Frustum - Frustum

Piramidal kesikler seti
Örnekler: Beşgen ve kare kesikli
yüzler	n yamuk , 2 n- gon
Kenarlar	3 n
tepe noktaları	2 n
simetri grubu	Cı- n- V , [1, n ], (* nn )
Özellikleri	dışbükey

İn geometrisi , bir kesik koni (çoğulu Frusta veya konilerden ) bir bölümüdür katı (normal olarak bir koni veya piramit , bir veya iki arasında bulunan) paralel düzlemler kesilmesi. Bir sağ frustum paralel olan kesme a doğru piramit veya sağ koni.

Gelen bilgisayar grafikleri , görüntüleme frustum ekranda görünür üç boyutlu bölgedir. Bu oluşturulur kırpılmış piramit; özellikle, frustum ayırma , bir gizli yüzey belirleme yöntemidir .

Olarak havacılık endüstrisinde , bir kesik koni şeklindedir kaporta bir iki aşamaları arasında aşamalı bir roket (örneğin Satürn V bir şeklinde olan), kesik koni.

Eğer tüm kenarları aynı olduğu zorlanır , bir kesik koni üniform hale prizma .

Öğeler, özel durumlar ve ilgili kavramlar

kare kesik

Üçgen bir frustum oluşturmak için normal bir oktahedron 3 yüze büyütülebilir

Bir frustum ekseni, orijinal koni veya piramidin eksenidir. Frustum, dairesel tabanları varsa daireseldir; eksenin her iki tabana da dik olması, aksi takdirde eğik olması doğrudur.

Frustum yüksekliği, iki tabanın düzlemleri arasındaki dik mesafedir.

Koniler ve piramitler, kesme düzlemlerinden birinin apeksten geçtiği dejenere frusta durumları olarak görülebilir (böylece karşılık gelen taban bir noktaya iner). Piramidal frusta , prizmatoidlerin bir alt sınıfıdır .

Tabanlarında birleştirilen iki frusta bir bifrustum oluşturur .

formül

Ses

Bir kare piramidin kesik kesik hacim formülü, eski Mısır matematiği tarafından 13. hanedanda ( c.  1850 BC ) yazılan Moskova Matematik Papirüsü olarak adlandırılan şeyde tanıtıldı :

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h\left(a^{2}+ab+b^{2}\sağ).}$

burada a ve b , kesik piramidin taban ve üst kenar uzunluklarıdır ve h , yüksekliktir. Mısırlılar, kesik bir kare piramidin hacmini elde etmek için doğru formülü biliyorlardı, ancak Moskova papirüsünde bu denklemin hiçbir kanıtı yok.

Hacmi bir konik veya piramit şeklinde bir kesik tepe kapalı, dilimlenmeden önce bir katı hacmi eksi tepe noktası hacmi:

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}}}$

burada B ₁ bir tabanın alanıdır, B ₂ diğer tabanın alanıdır ve h ₁ , h ₂ tepe noktasından iki tabanın düzlemlerine dik olan yüksekliklerdir.

Hesaba katıldığında

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\ sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha }$,

hacim formülü, bu orantı α/3 ve yalnızca h ₁ ve h ₂ yüksekliklerinin küpleri farkının bir ürünü olarak ifade edilebilir .

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(h_{1}^{3}-h_{2}^{3})}$

İki küp farkı, faktoring ile bir ³ B - ³ = (ab) (a ² + AB + B ² ) , tek bir alır h ₁ - h ₂ = h , kesik yüksekliğini ve α * ( sa ₁ ² + sa ₁ sa ₂ + sa ₂ ²/3) .

Dağıtma a ve tanımından ikame heronian ortalama alanları B ₁ ve B ₂ elde edilir. Alternatif formül bu nedenle

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right)}$.

İskenderiyeli Heron, bu formülü türetmesi ve onunla birlikte negatifin karekökü olan hayali birim ile karşılaşmasıyla tanınır .

Özellikle, dairesel bir koni frustumunun hacmi

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right)}$

burada r, ₁ , r, ₂ olan yarıçapları iki bazlar.

Tabanları n kenarlı düzgün çokgenler olan bir piramidal kesikli cismin hacmi

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot { \frac {\pi }{n}}}$

burada bir ₁ ve bir ₂ iki tane bazın yüzüdür.

Yüzey alanı

konik kesik

Konik bir frustum'un 3 boyutlu modeli.

Sağ dairesel konik bir frustum için

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Yan yüzey alanı}}&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s\\&=\pi \left(r_{1 }+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

ve

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Toplam yüzey alanı}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2} +r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{) 2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$

burada r ₁ ve r ₂ sırasıyla taban ve üst yarıçaplardır ve s , kesiğin eğik yüksekliğidir.

Olan bazlar benzer düzenli bir doğru kesik yüzey alanı, n taraflı çokgenler olan

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi } {n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\sağ)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{ n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\sağ]}$

burada bir ₁ ve bir ₂ iki tane bazın yüzüdür.

Örnekler

Rolo marka çikolatalar, üstleri düz olmasa da, sağ dairesel konik bir frustum'a yakındır.

• Amerika Birleşik Devletleri bir dolarlık banknotunun arkasında (ters), Amerika Birleşik Devletleri'nin Büyük Mührü'nün arkasında, Providence Gözü ile üstte bir piramidal frustum belirir .
• Zigguratlar , basamaklı piramitler ve bazı antik Kızılderili höyükleri de, eklenen merdivenler gibi ek özelliklerle birlikte bir veya daha fazla piramidin kesik kısmını oluşturur.
• Çin piramitleri .
• John Hancock Center içinde Chicago , Illinois kimin bazlar dikdörtgenler olan kesik koni şeklindedir.
• Washington Anıtı küçük piramit tepesinde dar bir kare tabanlı piramit kesik koni şeklindedir.
• İnceleyen frustum içinde 3D bilgisayar grafikleri sanal fotografik veya video kameranın kullanılabilen Görüş alanı bir piramit kesik olarak modellenmiştir.
• In İngilizce çeviri Stanislaw Lem 'ın kısa öykü koleksiyonu Cyberiad , şiir Aşk ve tensör cebiri 'Her kesik koni uzun bir koni olmak' olduğunu iddia ediyor.
• Kovalar ve tipik abajurlar , konik kesiklerin günlük örnekleridir.
• İçki bardakları ve bazı uzay kapsülleri de bazı örneklerdir.

Ayrıca bakınız

• küresel kesik

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Piramit ve koni kesiklerinin hacmi için formülün türetilmesi (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Pyramidal frustum" . Matematik Dünyası .
• Weisstein, Eric W. "Konik kesik" . Matematik Dünyası .
• Frustumların kağıt modelleri (kesik piramitler)
• Frustum'un kağıt modeli (kesik koni)
• Konik kesik konilerin kağıt modellerini tasarlayın (kesik koniler)