Ergodik süreç - Ergodic process

Gelen ekonometriye ve sinyal işleme , bir stokastik işlemi olduğu söylenebilir ergodik istatistiksel özellikleri işleminin tek yeterince uzun, rasgele bir numunesinden alınan çıkarsanabilir ise. Akıl bir işlem rasgele örnekleri herhangi bir toplama sürecin ortalama istatistiksel özellikleri temsil gerekmesidir. Başka bir deyişle, ne olursa olsun bireysel örneklerdir ne, numunelerin toplanması bir kuş bakışı görünümü tüm süreci temsil etmelidir. Bunun aksine, ergodik olmayan bir süreç, tutarsız oranda düzensiz değişen bir süreçtir.

Spesifik tanımlar

Biri stokastik sürecinin çeşitli istatistiklerin ergodiklik tartışabilirsiniz. Örneğin, bir geniş anlamda durağan işlem sürekli ortalamaya sahip ${\ Displaystyle X (t)}$

${\ Displaystyle \ u _ {X} = E [X (t)]}$,

ve otokovaryans

${\ Displaystyle r_ {X} (\ tau) = E [(X (±) - \ u _ {X}) (X '(t + \ tau) - \ u _ {X})]}$,

bu sadece gecikme bağlıdır ve zamanında . Özellikleri ve ensemble ortalamaları zaman değil ortalamalardır. ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ u _ {X}}$${\ Displaystyle r_ {X} (\ Tau)}$

İşlem olduğu söylenir ortalama-ergodik veya ortalama-kare ilk anda ergodik ise ortalama zaman tahmin ${\ Displaystyle X (t)}$

${\ Displaystyle {\ şapka {\ u}} _ {X} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} X (t) \, dt}$

ortalama kare içinde birleşir topluluk ortalamasına olarak . ${\ Displaystyle \ u _ {X}}$${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$

Benzer şekilde, işlem olduğu söylenir otokovaryans-ergodik veya ortalama-kare ikinci anda ergodik ise ortalama zaman tahmin

${\ Displaystyle {\ şapka {R}} _ {X} (\ tau) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} [X (t + \ tau) - \ u _ {X}] [X (±) - \ u _ {X}] \, dt}$

ensemble ortalamaya ortalama kare yakınsar olarak, . Ortalama ve otokovaryans içinde ergodik olan bir proses bazen denir geniş anlamda ölçümkal .${\ Displaystyle r_ {X} (\ Tau)}$${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$

Bir ergodik prosesin önemli bir örnek, sürekli spektrumu ile sabit Gauss süreçtir.

Ayrık zaman rasgele işlemler

Ergodiklik kavramı aynı zamanda ayrık zaman rastgele işlemler için geçerlidir tamsayı . ${\ Displaystyle x [n]}$${\ Displaystyle n}$

Ayrık zamanlı rasgele süreç ortalama eğer ergodik olan ${\ Displaystyle x [n]}$

${\ Displaystyle {\ şapka {\ u}} _ {X} = {\ frac {1} + {N}} \ toplamı _ {n = 1 '} ^ {N-} x [n]}$

ortalama kare içinde birleşir topluluk ortalamasına olarak, . ${\ Displaystyle E [X]}$${\ Displaystyle N \ rightarrow \ infty}$

olmayan bir rastlantı uyarımı işlemlerinin örnekleri

• Bir tarafsız rasgele yürüyüş [1] olmayan ölçümkal olduğunu. Zamanı ortalama farklı varyans rastgele değişken ise onun beklenen değer, her zaman sıfırdır.

• Bir jeton adil ve diğer iki kafası vardır: Biz iki sikke olduğunu varsayalım. Biz paralar birinde (rastgele) seçmek ilk ve daha sonra bizim seçilmiş madalyonun bağımsız fırlatır dizisini gerçekleştirin. Let x [ n ] sonucunu belirtir n kuyrukları için kafaları için 1 ve 0 ile atmak inci. Daha sonra grup ortalama ½ (½ + 1) olduğu = ¾; henüz uzun vadeli ortalama iki başlı sikkeye adil madalyonun ve 1 için ½ olduğunu. Yani uzun vadeli zaman ortalamasıdır ya 1/2 veya 1 Dolayısıyla, bu rasgele süreç ortalamada ergodik değildir.

Ayrıca bakınız

• Ergodik hipotez
• ergodiklik
• Ergodik teori , ergodiklik daha genel bir formülasyon ile ilgili bir matematik dalı
• Loschmidt paradoksu
• Poincaré yinelenme teoremi

notlar

Referanslar

• Porat, B. (1994). Rastgele Sinyallerin Dijital İşleme Kuram ve Yöntemleri . Prentice Hall. s. 14. ISBN  0-13-063751-3 .
• Papoulis, Athanasios (1991). Olasılık, rastgele değişkenler, stokastik süreçler . New York: McGraw-Hill. s. 427-442. ISBN  0-07-048477-5 .