Kararsız akış için sonlu hacim yöntemi - Finite volume method for unsteady flow

Kararsız akışlar, akışkanın özelliklerinin zamana bağlı olduğu akışlar olarak karakterize edilir. Özelliklerin zamana göre türevi olmadığı için ana denklemlere yansıtılır. Eğitim için Sonlu hacimli yöntemi kararsız akış için> Bazı yöneten denklemler var

Geçerli Denklem

Kararsız akışta bir skalerin taşınması için korunum denklemi genel forma sahiptir.

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatöradı {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatöradı {div} \left(\Gama \ operatöradı {grad} \phi \sağ)+S_{\phi }}$

${\görüntüleme stili \rho }$bir yoğunluk ve tüm sıvı akışının muhafazakar bir şeklidir, difüzyon katsayısı ve kaynak terimdir. akışının net oranıdır sıvı eleman (dışı konveksiyon ), artış oranı ise sebebiyle difüzyon , artış oranı olan kaynaklara bağlı. ${\görüntüleme stili\phi }$
${\görüntüleme stili \Gama }$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \operatöradı {div} \left(\rho \phi \upsilon \sağ)}$${\görüntüleme stili\phi }$
${\displaystyle \operatöradı {div} \left(\Gamma \operatöradı {grad} \phi \sağ)}$${\görüntüleme stili\phi }$
${\displaystyle S_{\phi }}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle {\frac {\kısmi \rho \phi }{\kısmi t}}}$Akışkan elemanının artış hızı (geçici), ${\görüntüleme stili\phi }$

Denklemin ilk terimi, akışın kararsızlığını yansıtır ve sürekli akış durumunda yoktur. Ana denklemin sonlu hacim entegrasyonu, bir kontrol hacmi üzerinde ve ayrıca sonlu bir zaman adımı ∆t üzerinde gerçekleştirilir.

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}} \,\mathrm {d} t\sağ)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n .{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\doğru)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \ limitler _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatöradı {grad} \phi \sağ)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t }^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

Kontrol hacmi entegrasyonu istikrarlı denklemin bir parçası benzer kararlı durum yöneten Denklemin entegrasyonu. Denklemin kararsız bileşeninin entegrasyonuna odaklanmamız gerekiyor. Entegrasyon tekniği hakkında fikir edinmek için tek boyutlu kararsız ısı iletim denklemine başvuruyoruz .

${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}+ S}$

${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\kısmi T}{\kısmi t}}\,\ matematik {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\kısmi {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\! \!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\kısmi T}{\kısmi t) }}\,\mathrm {d} t\sağ)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\sol[\sol(kA{\frac {\kısmi T}) {\kısmi x}}\sağ)_{e}-\sol(kA{\frac {\kısmi T}{\kısmi x}}\sağ)_{w}\sağ]\,\mathrm {d} t+ \int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}$

Şimdi, düğümdeki sıcaklığın tüm kontrol hacminde geçerli olduğu varsayımı tutularak , denklemin sol tarafı şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}} \,\mathrm {d} t\sağ)\,\mathrm {d} V=\rho c\sol(T_{P}-{T_{P}}^{O}\sağ)\Delta V}$

Birinci mertebeden geriye doğru fark alma şeması kullanarak denklemin sağ tarafını şu şekilde yazabiliriz:

${\displaystyle \rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\sağ)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\sol[\sol( K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\sağ)-\sol(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_) {W}}{\delta x_{WP}}}\sağ)\sağ]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V \,\mathrm {d} t}$

Şimdi denklemin sağ tarafını değerlendirmek için 0 ile 1 arasında bir ağırlıklandırma parametresi kullanıyoruz ve integralini yazıyoruz.${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili T_{P}}$

${\displaystyle I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}-\left(1-\ teta \sağ){T_{P}}^{0}\sağ]\Delta t}$

Şimdi, nihai ayrıklaştırılmış denklemin tam şekli, değerine bağlıdır . Varyansı 0< <1 olduğundan, hesaplamak için kullanılacak şema , değişkenin değerine bağlıdır.${\görüntüleme stili \Teta }$${\görüntüleme stili \Teta }$${\görüntüleme stili \Teta }$${\görüntüleme stili T_{P}}$${\görüntüleme stili \Teta }$

Farklı Şemalar

1. Açık Şema Açık şemada kaynak terim olarak doğrusallaştırılır . Açık ayrıklaştırmayı elde etmek için yerine koyarız, yani: ${\displaystyle b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}}$${\görüntüleme stili \teta=0}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\sol[{a_{P} }^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\sağ)\sağ]{T_{P}}^{0}+S_{u}}$

nerede . Kayda değer bir şey, sağ tarafın eski zaman adımındaki değerleri içermesi ve dolayısıyla sol tarafın zaman içinde ileri eşleme ile hesaplanabilmesidir. Şema geriye doğru farka dayalıdır ve Taylor serisi kesme hatası zamana göre birinci derecedendir. Tüm katsayıların pozitif olması gerekir. Sabit k ve düzgün ızgara aralığı için bu koşul şu şekilde yazılabilir: ${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}}$${\displaystyle \delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x}$

${\displaystyle \rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}}$

Bu eşitsizlik, kullanılabilecek maksimum zaman adımı üzerinde katı bir koşul belirler ve şema üzerinde ciddi bir sınırlamayı temsil eder. Uzamsal doğruluğu geliştirmek çok pahalı hale gelir, çünkü mümkün olan maksimum zaman adımının karesi olarak azaltılması gerekir.${\görüntüleme stili\Delta x}$

2. Krank Nicholson şeması  : Krank Nicholson şeması, ayardan kaynaklanır . Ayrıklaştırılmış kararsız ısı iletim denklemi ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\sağ]+a_{W }\sol[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\sağ]+\sol[{a_{P}}^{0}-{\frac { a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\sağ]{T_{P}}^{0}+b}$

Nereye ${\displaystyle a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2} }}$

Denklemde yeni zaman düzeyinde T'nin birden fazla bilinmeyen değeri bulunduğundan, yöntem örtüktür ve her zaman adımında tüm düğüm noktaları için eşzamanlı denklemlerin çözülmesi gerekir. Crank-Nicolson şemasını içeren şemalar , zaman adımının tüm değerleri için koşulsuz olarak kararlı olsa da, fiziksel olarak gerçekçi ve sınırlı sonuçlar için tüm katsayıların pozitif olmasını sağlamak daha önemlidir. Bu, katsayısının aşağıdaki koşulu sağlaması durumunda geçerlidir.${\displaystyle {\frac {1}{2}}<\theta <1}$${\displaystyle {T_{P}}^{0}}$

${\displaystyle {a_{P}}^{0}=\sol[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\sağ]}$

hangi yol açar

${\displaystyle \Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}}$

Krank Nicholson, merkezi farka dayalıdır ve bu nedenle zaman açısından ikinci dereceden doğrudur. Bir hesaplamanın genel doğruluğu aynı zamanda uzaysal fark alma uygulamasına da bağlıdır, bu nedenle Crank-Nicolson şeması normal olarak uzaysal merkezi fark alma ile birlikte kullanılır.

3. Tam Kapalı Şema Ѳ değeri 1'e ayarlandığında, tam kapalı düzeni elde ederiz. Ayrıklaştırılmış denklem:

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0} +S_{u}}$

${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}}$

Denklemin her iki tarafı da yeni zaman adımındaki sıcaklıkları içerir ve her zaman seviyesinde bir cebirsel denklem sistemi çözülmelidir. Zaman yürüyüşü prosedürü, belirli bir sıcaklık alanı ile başlar . Zaman adımı seçildikten sonra denklem sistemi çözülür . Daha sonra, çözüm atanır ve prosedür, çözümü bir başka zaman adımı ile ilerletmek için tekrarlanır. Tüm katsayıların pozitif olduğu görülebilir, bu da örtük şemayı herhangi bir zaman adımı boyutu için koşulsuz olarak kararlı kılar. Planın doğruluğu zaman açısından yalnızca birinci dereceden olduğundan, sonuçların doğruluğunu sağlamak için küçük zaman adımlarına ihtiyaç vardır. Sağlamlığı ve koşulsuz kararlılığı nedeniyle genel amaçlı geçici hesaplamalar için örtük yöntem önerilir. ${\görüntüleme stili T^{0}}$${\görüntüleme stili\Delta t}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T^{0}}$

Referanslar