+x^{2}=a^{2}.}$

Veri

Veriler , Euclid tarafından İskenderiye okullarında kullanılmak üzere yazılmış bir eserdir ve Elementlerin ilk altı kitabına eşlik eden bir cilt olarak kullanılması amaçlanmıştır. Kitap, cebirsel kurallar veya formüller olarak hizmet eden yaklaşık iki düzine ifadenin bulunduğu yaklaşık on beş tanım ve doksan beş ifade içermektedir. Bu ifadelerden bazıları, ikinci dereceden denklemlerin çözümlerinin geometrik eşdeğerleridir. Örneğin Veri , denklemlerin çözümlerinive bilinen Babil denklemini içerir.${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

konik bölümler

Bir konik kesit sonuçlanan bir eğridir kesişme a koni bir ile düzlem . Üç ana tip konik bölüm vardır: elipsler ( daireler dahil ), paraboller ve hiperboller . Konik bölümlerin Menaechmus (MÖ 380 – MÖ 320) tarafından keşfedildiği söylenir ve konik bölümlerle uğraşmak kendi denklemleriyle uğraşmakla eşdeğer olduğundan, kübik denklemlere ve diğer yüksek mertebeden denklemlere eşdeğer geometrik roller oynadılar. .

Menaechmus , iki bilinmeyenli herhangi bir denklemin bir eğri belirlediğinin farkında olmamasına rağmen , bir parabolde denklemin latus rectum denilen bir sabitin geçerli olduğunu biliyordu . Görünüşe göre, konik bölümlerin ve diğerlerinin bu özelliklerini de türetmiştir. Bu bilgiyi kullanarak, iki parabolün kesiştiği noktaları çözerek, kübik bir denklemi çözmeye eşdeğer bir çözümle , küpün çoğaltılması sorununa bir çözüm bulmak artık mümkündü . ${\displaystyle y^{2}=lx}$${\görüntüleme stili l}$

Eutocius tarafından kübik denklemi çözmek için kullandığı yöntemin Dionysodorus'a (MÖ 250 – MÖ 190) bağlı olduğu bilgisini alıyoruz . Dionysodorus, küpü dikdörtgen bir hiperbol ve bir parabolün kesişimi yoluyla çözdü. Bu bir sorun ilgiliydi Arşimed ' Küresi ve Silindir üzerinde . Konik kesitler, binlerce yıl boyunca Yunan ve daha sonra İslam ve Avrupalı ​​matematikçiler tarafından incelenecek ve kullanılacaktı. Özellikle Perga'lı Apollonius'un ünlü Konikleri , diğer konuların yanı sıra konik kesitlerle ilgilenir.

Çin

Çin Matematiği , genellikle en eski Çin matematiksel belgelerinden biri olarak kabul edilen Zhoubi Suanjing ile birlikte en az MÖ 300 yılına kadar uzanır .

Matematiksel Sanat Üzerine Dokuz Bölüm

MÖ 250 civarında yazılmış olan Chiu-chang suan-shu veya Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm, tüm Çin matematik kitaplarının en etkililerinden biridir ve yaklaşık 246 problemden oluşur. Sekizinci bölüm, pozitif ve negatif sayılar kullanarak belirli ve belirsiz eşzamanlı lineer denklemleri çözmeyi, bir problemde beş bilinmeyenli dört denklemi çözmeyi ele alıyor.

Daire Ölçülerinin Deniz Aynası

Ts'e-yuan hai-ching veya Daire Ölçümlerinin Deniz-Aynası, Li Zhi (veya Li Ye) (1192 – 1279 CE) tarafından yazılmış yaklaşık 170 problemin bir koleksiyonudur . O kullanılan fan fa veya Horner yöntemi o denklemleri çözme metodunu tarif etmedi, ancak altı olarak en yüksek olarak dereceden denklemleri çözmek için.

Dokuz Bölümde Matematiksel İnceleme

Shu-shu chiu-chang veya Dokuz Bölümde Matematiksel İnceleme , zengin vali ve bakan Ch'in Chiu-shao (c. 1202 - c. 1261) tarafından ve şimdi eşzamanlı kongrüansları çözme yönteminin icadı ile yazılmıştır . Çin kalan teoremi olarak adlandırılan bu, Çin belirsiz analizindeki en yüksek noktayı işaret ediyor.

Sihirli kareler

Bilinen en eski sihirli kareler Çin'de ortaya çıktı. Olarak dokuz bölüm yazar çözer (yani, bir matris) sihirli kare içine katsayıları ve lineer denklem sabit koşullar yerleştirilmesi ve sihirli kare kolon indirgeme işlemleri gerçekleştirerek aynı anda lineer denklem bir sistem. Bilinen en eski üçten büyük mertebeden sihirli kareler, on kadar yüksek mertebeden sihirli karelerle çalışan Yang Hui'ye (fl. c. 1261 – 1275) atfedilir .

Dört Elementin Değerli Aynası

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》 veya Dört Elementin Değerli Aynası, Chu Shih-chieh tarafından 1303'te yazılmıştır ve Çin cebirinin gelişiminde zirveye işaret etmektedir. Dört element cennet, toprak, insan ve madde denilen, onun cebirsel denklemlerin dört bilinmeyen miktarlarda temsil etti. Ssy-Yuan Yu-chien eşzamanlı denklemler ile ve on dört kadar en yüksek olarak derece denklemleri kendisine. Yazar, bu denklemleri çözmek için bugün Horner yöntemi olarak adlandırılan fan fa yöntemini kullanır .

Değerli Ayna aritmetik üçgen (bir diyagram ile açılır Pascal üçgeni yuvarlak sıfır sembolünü kullanarak), ancak Chu Shih-chieh bunun için kredi reddeder. Yang Hui'nin çalışmasında da benzer bir üçgen var, ancak sıfır sembolü yok.

Kıymetli aynada ispatsız verilen birçok toplama denklemi vardır . Özetlerden birkaçı:

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \3'ün üzerinde!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \üzerinde 3!}={n(n+1)(n+2)(n +3)(4n+1) \5'ten fazla!}}$

Diophantus

Diophantus , c.6'da yaşayan Helenistik bir matematikçiydi. 250 CE, ancak bu tarihin belirsizliği o kadar büyük ki, bir yüzyıldan fazla olabilir. Aslen on üç kitap olan ancak yalnızca ilk altısı hayatta kalan bir tez olan Arithmetica'yı yazdığı bilinmektedir . Aritmetik , geometrik yöntemlerden ayrıldığı için geleneksel Yunan matematiğiyle çok az ortak noktaya sahiptir ve Babil matematiğinden farklıdır, çünkü Diophantus öncelikle basit yaklaşımlar yerine hem belirli hem de belirsiz kesin çözümlerle ilgilenir.

Belirli bir Diophantine denkleminin çözülebilir olup olmadığını söylemek genellikle oldukça zordur. Diophantus'un ikinci dereceden bir denklemin iki çözümü olabileceğini bile fark ettiğini gösteren hiçbir kanıt yoktur. Aynı zamanda eş zamanlı ikinci dereceden denklemleri de düşündü. Ayrıca, tüm Diophantus çözümlerinden genel bir yöntem çıkarılamaz.

In kitaptaki , Diophantus sayılar, ilişkiler ve operasyonların güçler için bilinmeyen numaralar için semboller gibi kısaltmalar kullanan ilk olduğu; bu yüzden şimdi senkoplu cebir olarak bilinen şeyi kullandı . Diophantine senkoplu cebir ile modern cebirsel notasyon arasındaki temel fark, ilkinin işlemler, ilişkiler ve üsteller için özel sembollerden yoksun olmasıdır. Yani, örneğin, ne olarak yazacağız

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

olarak yeniden yazılabilir

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\sağ)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\sağ)={x^ {0}}5,}$

Diophantus'un senkoplu notasyonunda şu şekilde yazılacaktır:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon } {\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

burada semboller aşağıdakileri temsil eder:

Sembol	neyi temsil ediyor
${\displaystyle {\üzerine çizgi {\alpha }}}$	1
${\displaystyle {\üzerine çizgi {\beta }}}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota }}}$	10
ἴσ	"eşittir" ( ἴσος'un kısaltması )
${\ ekran stili \ dirgen }$	ἴσ'ya kadar olan her şeyin çıkarılmasını temsil eder${\ ekran stili \ dirgen }$
${\görüntüleme stili \mathrm {M} }$	sıfırıncı güç (yani sabit bir terim)
${\görüntüleme stili\zeta }$	bilinmeyen miktar (çünkü birinci güce yükseltilmiş bir sayı tam da bu "birinci güç" olarak düşünülebilir) ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x,}$
${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ upsilon }}$	ikinci güç, Yunanca δύναμις'dan , güç veya güç anlamına gelir
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	üçüncü güç, Yunanca κύβος'dan , küp anlamına gelir
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }\Delta }$	dördüncü güç
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	beşinci güç
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K} }$	altıncı güç

Modern gösterimden farklı olarak, katsayılar değişkenlerden sonra gelir ve bu toplama, terimlerin yan yana getirilmesiyle temsil edilir. Diophantus'un senkoplanmış denkleminin modern bir sembolik denkleme harfi harfine sembol-sembol çevirisi şöyle olacaktır:

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

nerede açıklığa kavuşturulmalı, modern parantezler ve artı kullanılıyorsa, yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\sağ)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\sağ)={x^ {0}}5}$

Aritmetik , belirli sayılarla yaklaşık 150 çözülmüş problemin bir koleksiyonudur ve herhangi bir varsayımsal gelişme yoktur ve genel bir yöntem açıkça açıklanmamıştır, ancak yöntemin genelliği amaçlanmış olabilir ve denklemlerin tüm çözümlerini bulmak için hiçbir girişimde bulunulmamıştır. Aritmetik , mümkünse bilinmeyen nicelikleri bunlardan yalnızca biri cinsinden ifade ederek çözülen, birkaç bilinmeyen niceliği içeren çözülmüş problemleri içerir. Arithmetica ayrıca kimlikleri kullanır:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(reklam+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

Hindistan

Hintli matematikçiler sayı sistemleri konusunda aktiftiler. Bilinen en eski Hint matematik belgeleri, MÖ 1. binyılın ortalarına (MÖ 6. yy civarında) tarihlenmektedir.

Hint matematiğinde tekrar eden temalar, diğerlerinin yanı sıra, belirli ve belirsiz lineer ve ikinci dereceden denklemler, basit ölçülendirme ve Pisagor üçlüleridir.

Aryabhata

Aryabhata (476-550), Aryabhatiya'yı yazan Hintli bir matematikçiydi . İçinde kuralları verdi,

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \ fazla 6}}$

ve

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Brahma Shuta Siddhanta

Brahmagupta (fl. 628), Brahma Sphuta Siddhanta'yı yazan Hintli bir matematikçiydi . Brahmagupta, çalışmasında hem pozitif hem de negatif kökler için genel ikinci dereceden denklemi çözer. Belirsiz analizde Brahmagupta, Pisagor üçlülerini verir, ancak bu, Brahmagupta'nın aşina olduğu eski bir Babil kuralının değiştirilmiş bir şeklidir. O doğrusal Diofant denkleme genel bir çözüm vermek için ilk ve olan tamsayılar . Belirsiz bir denkleme yalnızca bir çözüm veren Diophantus'un aksine, Brahmagupta tüm tamsayılı çözümleri verdi ; ancak Brahmagupta'nın Diophantus ile aynı örneklerden bazılarını kullanması, bazı tarihçilerin Brahmagupta'nın eseri üzerinde bir Yunan etkisinin veya en azından ortak bir Babil kaynağının olasılığını düşünmelerine yol açmıştır. ${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\sağ),}$${\displaystyle balta+by=c,}$${\görüntüleme stili a,b,}$${\görüntüleme stili c}$

Diophantus'un cebiri gibi, Brahmagupta'nın cebiri de senkoplanmıştır. Toplama, sayıları yan yana koyarak, çıkarma, çıkarılanın üzerine bir nokta koyarak ve bölme, modern gösterimimize benzer şekilde, ancak çubuk olmadan bölenin altına yerleştirerek gösterildi. Çarpma, evrim ve bilinmeyen nicelikler, uygun terimlerin kısaltmalarıyla temsil edildi. Eğer varsa, bu senkop üzerindeki Yunan etkisinin kapsamı bilinmemektedir ve hem Yunan hem de Hint senkopunun ortak bir Babil kaynağından türetilmiş olması mümkündür.

Bhaskara II

Bhāskara II (1114 – c. 1185), 12. yüzyılın önde gelen matematikçisiydi. Cebirde Pell denkleminin genel çözümünü verdi . Belirli ve belirsiz doğrusal ve ikinci dereceden denklemler ve Pisagor üçlüleri ile ilgili problemleri içeren Lilavati ve Vija- Ganita'nın yazarıdır ve kesin ve yaklaşık ifadeleri ayırt edemez . Lilavati ve Vija- Ganita'daki sorunların çoğu, diğer Hindu kaynaklarından türetilmiştir ve bu nedenle Bhaskara, belirsiz analizlerle uğraşmada en iyisidir.

Bhaskara, bilinmeyen değişkenlerin sembolleri olarak renk adlarının ilk sembollerini kullanır. Örneğin, bugün ne yazacaktık?

${\ Displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Bhaskara şöyle yazardı

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

burada ya siyah kelimesinin ilk hecesini gösterir ve ru tür kelimesinden alınır . Sayıların üzerindeki noktalar çıkarma işlemini gösterir.

İslam dünyası

Araplar, yeni fethedilen imparatorlukları ile henüz herhangi bir entelektüel dürtü kazanmadıklarından ve dünyanın diğer bölgelerindeki araştırmalar solduğundan, İslam Arap İmparatorluğu'nun ilk yüzyılı neredeyse hiçbir bilimsel veya matematiksel başarı görmedi. 8. yüzyılın ikinci yarısında İslam'da kültürel bir uyanış yaşanmış, matematik ve bilimlerdeki araştırmalar artmıştır. Müslüman Abbasi halifesi el- Mamun'un (809-833), Aristoteles'in kendisine göründüğü bir rüya gördüğü söylenir ve sonuç olarak el-Memun, Batlamyus'un Almagest ve Öklid'in Elemanları . İki imparatorluk arasında huzursuz bir barış olduğu için , Bizans İmparatorluğu tarafından antlaşmalar karşılığında Müslümanlara Yunan eserleri verilecekti . Bu Yunanca eserlerin çoğu , Öklid, Arşimet, Apollonius, Ptolemy ve Eutocius tarafından yazılan kitapları çeviren Sabit ibn Kurra (826-901) tarafından çevrildi.

Arap matematikçiler cebiri bağımsız bir disiplin olarak kurdular ve ona "cebir" ( el-cebr ) adını verdiler . Cebiri temel bir biçimde ve kendi iyiliği için ilk öğreten onlardı . Arap Cebirinin kökenleri hakkında üç teori vardır. Birincisi Hindu etkisini, ikincisi Mezopotamya veya Pers-Süryani etkisini ve üçüncüsü Yunan etkisini vurgular. Birçok bilim adamı, bunun üç kaynağın bir kombinasyonunun sonucu olduğuna inanıyor.

Araplar, iktidarda oldukları süre boyunca, çoğu zaman sayıların bile kelimelerle yazıldığı tamamen retorik bir cebir kullandılar. Araplar sonunda hecelenmiş sayıları (örneğin yirmi iki) Arap rakamlarıyla (örneğin 22) değiştireceklerdi, ancak Araplar , bir sembolik cebir geliştiren İbnü'l-Benna'nın çalışmasına kadar senkoplanmış veya sembolik bir cebir benimsemediler veya geliştirmediler . 13. yüzyılda, bunu 15. yüzyılda Abū al-Hasan ibn Ali al-Qalasādi takip etti .

el-cebr ve'l mukabele

Müslüman Pers matematikçi Hârizmî "bir öğretim üyesi oldu Bilgelik Evi " ( Beyt-ül Hikmetin Al-Memun tarafından kurulmuştur Bağdat'ta). MS 850 civarında ölen Al- Khwarizmi , bazıları Hint Sindhind'ine dayanan yarım düzineden fazla matematiksel ve astronomik eser yazdı . El-Harezmi'nin en ünlü kitaplarından biri olan Al-jabr wa'l muqabalah veya Tamamlama ve Dengeleme Yoluyla Hesaplama Üzerine Kısa Kitaptır ve ikinci dereceye kadar polinomları çözmenin kapsamlı bir hesabını verir . Kitap ayrıca , çıkarılan terimlerin bir denklemin diğer tarafına aktarılmasına, yani denklemin karşı taraflarındaki benzer terimlerin iptaline atıfta bulunarak temel " indirgeme " ve "dengeleme" kavramlarını da tanıttı . Bu, Harezmi'nin başlangıçta el-cebr olarak tanımladığı operasyondur . "Cebir" adı , kitabının başlığındaki " el-cebr " den gelmektedir .

R. Rashed ve Angela Armstrong şöyle yazıyor:

"Harizmi metin sadece farklı olması görülebilir Babil tabletleri , aynı zamanda gelen Diophantus ' Arithmetica Artık sorunların üzerine bir dizi. Problemlere çözülecek ama bir fuar olan ilkel şartları ile başlar hangi kombinasyonların zorunluluk içinde Denklemler için, bundan böyle açıkça çalışmanın gerçek nesnesini oluşturan tüm olası prototipleri verir.Öte yandan, kendi iyiliği için bir denklem fikri en baştan ortaya çıkar ve denebilir ki, genel bir tarzda, öyle olduğu kadarıyla, ortaya çıkar. sadece bir problem çözme sürecinde ortaya çıkmaz, özellikle sonsuz bir problem sınıfını tanımlamaya çağrılır."

Al-Jabr , her biri farklı bir formül türüyle ilgilenen altı bölüme ayrılmıştır. El-Cebr'in ilk bölümü , kareleri köklerine eşit olan denklemlerle , ikinci bölüm, sayıya eşit karelerle , üçüncü bölüm, bir sayıya eşit köklerle , dördüncü bölüm, kareler ve bir sayıya eşit köklerle ilgilidir , beşinci bölüm, kareler ve sayı eşittir kökler ve altıncı ve son bölüm, kökler ve karelere eşit sayılarla ilgilidir.${\displaystyle \sol(balta^{2}=bx\sağ),}$${\displaystyle \sol(balta^{2}=c\sağ),}$${\görüntüleme stili \sol(bx=c\sağ),}$${\displaystyle \sol(balta^{2}+bx=c\sağ),}$${\displaystyle \sol(balta^{2}+c=bx\sağ),}$${\displaystyle \sol(bx+c=ax^{2}\sağ).}$

In Al-Jabr'ı hedefleyen , el-Khwarizmi o kök tanımıyor, geometrik deliller kullanır ve sadece olumlu kökleri ile ilgilenir. Ayrıca, diskriminantın pozitif olması gerektiğinin farkındadır ve işlemi doğrulamasa da kareyi tamamlama yöntemini tanımlamıştır . Yunan etkisi, Al-Jabr'ın geometrik temelleri ve Heron'dan alınan bir problem ile gösterilir. Harfli diyagramlardan yararlanır, ancak geometrik olarak ifade edebileceğini parametrelerle ifade etmenin bir yolu olmadığı için tüm denklemlerindeki tüm katsayılar belirli sayılardır; yöntemin genelliği amaçlanmış olsa da. ${\görüntüleme stili x=0,}$

El-Khwarizmi , Araplar tarafından 10. yüzyıldan bir süre önce tanınan Diophantus'un Arithmetica'sını büyük olasılıkla bilmiyordu . Ve el-Khwarizmi, Brahmagupta'nın çalışmalarını büyük olasılıkla biliyor olsa da, El-Jabr , sayıları kelimelerle bile heceleyerek tamamen retoriktir. Yani, örneğin, ne olarak yazacağız

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Diophantus şöyle yazardı:

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

Ve el-Khwarizmi şöyle yazardı:

Otuz dokuz dirheme eşit miktarda bir kare ve on kök ; yani, kendi köklerinden on tanesi artırıldığında otuz dokuza ulaşan kare ne olmalıdır?

Karışık Denklemlerde Mantıksal Gereklilikler

Abd el-Hamid ibn Turk bir el yazması başlıklı kaleme Karışık Denklemlerde Mantıksal İhtiyaçları el-Khwarzimi en çok benzerdir, El-Jabr'ı hedefleyen ve aynı zamanda etrafında yayınlandı, hatta belki daha erken, daha Al-Jabr'ı hedefleyen . El yazması, Al-Jabr'da bulunanla tam olarak aynı geometrik gösterimi verir ve bir durumda Al-Jabr'de bulunanla aynı örneği verir ve hatta , eğer diskriminant negatif ise, o zaman o zaman geometrik bir kanıt vererek Al-Jabr'ın ötesine geçer . ikinci dereceden denklemin çözümü yoktur. Bu iki eser arasındaki benzerlik, bazı tarihçilerin Arap cebirinin Harezmi ve Abdülhamid zamanında iyi geliştirilmiş olabileceği sonucuna varmalarına yol açmıştır.

Ebu Kamil ve El Kerhi

Arap matematikçiler irrasyonel sayıları cebirsel nesneler olarak ele aldılar . Mısırlı matematikçi Ebu Kamil Shuja ibn Aslam (c. 850-930) (genellikle şeklinde irrasyonel sayılar kabul ilk kez karekökü , küp kök veya dördüncü kök kuadratik denklemlerin çözümleri gibi) ya da katsayıları bir denklemde. Aynı zamanda, üç bilinmeyen değişkenli üç doğrusal olmayan eşzamanlı denklemi çözen ilk kişiydi .

Al-Karaji olarak da bilinen Al-Karkhi (953-1029), Abū al-Wafā' al-Būzjānī'nin (940–998) halefiydi ve Al-Karkhi formundaki denklemlerin ilk sayısal çözümünü keşfetti. pozitif kökler. El-Karkhi aynı zamanda cebiri geometrik işlemlerden kurtaran ve yerine bugün cebirin merkezinde yer alan aritmetik işlem türlerini koyan ilk kişi olarak kabul edilir . Cebir ve polinomlar üzerine yaptığı çalışma, polinomları manipüle etmek için aritmetik işlemlerin kurallarını verdi. Matematik tarihçisi F. Woepcke, Extrait du Fakhri, Traité d'algebre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi ( Paris , 1853), "cebirsel hesap teorisini ortaya ilk kim" olduğu gerekçesiyle El-Kerecî övdü. Bundan yola çıkarak, Al-Karaji binom katsayılarını ve Pascal üçgenini araştırdı . ${\displaystyle balta^{2n}+bx^{n}=c.}$

Ömer Hayyam, Sharaf al-Dīn ve al-Kashi

Omar Khayyám (c. 1050 – 1123), Cebir üzerine Al-Jabr'ın ötesine geçen ve üçüncü dereceden denklemleri içeren bir kitap yazdı . Omar Khayyám ikinci dereceden denklemler için hem aritmetik hem de geometrik çözümler sağladı, ancak yanlışlıkla aritmetik çözümlerin imkansız olduğuna inandığı için genel kübik denklemler için sadece geometrik çözümler verdi . Kesişen konikleri kullanarak kübik denklemleri çözme yöntemi Menaechmus , Arşimet ve İbn el-Haytham (Alhazen) tarafından kullanılmıştı , ancak Omar Khayyam yöntemi pozitif köklerle tüm kübik denklemleri kapsayacak şekilde genelleştirdi. Sadece pozitif kökleri düşündü ve üçüncü dereceyi geçmedi. Ayrıca geometri ve cebir arasında güçlü bir ilişki gördü.

12. yüzyılda, Sharaf al-Dīn et- Tūsī (1135–1213) , pozitif çözümleri olan sekiz tür kübik denklemi ve pozitif çözümlere sahip olmayan beş tür kübik denklemi ele alan Al-Mu'adalat'ı ( Denklemler Üzerine İnceleme ) yazdı. olumlu çözümler var. Daha sonra " Ruffini - Horner yöntemi" olarak bilinecek olanı , bir kübik denklemin kökünü sayısal olarak yaklaşık olarak hesaplamak için kullandı. Ayrıca pozitif çözümleri olmayan kübik denklemleri çözmek için eğrilerin maksimum ve minimum kavramlarını geliştirdi . Kübik denklemin diskriminantının önemini anladı ve belirli türdeki kübik denklemlere cebirsel çözümler bulmak için Cardano formülünün erken bir versiyonunu kullandı . Roshdi Rashed gibi bazı akademisyenler, Sharaf al-Din'in kübik polinomların türevini keşfettiğini ve önemini fark ettiğini, diğer bilim adamları ise çözümünü Öklid ve Arşimet'in fikirlerine bağladığını iddia ediyor .

Sharaf al-Din ayrıca bir fonksiyon kavramını geliştirdi . Örneğin denklem analizinde , denklemin biçimini olarak değiştirerek başlar . Ardından denklemin çözümü olup olmadığı sorusunun sol taraftaki “fonksiyonun” değerine ulaşıp ulaşmadığına bağlı olduğunu belirtiyor . Bunu belirlemek için fonksiyon için bir maksimum değer bulur. Fonksiyonel değeri veren maksimum değerin ne zaman oluştuğunu ispatlar . Sharaf al-Din daha sonra bu değerin 'den küçük olması durumunda olumlu bir çözüm olmadığını; eşit ise , o zaman bir çözüm vardır ; Bu daha büyük olduğu ve daha sonra iki çözelti arasında bir bulunmaktadır ve arasında bir ve . ${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$${\displaystyle x^{2}(bx)=d}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle x={\frac {2}{3}}}$${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle x={\frac {2}{3}}}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili 0}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\görüntüleme stili b}$

15. yüzyılın başlarında, Jamshīd al-Kāshī , köklerini bulmak için denklemi sayısal olarak çözmek için Newton yönteminin erken bir formunu geliştirdi . El-Kāshī de ondalık kesirler geliştirdi ve bunu kendisinin keşfettiğini iddia etti. Bununla birlikte, J. Lennart Berggrenn, ondalık kesirler ilk kez ondan beş yüzyıl önce Bağdadi matematikçi Ebu'l-Hasan el-Uqlidisi tarafından 10. yüzyılda kullanıldığı için yanıldığını belirtiyor . ${\displaystyle x^{P}-N=0}$${\görüntüleme stili N}$

El-Hassar, İbn el-Benna ve el-Kalasadi

El-Hassār , bir matematikçi Fas uzmanlaşmış İslami miras hukuk 12'nci yüzyılda, çağdaş sembolik geliştirilen matematiksel gösterim için kesirler , pay ve payda yatay bir çubuk ile ayrılır. Bu aynı kesirli gösterim, kısa bir süre sonra Fibonacci'nin 13. yüzyıldaki çalışmasında ortaya çıktı .

Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412-1486), iki yüzyıl önce İbnü'l -Benna'dan beri cebirsel bir notasyon yaratmaya yönelik ilk girişimi yapan ve kendisi böyle bir açıklamayı yapan ilk kişi olan son büyük ortaçağ Arap cebircisiydi. Antik çağda Diophantus ve Brahmagupta'dan beri girişim . Bununla birlikte, seleflerinin senkoplu notasyonları, matematiksel işlemler için sembollerden yoksundu . Al-Qalasadi "sayı yerine harfleri kullanarak" ve "matematiksel semboller olarak kısa Arapça kelimeleri veya sadece ilk harflerini kullanarak" cebirsel sembolizmin tanıtımına yönelik ilk adımları attı.

Avrupa ve Akdeniz bölgesi

Hypatia'nın ölümü, İskenderiye Kütüphanesi'nin bir matematik merkezi olarak kapandığını işaret ettiği gibi, Boethius'un ölümü de Batı Roma İmparatorluğu'nda matematiğin sonunun işaretidir . Atina'da yapılan bazı çalışmalar olmasına rağmen , 529'da Bizans imparatoru Justinianus'un pagan felsefe okullarını kapatmasıyla sona erdi . 529 yılı artık ortaçağ döneminin başlangıcı olarak kabul edilmektedir. Bilginler Batı'dan daha misafirperver Doğu'ya, özellikle de Kral Kisro'nun altında bir sığınak buldukları ve "Sürgündeki Atina Akademisi" olarak adlandırılabilecek bir yer kurdukları İran'a doğru kaçtılar . Justinianus ile yapılan bir anlaşma uyarınca, Kisra sonunda bilginleri Doğu İmparatorluğu'na geri gönderecekti . Karanlık Çağlar boyunca, Avrupa matematiği, esas olarak eski risaleler üzerine yorumlardan oluşan matematiksel araştırmalarla en dipteydi; ve bu araştırmaların çoğu Bizans İmparatorluğu merkezliydi . Ortaçağ döneminin sonuna düşüşünden olarak ayarlanır Konstantinopolis için Türkler 1453 yılında.

Geç Orta Çağ

12. yüzyıl bir testere çevirilerin sel gelen Arapça içine Latince , Avrupa matematiği diğer toprakların matematiği rakip başlamıştı ve 13. yüzyıl ile. 13. yüzyılda, Fibonacci tarafından kübik bir denklemin çözümü, Avrupa cebirinde bir canlanmanın başlangıcının temsilcisidir.

15. yüzyıldan sonra İslam dünyası gerilerken, Avrupa dünyası yükseliyordu. Ve burada cebir daha da geliştirildi.

sembolik cebir

Aritmetik işlemler için modern gösterim, 15. yüzyılın sonu ile 16. yüzyılın başı arasında Johannes Widmann ve Michael Stifel tarafından tanıtıldı . 16. yüzyılın sonunda, François Viète belirsiz veya bilinmeyen sayıları temsil etmek için şimdi değişkenler olarak adlandırılan sembolleri tanıttı . Bu, sembolik ifadelerle sanki sayılarmış gibi hesaplamadan oluşan yeni bir cebir yarattı.

Cebirin daha da geliştirilmesindeki bir diğer önemli olay, 16. yüzyılın ortalarında geliştirilen kübik ve kuartik denklemlerin genel cebirsel çözümüydü . Bir fikri belirleyici tarafından geliştirilen Japon matematikçi Kowa Seki ardından 17. yüzyılda Gottfried Leibniz kullanılarak eş zamanlı lineer denklem sistemlerinin çözümü amacıyla, on yıl sonra matrisleri . Gabriel Cramer ayrıca 18. yüzyılda matrisler ve determinantlar üzerinde bazı çalışmalar yaptı.

x sembolü

Gelenek olarak, bir cebirsel problemdeki ilk bilinmeyen değişken , günümüzde sembol ile temsil edilir ve ikinci veya üçüncü bir bilinmeyen varsa, bunlar sırasıyla ve etiketlenir . Cebir , çarpma işaretinden ayırt etmek için geleneksel olarak italik olarak yazdırılır . ${\görüntüleme stili {\mathit {x}}}$${\görüntüleme stili {\mathit {y}}}$${\görüntüleme stili {\mathit {z}}}$${\görüntüleme stili x}$

Matematik tarihçileri genellikle cebirde kullanımının René Descartes tarafından tanıtıldığı ve ilk olarak La Géométrie (1637) adlı incelemesinde yayınlandığı konusunda hemfikirdir . Bu eserde bilinen miktarlar için alfabenin başından, bilinmeyenler için alfabenin sonundan harfler kullanmıştır . Zamanın Fransızca ve Latince tipografik yazı tiplerinde nispeten daha fazla bolluğu nedeniyle daha sonra ilk bilinmeyen için (yerine ) yerleştiği öne sürülmüştür . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili (a,b,c,\ldots )}$${\görüntüleme stili (z,y,x,\ldots )}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili z}$

19. yüzyılda cebirin kökenine ilişkin üç alternatif teori öne sürülmüştür: (1) Alman cebirciler tarafından kullanılan ve yanlış bir el yazısı harfinden türetildiği düşünülen bir sembol ; (2) eğik üstü çizili 1 rakamı ; ve (3) Arapça/İspanyolca bir kaynak (aşağıya bakınız). Ancak İsviçreli-Amerikalı matematik tarihçisi Florian Cajori bunları inceledi ve üçünün de somut kanıtlardan yoksun olduğunu gördü ; Cajori, Descartes'ı yaratıcı olarak kabul etti ve onun ve onunkini "geleneklerden bağımsız[,] ve onların seçimi tamamen keyfi" olarak nitelendirdi. ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili r,}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x,y,}$${\görüntüleme stili z}$

Bununla birlikte, Hispano-Arap hipotezi bugün popüler kültürde varlığını sürdürmeye devam ediyor . Cebir kelimesinin Eski İspanyolca'da Arapça'dan geldiği varsayılan bir alıntının kısaltması olduğu iddiasıdır . Teori, 1884'te Alman oryantalist Paul de Lagarde ile , İspanyolca cosa'nın ("şey") Arapça karşılığı olan شىء ( shay ^ʔ ) ile eşlendiği 1505 İspanyolca/Arapça iki dilli sözlüğün baskısını yayınladıktan kısa bir süre sonra ortaya çıktı. olarak xei . ( Eski İspanyolca'daki "sh" sesi rutin olarak hecelenirdi ) Açıkça Lagarde, cebirin gelişiminin "retorik" aşamasında Arap matematikçilerin bilinmeyen miktarı temsil etmek için bu kelimeyi sıklıkla kullandıklarının farkındaydı. "Hiçbir şey daha doğal olamaz" ("Nichts war ayrıca natürlicher...") Arapça kelimenin ilk harfinin - Eski İspanyolca olarak romanlaştırılmış - cebirde kullanılmasından daha doğal olamaz . Daha sonraki bir okuyucu, Lagarde'ın varsayımını noktayı "kanıtlamış" olarak yeniden yorumladı. Lagarde, erken dönem İspanyol matematikçilerinin Arapça sözcüğün bir transkripsiyonunu değil , daha çok kendi dilleri olan "cosa"daki çevirisini kullandıklarının farkında değildi . İspanyolca'nın derlenmiş birçok tarihi sözlükte xei veya benzeri formların hiçbir örneği yoktur . ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili x.}$${\görüntüleme stili x}$

Gottfried Leibniz

Matematiksel fonksiyon kavramı, kendi zamanında var olan trigonometrik ve logaritmik tablolarda örtük olmasına rağmen , Gottfried Leibniz , 1692 ve 1694'te, bir eğriden türetilen çeşitli geometrik kavramlardan herhangi birini belirtmek için onu açıkça kullanan ilk kişiydi. apsis , ordinat , teğet , kiriş ve dik . 18. yüzyılda "fonksiyon" bu geometrik çağrışımlarını kaybetti.

Leibniz, bir lineer denklem sisteminin katsayılarının , eğer varsa sistemin çözümünü bulmak için manipüle edilebilecek , şimdi matris olarak adlandırılan bir dizi halinde düzenlenebileceğini fark etti . Bu yöntem daha sonra Gauss eleme olarak adlandırıldı . Leibniz ayrıca cebirle ilgili olan Boole cebirini ve sembolik mantığı keşfetti .

soyut cebir

Cebir yapabilme becerisi matematik eğitiminde yetiştirilen bir beceridir . Andrew Warwick'in açıkladığı gibi, 19. yüzyılın başlarında Cambridge Üniversitesi öğrencileri uzay, zaman ve ağırlık gibi fiziksel değişkenlere dayalı alıştırmalar yaparak "karma matematik" uyguladılar . Zamanla , matematiksel teknik büyüdükçe değişkenlerin fiziksel niceliklerle ilişkisi ortadan kalktı. Sonunda matematik tamamen soyut polinomlar , karmaşık sayılar , hiperkarmaşık sayılar ve diğer kavramlarla ilgilendi . Fiziksel durumlara uygulama daha sonra uygulamalı matematik veya matematiksel fizik olarak adlandırıldı ve matematik alanı soyut cebiri içerecek şekilde genişletildi . Örneğin, yapılandırılabilir sayılar konusu bazı matematiksel sınırlamalar gösterdi ve Galois teorisi alanı geliştirildi.

cebirin babası

"Cebir babası" unvanı, Carl Benjamin Boyer , Solomon Gandz ve Bartel Leendert van der Waerden gibi matematik tarihçileri tarafından desteklenen Pers matematikçi Al-Khwarizmi'ye sık sık yatırılır . Bununla birlikte, konu tartışmalıdır ve başlık bazen Helenistik matematikçi Diophantus'a atfedilir . Diophantus'u destekleyenler, Al-Jabr'da bulunan cebirin Arithmetica'da bulunan cebirden daha temel olduğuna ve Al-Jabr tamamen retorik iken Arithmetica'nın senkop olduğuna işaret ediyor. Bununla birlikte, matematik tarihçisi Kurt Vogel , matematiği eski Babillilerinkinden çok daha cebirsel olmadığı için Diophantus'un bu unvanı taşımasına karşı çıkıyor .

El-Harezmi'yi destekleyenler, onun pozitif kökleri olan ikinci dereceden denklemlerin cebirsel çözümü için kapsamlı bir açıklama yaptığına ve cebiri basit bir biçimde ve kendi iyiliği için ilk öğreten kişi olduğuna işaret ederken, Diophantus öncelikle sayılar teorisi . Harizmi da (orjinal Burada kullanılan "azaltma" ve "dengeleme" temel kavramını Al-jabr , bir denklem diğer tarafında, çıkartılır terimlerin aktarılması atıfta başvurmak için) Denklemin zıt taraflarındaki benzer terimlerin iptali. El-Harezmi'nin diğer destekçileri, onun cebirinin artık " çözülecek bir dizi sorunla değil , kombinasyonların denklemler için olası tüm prototipleri vermesi gereken ilkel terimlerle başlayan ve bundan böyle açıkça doğruyu oluşturan denklemler için ilkel terimlerle başlayan bir açıklamayla " ilgilendiğine işaret ediyor. çalışma nesnesi." Ayrıca, onun bir denklemi kendi iyiliği için ve "bir problemin çözümü sırasında ortaya çıkmadığı, özellikle sonsuz bir problem sınıfını tanımlamaya çağrıldığı sürece, genel bir tarzda" ele alışına da işaret ederler. Victor J. Katz , Al-Jabr'ı hala geçerli olan ilk gerçek cebir metni olarak görüyor .

Ayrıca bakınız

• El-Mansur  – İkinci Abbasi halifesi (h. 754–775)
• Cebir Zaman Çizelgesi  - Cebir tarihindeki önemli olaylar

Referanslar

Kaynaklar

• Alcalá, Pedro de (1505), De lingua Arabica , Granada (Paul de Lagarde tarafından basım, Göttingen: Arnold Hoyer, 1883)CS1 bakımı: konum ( bağlantı )
• Alonso, Martín (1986), Diccionario del español ortaçağ , Salamanca: Universidad Pontificia de Salamanca
• Aurel, Marco (1552), Libro primero de aritmetica algebratica , Valencia: Joan de Mey
• Bashmakova, I ve Smirnova, G. (2000) Cebirin Başlangıçları ve Evrimi , Dolciani Matematiksel Açıklamalar 23. Çeviren Abe Shenitzer. Amerika Matematik Derneği.
• Boyer, Carl B. (1991), Matematik Tarihi (İkinci baskı), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Burton, David M. (1995), Burton's History of Mathematics: An Introduction (3. baskı), Dubuque: Wm. C.Kahverengi
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An Introduction (Üçüncü baskı), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Cajori, Florian (1919), "Nasıl x, Bilinmeyen Miktar için Durur " , School Science and Mathematics , 19 (8): 698–699, doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Cajori, Florian (1928), Matematiksel Gösterimlerin Tarihi , Chicago: Açık Mahkeme Yayıncılığı, ISBN 9780486161167
• Cooke, Roger (1997), Matematik Tarihi: Kısa Bir Kurs , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Derbyshire, John (2006), Bilinmeyen Miktar: Cebirin Gerçek ve Hayali Tarihi , Washington, DC: Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-09657-7
• Descartes, René (1637), La Géométrie , Leyde: Ian Maire. Çevrimiçi 2008 ed. L. Hermann, Gutenberg Projesi.
• Descartes, René (1925), René Descartes'ın Geometrisi , Chicago: Açık Mahkeme, ISBN 9781602066922
• Díez, Juan (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los renos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al aritmetica , Mexico City
• Eneström, Gustaf (1905), "Kleine Mitteilungen" , Bibliotheca Mathematica , Ser. 3, 6 (yalnızca ABD'de çevrimiçi erişim)
• Flegg, Graham (1983), Sayılar: Tarihleri ​​ve Anlamları , Dover yayınları, ISBN 978-0-486-42165-0
• Heath, Thomas Little (1981a), Yunan Matematiğinin Tarihi, Cilt I , Dover yayınları, ISBN 978-0-486-24073-2
• Heath, Thomas Little (1981b), Yunan Matematiğinin Tarihi, Cilt II , Dover yayınları, ISBN 978-0-486-24074-9
• Jacob, Georg (1903), "Occident'te Kültürün Doğulu Unsurları" , Smithsonian Enstitüsü Mütevelli Heyeti Yıllık Raporu [...] 30 Haziran 1902'de Sona Eren Yıl için : 509–529
• Kasten, Lloyd A .; Cody, Florian J. (2001), Ortaçağ İspanyolcasının Geçici Sözlüğü (2. baskı), New York: Ortaçağ Araştırmaları Hispanik Semineri
• Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014), Bilinmeyeni Evcilleştirmek: Antik Çağdan Yirminci Yüzyıl Başına Cebir Tarihi , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Lagarde, Paul de (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?" , Mittheilungen , 1 , Göttingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, s. 134–137
• Nunes, Pedro (1567), Libro de cebir en aritmetik ve geometri , Anvers: Arnoldo Birckman
• Oelschläger, Victor RB (1940), Bir Ortaçağ İspanyol Kelime Listesi , Madison: University of Wisconsin Press
• Ortega, Juan de (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria , Granada: René Rabut
• Pérez de Moya, Juan (1562), Aritmetica practica y especulativa , Salamanca: Mathias Gast
• Puig, Andrés (1672), Arithmetica especulativa ypractica; y arte de cebir , Barselona: Antonio Lacavalleria
• Rider, Robin E. (1982), Erken Modern Cebir Bibliyografyası, 1500-1800 , Berkeley: Bilim Tarihinde Berkeley Kağıtları
• Sesiano, Jacques (1999), Cebir Tarihine Giriş: Mezopotamya Zamanlarından Rönesans'a Denklemlerin Çözülmesi , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 9780821844731
• Stillwell, John (2004), Matematik ve Tarihi (İkinci baskı), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Swetz, Frank J. (2013), Avrupa Matematiksel Uyanış: Matematik Tarihinde Bir Yolculuk, 1000-1800 (2. baskı), Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Tropfke, Johannes (1902), Systematischer Darstellung'da Geschichte der Elementar-Mathematik , 1 , Leipzig: Von Veit & Comp.

Dış bağlantılar

• "İslam'ın Şeyh Zakariyya al-Ansari'nin İbnü'l-Hā'im'in Cebir Bilimi ve Dengeleme Üzerine Şiiri Üzerine Yorumu, Yaratıcının İkna Edici Açıklamasında Epifani Olarak Adlandırıldı" , World Digital'den 15. yüzyıla kadar uzanan cebir temel kavramlarını içeriyor Kitaplık .