Gelfond–Schneider teoremi - Gelfond–Schneider theorem

In matematik , Gelfond-Schneider teoremi kurar aşkınlığını numaraları büyük sınıfının.

Tarih

İlk olarak 1934'te Aleksandr Gelfond ve Theodor Schneider tarafından bağımsız olarak kanıtlandı .

Beyan

Eğer bir ve b olan cebirsel sayılar ile bir  ≠ 0, 1 ve b akıldışı , daha sonra herhangi bir değer , bir ^b a, aşkın sayı .

Yorumlar

• a ve b'nin değerleri gerçek sayılarla sınırlı değildir ; karmaşık sayılara izin verilir (burada karmaşık sayılar, hem gerçek hem de sanal kısımlar rasyonel olsa bile, 0'a eşit olmayan bir sanal kısma sahip olduklarında rasyonel olarak kabul edilmez).

• Genel olarak, a ^b = exp( b ln a ) çok değerlidir , burada ln doğal logaritmayı temsil eder . Bu, teoremin ifadesindeki "herhangi bir değer" ifadesini açıklar.

• Teoremin eşdeğer bir formülasyonu şudur: α ve γ sıfır olmayan cebirsel sayılarsa ve α'nın sıfır olmayan herhangi bir logaritmasını alırsak , (log γ )/(log α ) ya rasyoneldir ya da aşkındır. Bu ise söyleyerek olarak ifade edilebilir günlük α , log γ olan lineer bağımsız sonra cebirsel sayılar doğrusal olarak bağımsız, rasyonel üzerinde. Bu ifadenin birkaç cebirsel sayının logaritmasında daha genel lineer formlara genelleştirilmesi aşkın sayılar teorisi alanındadır .

• a ve b'nin cebirsel olması kısıtlaması kaldırılırsa, ifade genel olarak doğru kalmaz. Örneğin,

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\sağ)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Burada, bir olduğunu √ 2 ^{√ 2} (teoremi kendisi tarafından kanıtlandığı gibi), daha çok cebirsel daha aşkın bir. Benzer şekilde, aşkın olan a = 3 ve b = (log 2)/(log 3) ise, o zaman a ^b = 2 cebirseldir. Bir aşkın a ^b veren a ve b değerlerinin karakterizasyonu bilinmemektedir.

• Kurt Mahler kanıtlanmıştır s -adic teoremi analog: eğer bir ve b olan Cı- _p , tamamlanma ait cebirsel kapatma bölgesinin S _p ve bunlar üzerinde cebirsel olarak Q , ve eğer ve daha sonra , burada günlük ya rasyonel ya da aşkın bir _p , p -adic logaritma işlevidir .${\displaystyle |a-1|_{p}<1}$${\displaystyle |b-1|_{p}<1,}$${\displaystyle (\log _{p}a)/(\log _{p}b)}$

doğal sonuçlar

Aşağıdaki sayıların aşkınlığı teoremden hemen çıkar:

• Gelfond-Schneider sabiti ve karekökü${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• Gelfond sabiti ${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\sağ)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }$
• ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\sağ)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}} =0.207879576\ldot }$

Uygulamalar

Gelfond-Schneider teoremi Hilbert'in yedinci problemine olumlu yanıt verir .

Ayrıca bakınız

• Lindemann-Weierstrass teoremi
• Baker teoremi ; sonucun bir uzantısı
• Schanuel'in varsayımı ; kanıtlanırsa, hem Gelfond-Schneider teoremini hem de Lindemann-Weierstrass teoremini ima edecektir.

Referanslar

daha fazla okuma

• Baker, Alan (1975), Aşkın sayılar teorisi , Cambridge University Press , s. 10, ISBN'si 978-0-521-20461-3, Zbl  0297.10013
• Feldman, NI; Nesterenko, Yu. V. (1998), Aşkın sayılar , Matematik bilimleri ansiklopedisi, 44 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-61467-2, MR  1603604
• Gel'fond, AO (1960) [1952], Transandantal ve cebirsel sayılar , Dover Phoenix sürümleri, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, MR  0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Sayı Teorisi Konuları, Cilt I ve II . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-42539-9.
• Niven, İvan (1956). İrrasyonel Sayılar . Amerika Matematik Derneği. ISBN'si 0-88385-011-7.
• Weisstein, Eric W. "Gelfond-Schneider Teoremi" . Matematik Dünyası .

Dış bağlantılar

• Gelfond-Schneider teoreminin bir kanıtı