Gauss ışını - Gaussian beam

Odağı çevresinde bir simüle edilmiş Gauss ışın yoğunluğu bir zaman anında gösteren iki her biri için yoğunluk pikleri dalga cephesinin .

Üst: sayfanın dışına yayılan bir Gauss ışınının enine yoğunluk profili. Mavi eğri: ışın ekseninden radyal konuma karşı elektrik (veya manyetik) alan genliği. Siyah eğri, karşılık gelen yoğunluktur.

TEM ₀₀ profilini gösteren 5 mW yeşil lazer işaretçi ışını profili.

Olarak optik bir Gauss kiriş a, kiriş arasında elektromanyetik radyasyon genlik zarf enine düzleminde bir tarafından verilen yüksek monochromaticity ile Gauss fonksiyonu ; bu aynı zamanda bir Gauss yoğunluğu (ışıma) profilini de ifade eder . Bu temel (veya TEM ₀₀ ) enine Gauss modu, böyle bir ışın en yoğun noktaya odaklanabileceğinden, çoğu (ancak tümü değil) lazerin amaçlanan çıktısını tanımlar. Böyle bir ışın bir mercek tarafından yeniden odaklandığında , enine faz bağımlılığı değişir; bu, farklı bir Gauss ışını ile sonuçlanır . Bu tür herhangi bir dairesel Gauss ışını boyunca elektrik ve manyetik alan genlik profilleri (belirli bir dalga boyu ve polarizasyon için ) tek bir parametre ile belirlenir: bel w _{0 olarak} adlandırılır . Herhangi bir pozisyonda z belirtilen bir olan bir kiriş boyunca, bel (odak) nisbetle ağırlık ₀ ayrıntılı olarak, alan genlik ve faz bu şekilde tespit edilir , aşağıdaki .

Aşağıdaki denklemler, tüm z değerlerinde dairesel kesitli bir kiriş varsaymaktadır ; bu, tek bir enine boyutun, r , göründüğüne dikkat edilerek görülebilir . Eliptik kesitli veya iki enine boyut için ( astigmatik kirişler) z'de farklı konumlarda belleri olan kirişler de Gauss kirişleri olarak tanımlanabilir, ancak iki çapraz için w ₀ ve z = 0 konumunun farklı değerleri ile boyutlar x ve y .

Keyfi çözeltileri paraksiyal Helmholtz denklemi kombinasyonları olarak ifade edilebilir Hermite-Gauss modları (genliği profilleri ayrılabilir x ve y ile Kartezyen koordinatları ) ya da benzer kombinasyonları gibi Laguerre Gauss modları genlik profilleri ayrılabilir ( r ve İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin silindirik koordinatlar kullanarak ). Işın z boyunca herhangi bir noktada bu modlar, belirtilen mod için ek geometrik faktörleri çarparak temel Gauss moduyla aynı Gauss faktörünü içerir. Bununla birlikte, farklı modlar farklı bir Gouy fazı ile yayılır, bu nedenle modların üst üste gelmesinden kaynaklanan net enine profil z'de gelişir , oysa herhangi bir tek Hermite-Gauss (veya Laguerre-Gauss) modunun yayılması bir ışın boyunca aynı formu korur.

Başka olası modal ayrışmalar olmasına rağmen , bu çözüm aileleri, optik gücün bir eksen boyunca oldukça sıkı bir şekilde sınırlandırıldığı kompakt kirişleri içeren problemler için en kullanışlı olanlardır. Bir lazer olduğunda bile değil temel Gauss modunda çalışırken, güç genellikle, yüksek sıralı modlarının uzaysal boyutunu bir lazerin sınırlarını aşmasına eğiliminde olacaktır, bu ayrışmaları kullanılarak en düşük sıra modları arasında bulunacaktır rezonatörün (kavite) . "Gauss ışını" normalde temel (TEM ₀₀ ) Gauss moduyla sınırlı radyasyonu ifade eder .

matematiksel form

w ₀ = 2 λ ile Gauss kiriş profili .

Gauss ışını enine bir elektromanyetik (TEM) modudur . Elektrik alan genliği için matematiksel ifade, paralel Helmholtz denkleminin bir çözümüdür . x yönünde polarizasyon ve + z yönünde yayılım olduğu varsayıldığında , fazör (karmaşık) notasyonundaki elektrik alanı şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)} }\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac { r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\sağ)\!\sağ)}$

nerede

r , kirişin merkez ekseninden radyal mesafedir,

z , ışının odağından (veya "bel") eksenel mesafedir,

i olan sanal birim ,

k = 2 πn / λ ,bir serbest uzay dalga boyu λ için dalga sayısıdır (metre başına radyan cinsinden )ve n , ışının yayıldığı ortamın kırılma indisidir,

E ₀ = E (0, 0) , orijindeki elektrik alan genliği (ve fazı) ( r = 0, z = 0),

w ( z ) alan amplitüdleri düşer hangi yarıçapıdır 1 / e , eksenel değerlerinin (yani, yoğunluk değerleri düşer burada 1 / e ² , eksenel değerleri) düzlemde, z kiriş boyunca,

w ₀ = ağırlık (0) olduğu bel yarıçapı ,

R ( z ) bir eğrilik yarıçapı ışınının bir dalga cephelerinin de z ve

ψ ( z ) olduğu Gouy faz olarak z , atfedilenden ötesinde ekstra faz terimi, faz hızı ışık.

Bir anlaşılacaktır zamana bağlılık vardır e ^iωt gibi çarparak fazör miktarları; zaman ve uzayda bir noktadaki gerçek alan, bu karmaşık miktarın gerçek kısmı tarafından verilir .

Bu çözüm, eksen dışı yaklaşıma dayandığından, çok güçlü bir şekilde uzaklaşan kirişler için doğru değildir. Yukarıdaki form, w ₀ ≫ λ / n olduğu çoğu pratik durumda geçerlidir .

Karşılık gelen yoğunluk (veya ışınım ) dağılımı şu şekilde verilir:

${\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z) )}}\sağ)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\sağ),}$

burada sabit η , ışının yayıldığı ortamın dalga empedansıdır . Boş alan için, η = η ₀ ≈ 377 Ω. ben ₀ = | E ₀ | ² /2 η da belden ışının merkezinde yoğunluğudur.

Eğer p ₀ kirişin toplam gücü,

${\displaystyle I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.}$

gelişen ışın genişliği

Gauss fonksiyonu bir sahiptir 1 / E ² çapının ( 2 w 1.7 kere metinde kullanıldığı gibi) FWHM .

Işın boyunca bir z konumunda (odaktan ölçülür), w nokta boyutu parametresi hiperbolik bir bağıntıyla verilir :

${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\sağ)}^{2}} },}$

nerede

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$

aşağıda tartışıldığı gibi Rayleigh aralığı olarak adlandırılır ve ortamın kırılma indisidir. ${\görüntüleme stili n}$

Işının yarıçapı w ( z ) , ışın boyunca herhangi bir z konumunda, o konumdaki yoğunluk dağılımının yarı maksimumdaki (FWHM) tam genişliği ile aşağıdakilere göre ilişkilidir :

${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}}$.

Dalga cephesi eğriliği

Dalga cephelerinin eğriliği , belin her iki tarafında Rayleigh mesafesinde en büyüktür, z = ± z _R , belde sıfırı geçer. Rayleigh mesafesinin ötesinde, | z | > z _R , yine büyüklük olarak azalır, z → ±∞ olarak sıfıra yaklaşır . Eğrilik genellikle karşılıklı, R , eğrilik yarıçapı cinsinden ifade edilir ; Temel bir Gauss ışını için z konumundaki eğrilik şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$

böylece kavis yarıçapı R ( z ) bir

${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\sağ)}^{2}}\sağ].}$

Eğriliğin tersi olduğu için eğrilik yarıçapı işareti ters çevirir ve eğriliğin sıfırdan geçtiği kiriş belinde sonsuzdur.

Gouy evresi

Gouy fazı yavaş yavaş fokal bölgenin etrafında bir kiriş tarafından alınan bir faz ilerlemedir. z konumunda temel bir Gauss ışınının Gouy fazı şu şekilde verilir:

${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\sağ).}$

Gouy aşaması.

Gouy fazı, bele yakın görünen dalga boyunda bir artışla sonuçlanır ( z ≈ 0 ). Böylece o bölgedeki faz hızı resmen ışık hızını aşıyor. Bu paradoksal davranış , büyük sayısal açıklığa sahip bir ışın durumu dışında, ışığın faz hızından (tam olarak bir düzlem dalgaya uygulanacağı gibi) sapmanın çok küçük olduğu bir yakın alan fenomeni olarak anlaşılmalıdır . dalga cephelerinin eğriliği (önceki bölüme bakın), tek bir dalga boyunun mesafesi boyunca önemli ölçüde değişir. Her durumda dalga denklemi her pozisyonda sağlanır.

Temel bir Gauss ışını için, Gouy fazı , belin bir tarafındaki uzak alandan uzaktaki alana doğru hareket ettikçe , ışığın hızına göre π radyan (dolayısıyla bir faz değişimi) olan net bir faz farkıyla sonuçlanır . diğer taraf. Bu faz değişimi çoğu deneyde gözlemlenebilir değildir. Bununla birlikte, teorik öneme sahiptir ve daha yüksek dereceli Gauss modları için daha geniş bir aralık alır .

Eliptik ve astigmatik kirişler

Birçok lazer ışını eliptik bir enine kesite sahiptir. Aynı zamanda, astigmatik kirişler olarak adlandırılan iki enine boyut için farklı olan bel pozisyonlarına sahip kirişler de yaygındır. Bu kirişler, yukarıdaki iki evrim denklemi kullanılarak, ancak x ve y için her parametrenin farklı değerleri ve z = 0 noktasının farklı tanımları ile ele alınabilir . Gouy fazı, her boyutun katkıda bulunduğu ± π /4 aralığında bir Gouy fazı ile her boyuttan katkının toplanmasıyla doğru olarak hesaplanan tek bir değerdir .

Eliptik bir ışın, uzak alandan bele doğru yayılırken eliptiklik oranını tersine çevirecektir. Belden uzakta daha büyük olan boyut, bele yakın daha küçük olacaktır.

Işın parametreleri

Gaussian demetinin alanlarının geometrik bağımlılığı, ışığın dalga boyu ile yönetilir N- ( içinde boş alan ise, dielektrik ortam) ve aşağıdaki ışın parametreleri bağlı her biri, aşağıdaki bölümlerde ayrıntılı olarak.

Kiriş bel

Bir hiperbol oluşturan kiriş boyunca z mesafesinin bir fonksiyonu olarak Gauss ışın genişliği w ( z ) . w ₀ : kiriş bel; b : odak derinliği; z _R : Rayleigh aralığı ; Θ : toplam açısal yayılma

Belirli bir dalga boyunda λ olan bir Gauss huzmesinin şekli yalnızca bir parametre tarafından yönetilir, huzme bel w ₀ . Bu, ışın genişliğinin w ( z ) (yukarıda tanımlandığı gibi) en küçük olduğu (ve aynı şekilde eksen üzerindeki yoğunluğun ( r ) en küçük olduğu odak noktasında ( yukarıdaki denklemlerde z = 0 ) ışın boyutunun bir ölçüsüdür. = 0 ) en büyüğüdür). Bu parametreden kiriş geometrisini tanımlayan diğer parametreler belirlenir. Bu, aşağıda ayrıntıları verilen Rayleigh aralığı z _R ve asimptotik ışın sapması θ içerir .

Rayleigh aralığı ve konfokal parametre

Rayleigh mesafe ya da Rayleigh aralığı z _R, bir Gauss ışının bel boyutu göz önüne alındığında belirlenir:

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$

Burada λ ışığın dalga boyu, n ise kırılma indisidir. Belden Rayleigh aralığı z _{R '} ye eşit bir mesafede , ışının genişliği w , w = w ₀ , ışın beli olan odakta olduğundan √ 2 daha büyüktür . Bu aynı zamanda eksen üzerindeki ( r = 0 ) yoğunluğunun tepe yoğunluğunun ( z = 0'da ) bir yarısı olduğu anlamına gelir . Işın boyunca bu nokta aynı zamanda dalga cephesi eğriliğinin ( 1/ R ) en büyük olduğu yerdir .

İki nokta arasındaki z = ± z _R mesafesine , ışının konfokal parametresi veya odak derinliği denir .

Işın sapması

Bir Gauss fonksiyonunun kuyrukları gerçekte hiçbir zaman sıfıra ulaşmasa da, aşağıdaki tartışmanın amaçları için bir kirişin "kenarı", r = w ( z ) olduğunda yarıçap olarak kabul edilir . Yoğunluk düşmüştür Yani burada 1 / e ² kendi eksen üzerinde değer. Şimdi, için z » z _R parametresi ağırlık ( z ) ile doğrusal olarak artar z . Bu, belden uzakta, kirişin "kenarının" (yukarıdaki anlamda) koni şeklinde olduğu anlamına gelir. Bu koni ( r = w ( z ) olan ) ile ışın ekseni ( r = 0 ) arasındaki açı , ışının diverjansını tanımlar :

${\displaystyle \theta =\lim _{z\rightarrow \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\sağ).}$

Paraksiyal durumda, düşündüğümüz gibi, θ (radyan cinsinden) yaklaşık olarak

${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$

burada n , ışının içinden yayıldığı ortamın kırılma indisi ve λ , serbest uzay dalga boyudur. Uzaklaşan ışının toplam açısal yayılımı veya yukarıda açıklanan koninin tepe açısı , daha sonra şu şekilde verilir:

${\görüntüleme stili \Teta =2\teta\ .}$

Bu koni daha sonra Gauss ışınının toplam gücünün %86'sını içerir.

Sapma, nokta boyutuyla ters orantılı olduğundan, belirli bir dalga boyu λ için , küçük bir noktaya odaklanan bir Gauss demeti, odaktan uzaklaştıkça hızla uzaklaşır. Tersine, bir lazer ışınının uzak alandaki sapmasını en aza indirmek (ve büyük mesafelerde tepe yoğunluğunu artırmak ) için, belinde geniş bir kesite ( w ₀ ) sahip olmalıdır (ve bu nedenle, fırlatıldığı yerde büyük bir çapa sahip olmalıdır, çünkü ağırlık ( z ) hiç az olan ağırlık ₀ ). Işın genişliği ve sapma arasındaki bu ilişki, kırınım ve Fraunhofer kırınımını tanımlayan Fourier dönüşümünün temel bir özelliğidir . Belirtilen herhangi bir genlik profiline sahip bir ışın da bu ters ilişkiye uyar, ancak temel Gauss modu, odaktaki ışın boyutunun çarpımının ve uzak alan sapmasının diğer herhangi bir durumdan daha küçük olduğu özel bir durumdur.

Gauss kiriş modeli eksen dışı yaklaşımı kullandığından, dalga cepheleri kiriş ekseninden yaklaşık 30°'den fazla eğildiğinde başarısız olur. Farklılık Yukarıdaki ifadede itibaren bu araçlar Gauss ışın modeli ile ilgili daha büyük waists ile kirişler için yalnızca doğru 2 λ / π .

Lazer ışını kalitesi , ışın parametre ürünü (BPP) ile ölçülür . Bir Gauss kirişi için BPP, kirişin diverjansı ve bel ölçüsü w _0'ın çarpımıdır . Gerçek bir kirişin BPP'si, kirişin minimum çapı ve uzak alan sapması ölçülerek ve çarpımları alınarak elde edilir. Aynı dalga boyunda bir yere Gauss demetininkinden gerçek kirişin BPP oranı olarak bilinen M ² ( " E karesi "). M ² Gauss ışını için bir tane. Tüm gerçek lazer ışınları sahip M ² çok yüksek kalitede kirişler çok yakın birine değerlere sahip olabilir, ancak birden büyük değerler.

Sayısal açıklık Gaussian kirişin olarak tanımlanır NA = N sin θ , n, bir kırılma indeksi vasıtasıyla kiriş yayılır arasında. Bu, Rayleigh aralığının sayısal açıklıkla şu şekilde ilişkili olduğu anlamına gelir:

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$

Güç ve yoğunluk

Açıklıktan güç

Bir ışın, bir merkez ile açıklık , güç p yarıçapı olan bir çember boyunca geçen r pozisyonunda enine düzleminde z olduğu

${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\sağ],}$

nerede

${\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$

ışın tarafından iletilen toplam güçtür.

Yarıçapı r = w ( z ) olan bir daire için , daire içinden iletilen gücün oranı

${\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\yaklaşık 0,865.}$

Benzer şekilde, ışın gücünün yaklaşık %90'ı r = 1.07 × w ( z ) yarıçaplı bir daireden, % 95'i r = 1.224 × w ( z ) yarıçaplı bir daireden ve % 99'u r yarıçaplı bir daireden akacaktır. = 1.52 × w ( z ) .

tepe yoğunluğu

Bir eksenel mesafe en tepe yoğunluğu z ışın bel yarıçapı bir daire içinde güç limiti olarak hesaplanabilir r dairenin alanına bölünmesi, πr ² daire büzülürken:

${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z) }\sağ]}{\pi r^{2}}}.}$

Limit, L'Hôpital kuralı kullanılarak değerlendirilebilir :

${\displaystyle I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\sol[-(-2)(2r)e^ {-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2} (z)}.}$

Karmaşık ışın parametresi

Işın boyunca z'nin bir fonksiyonu olarak bir Gauss huzmesinin nokta boyutu ve eğriliği , ayrıca şu şekilde verilen karmaşık ışın parametresi q ( z ) içinde kodlanabilir :

${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$

Bu karmaşıklığın tanıtılması, aşağıda gösterildiği gibi Gauss ışın alanı denkleminin basitleştirilmesine yol açar. q ( z )' nin tersinin, sırasıyla gerçek ve sanal kısımlarında dalga cephesi eğriliğini ve göreli eksen üzeri yoğunluğunu içerdiği görülebilir :

${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2 }}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \ üzerinde n\pi w^{2}(z)}.}$

Karmaşık ışın parametresi, Gauss ışın yayılımının matematiksel analizini ve özellikle ışın transfer matrislerini kullanan optik rezonatör boşluklarının analizini basitleştirir .

Daha sonra bu formu kullanarak, elektrik (veya manyetik) alan için önceki denklem büyük ölçüde basitleştirilir. Diyoruz ise u (elips eksenlerinin eliptik Gauss kirişin nispi alan kuvveti x ve y yön) daha sonra ayrılabilir x ve y 'e göre

${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$

nerede

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik {\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\sağ),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\sağ),\ bitiş{hizalı}}}$

burada q _x ( z ) ve q _y ( z ) x ve y yönlerindeki karmaşık kiriş parametreleridir .

Bir ortak durum için dairesel ışın profili , q _x ( Z ) = q _y ( Z ) = q ( z ) ve x ² + y ² = r ² olan verimleri,

${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\sağ) .}$

dalga denklemi

Elektromanyetik radyasyonun özel bir durumu olarak , Gauss ışınları (ve aşağıda ayrıntıları verilen daha yüksek dereceli Gauss modları), Maxwell denklemlerinin kıvrım için birleştirilmesiyle elde edilen, serbest uzayda veya homojen bir dielektrik ortamdaki bir elektromanyetik alan için dalga denkleminin çözümleridir . E ve H'nin kıvrılması , sonuç olarak:

${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$

burada c , ortamdaki ışığın hızıdır ve U , herhangi biri için herhangi bir özel çözüm diğerini belirlediğinden, elektrik veya manyetik alan vektörüne atıfta bulunabilir. Gauss demeti çözümü yalnızca eksenel yaklaşımda geçerlidir , yani dalga yayılımının bir eksenin küçük bir açısı içindeki yönlerle sınırlı olduğu durumlarda. Genelliği kaybetmeden, bu yönü + z yönü olarak kabul edelim , bu durumda U çözümü genel olarak zamana bağlı olmayan ve uzayda nispeten düzgün bir şekilde değişen u cinsinden yazılabilir , ana varyasyon uzamsal olarak dalga sayısına karşılık gelir. k olarak z yönünde:

${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\; .}$

Bu formu eksene paralel yaklaşımla birlikte kullanarak, ∂ ² u / ∂ z ² esasen ihmal edilebilir. Elektromanyetik dalga denkleminin çözümleri sadece yayılma yönüne ( z ) dik olan polarizasyonlar için geçerli olduğundan, genelliği kaybetmeden polarizasyonun x yönünde olduğunu kabul ettik, böylece şimdi u ( x ) için bir skaler denklemi çözüyoruz. , y , z ) .

Bu çözümü yukarıdaki dalga denkleminde değiştirmek, skaler dalga denklemine paralel bir yaklaşımı verir :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik {\frac {\kısmi u}{\kısmi z}}.}$

Bu olarak dikkat çekicidir Paul Dirac 'nin hafif konik koordinatları , , dalga denklemi için dönüştürür: ${\displaystyle x^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(z\pm ct)}$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}U=2{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{-}\partial x^{+}}}.}$

Yani bir şeklinde bir dalga için tam denklemi alır ${\displaystyle U\sol(x,y,x^{+},x^{-}\sağ)=u\sol(x,y,x^{+}\sağ)e^{ikx^{-} }\,{\hat {\mathbf {x} }}\;}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik {\frac {\kısmi u}{\kısmi x^{+}}}.}$

Bu nedenle, eksenel çözümler, ışık konisi koordinatlarında tam olarak döndürülür . Koordinatın zamana bağlı olması nedeniyle , bu kesin çözümlerin tepe noktaları zamanla hareket eder, dolayısıyla bu çözümler kirişler yerine dalga paketlerini temsil eder . ${\görüntüleme stili x^{+}}$

Gauss bir ışın bel kirişler ağırlık ₀ Tatmin Bu dalga denklemi; bu en kolay bir dalga ifade ile teyit edilir z kompleks ışın parametresi açısından q ( z ) , yukarıda tanımlandığı gibidir. Başka birçok çözüm var. Doğrusal bir sistemin çözümleri olarak , herhangi bir çözüm kombinasyonu (bir sabitle toplama veya çarpma kullanarak) aynı zamanda bir çözümdür. Temel Gauss, yukarıda belirtildiği gibi, minimum nokta boyutu ve uzak alan sapmasının çarpımını en aza indiren olur. Paraksiyal çözümleri ve özellikle temel Gauss modunda olmayan lazer radyasyonunu tanımlayan çözümleri ararken , sapmalarının ve minimum nokta boyutlarının giderek artan ürünleri olan çözüm ailelerini arayacağız. Bu türden iki önemli ortogonal ayrıştırma, bir sonraki bölümde ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, sırasıyla dikdörtgen ve dairesel simetriye karşılık gelen Hermite-Gauss veya Laguerre-Gauss modlarıdır. Bunların her ikisi ile birlikte, incelediğimiz temel Gauss ışını en düşük dereceli moddur.

Daha yüksek dereceli modlar

Hermite-Gauss modları

On iki Hermite-Gauss modu

Sözde ortogonal dizi kullanan bağlantılı bir paraksiyel ışını ayrıştırılması mümkündür Hermite-Gauss modları bir faktör ürünün verilen herhangi biri, x ve bir faktör y . Böyle bir çözüm olarak ayrılabilen nedeniyle mümkündür , x ve y de paraksiyel Helmholtz denklemi yazılı olarak kartezyen koordinatlar . Bu nedenle sırası bir mod verilen ( l , m ) atıfta x ve y yönleri, elektrik alan genliği x , y , z ile verilebilir:

${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$

burada x ve y bağımlılığı için faktörlerin her biri şu şekilde verilir:

${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\sağ) ^{\!\!1/2}\!\!\sol({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\sağ)^{\!\!1/2 }\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\sağ)^{\!\!J/2}\!\ !H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\sağ)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^ {2}}{2{q}(z)}}\sağ),}$

Kompleks ışın parametresi kullanmıştır burada q ( z ) (yukarıda tanımlandığı gibi) bel demeti ağırlık ₀ az z odak. Bu formda, ilk faktör sadece u _J kümesini ortonormal yapmak için bir normalleştirme sabitidir . İkinci faktör bağımlı ek normalleştirme z uygun modu uzaysal ölçüde genişlemesi için telafi ağırlık ( z /) a _{, 0} (geçen iki faktöre). Ayrıca Gouy evresinin bir bölümünü içerir. Üçüncü faktör, daha yüksek dereceler J için Gouy faz kaymasını artıran saf bir fazdır .

Son iki faktör, x (veya y ) üzerindeki uzamsal değişimi açıklar . Dördüncü faktör, J dereceli Hermite polinomudur ("fizikçilerin formu", yani H ₁ ( x ) = 2 x ), beşinci faktör Gauss genlik düşüşünü açıklar exp(− x ² / w ( z ) ² ) , ancak bu, üsteki karmaşık q kullanılarak açık değildir . Bu üstel olarak genişlemesi bir faz faktörüdür x dalga cephesi kavis oluşturmaktadır ( 1 / R ( z ) de) z kiriş boyunca.

Hermite-Gauss modları tipik olarak "TEM _lm " olarak adlandırılır ; temel Gauss huzmesi TEM şu şekilde de ifade edilebilir ₀₀ ( TEM olan enine elektro-manyetik ). Çarparak u _l ( x , z ) ve u _m ( y , z ) 2-B modu ilgili bilgileri almak ve bu yüzden önemli faktör, sadece denir normalleştirme kaldırma e ₀ , yazabiliriz ( l , m ) modu daha erişilebilir biçimde:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l }\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\ frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp {\Bigg (}{-{\frac {x^{2}) +y^{2}}{w^{2}(z)}}}{\Bigg )}\exp {\Bigg (}{-i{\frac {k(x^{2}+y^{2) })}{2R(z)}}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end {hizalı}}}$

Bu formda, w ₀ parametresi , daha önce olduğu gibi, modlar ailesini belirler, özellikle temel modun belinin uzaysal kapsamını ve z = 0'daki diğer tüm mod modellerini ölçeklendirir . w ₀ , w ( z ) ve R ( z ) ' nin yukarıda açıklanan temel Gauss ışını ile aynı tanımlara sahip olduğu göz önüne alındığında . l = m = 0 ile daha önce açıklanan temel Gauss ışınını elde ettiğimiz görülebilir ( H ₀ = 1 olduğundan ). Herhangi bir z'de x ve y profillerindeki tek özel fark, l ve m sıra numaraları için Hermite polinom faktörlerinden kaynaklanmaktadır . Ancak, modların Gouy fazının z üzerindeki evriminde bir değişiklik var :

${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\sağ),}$

burada N modunun birleşik sırası N = l + m olarak tanımlanır . Temel (0,0) Gauss modu için Gouy faz kayması tüm z üzerinde yalnızca ± π /2 radyan kadar (ve ± z _R arasında yalnızca ± π /4 radyan kadar ) değişirken , bu, N + faktörü kadar artırılır. 1 , daha yüksek dereceli modlar için.

Hermite Gauss modları, dikdörtgen simetrileriyle, boşluk tasarımı dikdörtgen şeklinde asimetrik olan lazerlerden gelen radyasyonun modal analizi için özellikle uygundur. Öte yandan, lazerler ve dairesel simetriye sahip sistemler, bir sonraki bölümde tanıtılan Laguerre-Gauss modları kullanılarak daha iyi ele alınabilir.

Laguerre-Gauss modları

Dairesel olarak simetrik olan ışın profilleri (veya silindirik olarak simetrik boşluklu lazerler) genellikle en iyi Laguerre-Gauss modal ayrıştırma kullanılarak çözülür. Bu fonksiyonlar, genelleştirilmiş Laguerre polinomları kullanılarak silindirik koordinatlarda yazılır . Her enine mod yine iki tamsayı kullanılarak etiketlenir, bu durumda radyal indeks p ≥ 0 ve pozitif veya negatif (veya sıfır) olabilen azimut indeksi l :

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\left({\ frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\sağ)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{ w^{2}(z)}}\sağ)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\ sağ)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\, \exp(i\psi (z))\end{hizalanmış}}}$

burada L _p ^l olan genelleştirilmiş Laguerre polinomları . C^LG
_lp gerekli bir normalizasyon sabitidir:

${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d \phi \int _{0}^{\infty }rdr|u(r,\phi ,z)|^{2}=1}$.

w ( z ) ve R ( z ) yukarıdakiyle aynı tanımlara sahiptir. Daha yüksek dereceli Hermite-Gauss modlarında olduğu gibi, Laguerre-Gauss modlarının Gouy faz kaymasının büyüklüğü, N + 1 faktörü tarafından abartılır:

${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\sağ),}$

bu durumda birleşik mod numarası N = | ben | + 2 s . Daha önce olduğu gibi, enine amplitüd farklılaşmaları tekrar temel Gauss kapalı damla içeren denklem, üst hat üzerinde son iki faktör içerdiği r ama şimdi Laguerre polinomu ile çarpılır. Etkisi dönme modu numarası l , Laguerre polinomunun etkileyen ek olarak, temel olarak içerdiği faz faktörü (- exp ilφ ) , ışın profil gelişmiş (veya gecikmeli) olduğu l tam 2 π bir dönme aşamalarında kirişin etrafında ( φ olarak ). Bu, topolojik yükün l optik girdabına bir örnektir ve bu modda ışığın yörünge açısal momentumu ile ilişkilendirilebilir .

Ince-Gauss modları

Gelen eliptik koordinatlar , tek kullanarak yüksek dereceden modlarını yazabilir Ince polinomları . Çift ve tek Ince-Gauss modları şu şekilde verilir:

${\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p }^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \sağ)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\ frac {r^{2}}{2q\sol(z\sağ)}}-\sol(p+1\sağ)\zeta \sol(z\sağ)\sağ],}$

burada ξ ve η , tarafından tanımlanan radyal ve açısal eliptik koordinatlardır.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}} \;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{hizalı}}}$

C^m
_p( η , ε ) p dereceli ve m dereceli çift ​​İnce polinomlardır, burada ε eliptiklik parametresidir. Hermite-Gauss ve Laguerre-Gauss modları, sırasıyla ε = ∞ ve ε = 0 için Ince-Gauss modlarının özel bir durumudur .

Hipergeometrik-Gauss modları

Silindirik koordinatlarda , karmaşık genliğin bir birleşik hipergeometrik fonksiyonla orantılı olduğu başka bir önemli paraksiyal dalga modu sınıfı daha vardır .

Bu modlar sahip tekil faz profili ve vardır özfonksiyonlar arasında foton orbital açısal momentumun . Yoğunluk profilleri tek bir parlak halka ile karakterize edilir; Laguerre-Gauss modları gibi, temel (0,0) modu dışında yoğunlukları merkezde (optik eksende) sıfıra düşer. Bir modun karmaşık genliği, normalleştirilmiş (boyutsuz) radyal koordinat ρ = r / w ₀ ve normalleştirilmiş boylamsal koordinat Ζ = z / z _R cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{ \mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\ frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\sağ)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\ \&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}} 2}}+|m|+1\sağ)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\ matematik {Z} +i}}\sağ)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}} ,|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\sağ)\end{hizalı}}}$

dönme indeksi m bir tam sayıdır ve gerçek değerlidir, Γ( x ) gama fonksiyonudur ve ₁ F ₁ ( a , b ; x ) bir birleşik hipergeometrik fonksiyondur. ${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

Hipergeometrik-Gauss (HyGG) modlarının bazı alt aileleri, değiştirilmiş Bessel-Gauss modları, değiştirilmiş üstel Gauss modları ve değiştirilmiş Laguerre-Gauss modları olarak listelenebilir.

Hipergeometrik-Gauss modları seti fazla tamamlandı ve ortogonal bir mod seti değil. Karmaşık alan profiline rağmen, HyGG modları kiriş belinde çok basit bir profile sahiptir ( z = 0 ):

${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$

Ayrıca bakınız

• Bessel ışını
• Tophat kiriş
• Lazer ışını profilleyici

Notlar

Referanslar

• Bandres, Miguel A.; Gutierrez-Vega, Julio C. (2004). "İnce Gauss kirişleri" . Seç. Let . OSA. 29 (2): 144–146. Bibcode : 2004OptL...29..144B . doi : 10.1364/OL.29.000144 . PMID  14743992 .
• Garg, Anupam (2012). Özetle Klasik Elektromanyetizma . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN'si 978-0691130187.
• Goubau, G.; Schwering, F. (1961). "Elektromanyetik dalga ışınlarının yönlendirilmiş yayılımı üzerine". IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961ITAP....9..248G . doi : 10.1109/TAP.1961.144999 . MR  0134166 .
• Kerimi, E.; Zito, G.; Piccirillo, B.; Marrucci, L.; Santamato, E. (2007). "Hipergeometrik-Gauss kirişleri" . Seç. Let . OSA. 32 (21): 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Bibcode : 2007OptL...32.3053K . doi : 10.1364/OL.32.003053 . PMID  17975594 .
• Mandel, Leonard; Kurt, Emil (1995). Optik Uyum ve Kuantum Optiği . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 0-521-41711-2. Bölüm 5, "Optik Kirişler", s. 267.
• Pampaloni, F.; Enderlein, J. (2004). "Gauss, Hermite-Gauss ve Laguerre-Gauss kirişleri: Bir astar". arXiv : fizik/0410021 .
• Salih, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). Fotoniğin Temelleri . New York: John Wiley & Sons. ISBN'si 0-471-83965-5. Bölüm 3, "Işın Optikleri", s. 80–107.
• Siegman, Anthony E. (1986). Lazerler . Üniversite Bilim Kitapları. ISBN'si 0-935702-11-3. 16. Bölüm.
• Svelto, Orazio (2010). Lazer Prensipleri (5. baskı).
• Yariv, Amnon (1989). Kuantum Elektroniği (3. baskı). Wiley. ISBN'si 0-471-60997-8.

Dış bağlantılar

• Gauss Işın Optik Eğitimi, Newport