Sonlu grup - Finite group

Gelen soyut cebir , bir sonlu grup a, grup olan , altta yatan grubu olduğu sonlu . Sonlu gruplar, matematiksel veya fiziksel nesnelerin simetrisi düşünüldüğünde, bu nesneler yalnızca sınırlı sayıda yapı koruyan dönüşümü kabul ettiğinde ortaya çıkar. Sonlu grupların önemli örnekleri, döngüsel grupları ve permütasyon gruplarını içerir .

Sonlu grupların incelenmesi , 19. yüzyılda ortaya çıktığından beri grup teorisinin ayrılmaz bir parçası olmuştur . Ana çalışma alanlarından biri sınıflandırma olmuştur: Sonlu basit grupların sınıflandırılması (önemsiz normal alt grubu olmayanlar ) 2004 yılında tamamlanmıştır.

Tarih

Yirminci yüzyılda, matematikçiler sonlu gruplar teorisinin bazı yönlerini, özellikle sonlu grupların yerel teorisini ve çözülebilir ve üstelsıfır gruplar teorisini derinlemesine araştırdılar . Sonuç olarak, sonlu basit grupların tam sınıflandırması sağlandı, yani tüm sonlu grupların inşa edilebileceği tüm bu basit gruplar artık biliniyor.

Yirminci yüzyılın ikinci yarısında, Chevalley ve Steinberg gibi matematikçiler , klasik grupların ve diğer ilgili grupların sonlu analogları hakkındaki anlayışımızı da artırdı . Böyle bir grup ailesi, sonlu alanlar üzerindeki genel doğrusal gruplar ailesidir .

Sonlu gruplar , matematiksel veya fiziksel nesnelerin simetrisi düşünüldüğünde , bu nesneler yalnızca sınırlı sayıda yapı koruyan dönüşümleri kabul ettiğinde ortaya çıkar . " Sürekli simetri " ile ilgili olarak görülebilecek Lie grupları teorisi , ilişkili Weyl gruplarından güçlü bir şekilde etkilenir . Bunlar, sonlu boyutlu bir Öklid uzayında hareket eden yansımalar tarafından üretilen sonlu gruplardır . Sonlu grupların özellikleri böylece teorik fizik ve kimya gibi konularda rol oynayabilir .

Örnekler

Permütasyon grupları

Simetrik grup S _4'ün bir Cayley grafiği

Simetrik grup S _{, n} , bir ile sınırlı dizi arasında , n sembolleri olan bir grup öğelerinin tümü olan permütasyon arasında , n sembolleri ve grup işlemi olduğu bir bileşim olarak kabul edilir Bu permütasyon ait örten fonksiyonları kendisine semboller grubundan, . Yana vardır n ! ( N- faktörlü bir dizi) olası permütasyon n sembolleri, aşağıdaki düzen simetrik grubunun S (elementlerin sayısı) _n olup , n !.

Döngüsel gruplar

Bir siklik grubu, Z _{, n} , öğeleri belirli bir eleman yetkileri tüm bir grubudur a burada bir ⁿ = bir ⁰ = E , kimlik. Bu grubun tipik bir gerçekleştirimi , birliğin karmaşık n inci kökleridir . Gönderme bir a birlik ilkel kök ikisi arasında bir izomorfizm verir. Bu, herhangi bir sonlu döngüsel grupla yapılabilir.

Sonlu değişmeli gruplar

Bir değişmeli grubu da adlandırılan, değişmeli grubu , a, grup grubu uygulanması sonucu hangi işlem iki grubu elemanlarına sıralarına (aksiyomu bağlı değildir komutatiflik ). Niels Henrik Abel'ın adını taşıyorlar .

Keyfi bir sonlu değişmeli grup, asal güç düzeninin sonlu döngüsel gruplarının doğrudan toplamına izomorfiktir ve bu sıralar benzersiz bir şekilde belirlenir ve eksiksiz bir değişmezler sistemi oluşturur. Otomorfizm grubu sonlu bir değişmeli grubunun bu değişmezler açısından doğrudan tanımlanabilir. Teori ilk olarak Georg Frobenius ve Ludwig Stickelberger'in 1879 tarihli makalesinde geliştirildi ve daha sonra hem basitleştirildi hem de temel bir ideal alan üzerinden sonlu olarak üretilmiş modüllere genelleştirilerek doğrusal cebirin önemli bir bölümünü oluşturdu .

Lie tipi gruplar

Bir Lie Çeşidi grubu a, grup yakın grubuna ilişkin G ( k , indirgeyici bir rasyonel noktaları) cebirsel grup G değerlerle alan k . Lie tipindeki sonlu gruplar, abelian olmayan sonlu basit grupların yığınını verir . Özel durumlar arasında klasik gruplar , Chevalley grupları , Steinberg grupları ve Suzuki-Ree grupları yer alır.

Lie tipi sonlu gruplar , 1830'larda Évariste Galois tarafından inşa edilen PSL (2, p ) ile asal sonlu alanlar üzerinde projektif özel doğrusal gruplar ile döngüsel , simetrik ve alternatif gruplardan sonra matematikte ilk düşünülen gruplar arasındaydı. Lie tipi sonlu grupların sistematik keşfi Camille Jordan'ın projektif özel lineer grup PSL (2, q ) 'nun q ≠ 2, 3 için basit olduğu teoremi ile başladı. Bu teorem daha yüksek boyutlardaki projektif gruplara genelleşir ve önemli bir değer verir. Sonlu basit grupların sonsuz ailesi PSL ( n , q ) . Diğer klasik gruplar , 20. yüzyılın başlarında Leonard Dickson tarafından incelenmiştir . 1950'lerde Claude Chevalley , uygun bir yeniden formülasyondan sonra, yarı basit Lie gruplarıyla ilgili birçok teoremin, keyfi bir k alanı üzerindeki cebirsel gruplar için analogları kabul ettiğini ve bu da şimdi Chevalley grupları olarak adlandırılan şeyin inşasına yol açtığını fark etti . Dahası, kompakt basit Lie gruplarında olduğu gibi, karşılık gelen grupların soyut gruplar olarak neredeyse basit olduğu ortaya çıktı ( Göğüsler basitlik teoremi ). 19. yüzyıldan beri diğer sonlu basit grupların (örneğin Mathieu grupları ) var olduğu bilinmesine rağmen , kademeli olarak neredeyse tüm sonlu basit grupların, döngüsel ve değişen gruplarla birlikte Chevalley'in yapısının uygun uzantılarıyla açıklanabileceği inancı oluştu. Dahası, istisnalar, sporadik gruplar , Lie tipi sonlu gruplarla birçok özelliği paylaşır ve özellikle, Memeler anlamındaki geometrilerine göre yapılandırılabilir ve karakterize edilebilir .

İnanç şimdi bir teorem haline geldi - sonlu basit grupların sınıflandırılması . Sonlu basit gruplar listesinin incelenmesi, sonlu bir alan üzerindeki Lie tipi grupların, döngüsel gruplar, alternatif gruplar, Göğüsler grubu ve 26 sporadik basit grup dışındaki tüm sonlu basit grupları içerdiğini gösterir .

Ana teoremler

Lagrange teoremi

Sonlu grup için G , sırası her bir (elementlerin sayısı) alt grup H ve G sırasını böler G . Teorem, Joseph-Louis Lagrange'den sonra adlandırılmıştır .

Sylow teoremleri

Bu, Lagrange teoremine kısmi bir tersi sağlar ve G'de verilen bir düzenin kaç alt grubunun bulunduğu hakkında bilgi verir .

Cayley teoremi

Cayley teoremi onuruna adlandırılmış, Arthur Cayley , her belirtiyor grup G ise izomorfik bir karşı alt grup arasında simetrik grubunun hareket eden G . Bu, örnek olarak anlaşılabilir grubu, bir eylem içinde G elemanları ile G .

Burnside teoremi

Burnside teoremi de grup teorisi eğer devletler bu G sonlu grup olan sipariş p ^bir q ^b , p ve q olan asal sayılar ve bir ve b olan negatif olmayan tamsayılar , daha sonra G ise çözülebilir . Bu nedenle, her Abelyen olmayan sonlu basit grup , en az üç farklı asal ile bölünebilen düzene sahiptir.

Feit-Thompson teoremi

Feit-Thompson teoremi veya garip düzen teoremi , her sonlu belirtmektedir grup garip bir sırayla olan çözülebilir . Walter Feit ve John Griggs Thompson tarafından kanıtlandı ( 1962 , 1963 )

Sonlu basit grupların sınıflandırılması

Basit sonlu grupların sınıflandırılması her belirten bir teoremi olan sonlu basit grup aşağıdaki ailelerden birine ait:

Bir siklik grup ana sırası ile;
Bir alternatif grubu derecesi en az 5;
Bir Yalan Çeşidi basit bir grup ;
26 sporadik basit gruptan biri ;
Meme grubu (bazen 27 sporadik grup olarak kabul edilir).

Sonlu basit gruplar, asal sayıların doğal sayıların temel yapı taşları olma şeklini anımsatan bir şekilde, tüm sonlu grupların temel yapı taşları olarak görülebilir . Jordan-Hölder teoremi sonlu gruplar hakkında bu gerçeği dile daha kesin bir yoldur. Bununla birlikte, tamsayı çarpanlara ayırma durumuna göre önemli bir fark , bu tür "yapı blokları" nın, aynı bileşim serisine sahip çok sayıda izomorfik olmayan grup olabileceğinden veya başka bir şekilde ifade edersek, bir grubu benzersiz olarak belirlemesi gerekmemesidir . uzatma sorununun benzersiz bir çözümü yoktur.

Teoremin kanıtı, çoğu 1955 ile 2004 yılları arasında yayınlanan, yaklaşık 100 yazar tarafından yazılan birkaç yüz dergi makalesinde on binlerce sayfadan oluşmaktadır. Gorenstein (ö.1992), Lyons ve Solomon , yavaş yavaş basitleştirilmiş ve gözden geçirilmiş bir versiyonunu yayınlamaktadır. kanıt.

Belirli bir sıradaki grup sayısı

Pozitif bir n tamsayısı verildiğinde , n düzen gruplarının kaç tane izomorfizm türü olduğunu belirlemek rutin bir mesele değildir . Her asal düzen grubu döngüseldir , çünkü Lagrange teoremi , özdeş olmayan öğelerinden herhangi biri tarafından üretilen döngüsel alt grubun tüm grup olduğunu ima eder. Eğer n bir asalın karesiyse, o zaman her ikisi de değişmeli olan n mertebesinde tam olarak iki olası izomorfizm türü vardır. Eğer n , bir asalın daha yüksek bir gücü ise, Graham Higman ve Charles Sims'in sonuçları, n dereceli grupların izomorfizm tiplerinin sayısı için asimptotik olarak doğru tahminler verir ve güç arttıkça sayı çok hızlı bir şekilde artar.

N'nin asal çarpanlara ayırmasına bağlı olarak, örneğin Sylow teoremleri gibi sonuçların bir sonucu olarak, n dereceli grupların yapısına bazı kısıtlamalar getirilebilir . Örneğin, sırası her grup pq zaman siklik olduğu q < p ile asal olan p 1 - tarafından bölünebilir değildir q . Gerekli ve yeterli bir koşul için, döngüsel sayıya bakın .

Eğer n olan squarefree , düzenin sonra herhangi bir grup , n çözümlenebilir. Burnside teoremi kullanılarak kanıtladı grup karakterleri düzenin her grup olduğu, devletler n çözülebilir olduğunda n az üç farklı asal, yani eğer bölünemeyen n = p ^bir q ^b , p ve q asal sayılardır ve bir ve b vardır negatif olmayan tamsayılar. By Feit-Thompson teoremi uzun ve karmaşık bir kanıt, düzenin her grup var, n çözülebilir olduğunda n garip.

Her pozitif tamsayı için n , düzenin birçok grup n olan çözülebilir . Bunu belirli bir sıra için görmek genellikle zor değildir (örneğin, izomorfizme kadar, bir çözülebilir olmayan grup ve 60 dereceden 12 çözülebilir grup vardır), ancak bunun tüm sıralar için kanıtı , sonlu basit grupların sınıflandırmasını kullanır. . Herhangi bir pozitif tamsayı için n için en fazla iki basit grupları vardır , n , ve sonsuz sayıda pozitif tam vardır n sırası olmayan iki izomorfik basit gruplar bulunmaktadır için n .

Farklı sıra grupları tablosu n

Sipariş n	# Grup	Abeliyen	Abelian olmayan
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Jacobson Nathan (2009). Temel Cebir I (2. baskı). Dover Yayınları . ISBN 978-0-486-47189-1 .

Dış bağlantılar

OEIS sekansı A000001 (n düzeninde grup sayısı)
OEIS sekansı A000688 (Sayı Değişmeli sırası grupları n )
OEIS sekansı A060689 (n düzeninde olmayan değişmeli grup sayısı)
GroupNames üzerindeki küçük gruplar
Küçük mertebeden gruplar için bir sınıflandırıcı

Languages

In other projects