Erdős–Kac teoremi - Erdős–Kac theorem

Gelen sayılar teorisi , erdos-Kac teoremi adını, Paul Erdös ve Mark Kac ve ayrıca temel teoremi olarak bilinen olasılık sayılar teorisi , devletlerin bu ω (eğer n ) farklı sayısıdır asal faktörlerin arasında n gevşek, o zaman, konuşma, olasılık dağılımı arasında

${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}}$

standart normal dağılımdır . ( OEIS'deki A001221 dizisidir.) Bu, ω( n )'nin normal düzeninin tipik bir boyut hatasıyla log log n olduğunu belirten Hardy–Ramanujan teoreminin bir uzantısıdır . ${\görüntüleme stili \omega (n)}$${\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}}$

Kesin ifade

Herhangi bir sabit a  <  b için ,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n) )-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\sağ\}\sağ)=\Phi (a,b)}$

olarak tanımlanan normal (veya "Gauss") dağılım nerede${\görüntüleme stili \Phi (a,b)}$

${\displaystyle \Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\ ,dt.}$

Daha genel olarak, eğer f( n ) tüm asal p için güçlü bir toplamsal fonksiyon ( ) ise , o zaman ${\displaystyle \scriptstyle f(p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}})=f(p_{1})+\cdots +f(p_{k} )}$${\displaystyle \scriptstyle |f(p)|\leq 1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {f(n)) -A(n)}{B(n)}}\leq b\sağ\}\sağ)=\Phi (a,b)}$

ile birlikte

${\displaystyle A(n)=\sum _{p\leq n}{\frac {f(p)}{p}},\qquad B(n)={\sqrt {\sum _{p\leq n }{\frac {f(p)^{2}}{p}}}}.}$

Kac'ın orijinal buluşsal yöntemi

Sezgisel, sonuç için Kac en sezgisel eğer söylüyor n rastgele seçilen bir büyük tam sayıdır, daha sonra farklı asal faktörlerin sayısı n yaklaşık normalde ortalama ve varyans günlük günlüğü ile dağıtılmaktadır  n . Bu, rastgele bir doğal sayı n verildiğinde , her p için " n sayısı bir asal p ile bölünebilir " olaylarının karşılıklı olarak bağımsız olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır .

Şimdi, olayı ifade eden "sayı n bölünemeyen bir p tarafından" , gösterge rastgele değişkenlerin aşağıdaki toplamı göz önünde bulundurun: ${\displaystyle n_{p}}$

${\displaystyle I_{n_{2}}+I_{n_{3}}+I_{n_{5}}+I_{n_{7}}+\ldots }$

Bu toplam, rastgele doğal sayımızın n'nin kaç farklı asal çarpanı olduğunu sayar . Bu toplamın Lindeberg koşulunu sağladığı gösterilebilir ve bu nedenle Lindeberg merkezi limit teoremi , uygun yeniden ölçeklendirmeden sonra yukarıdaki ifadenin Gauss olacağını garanti eder.

Erdős nedeniyle teoremin gerçek kanıtı , yukarıdaki sezgiyi kesinleştirmek için elek teorisini kullanır .

sayısal örnekler

Erdős–Kac teoremi, bir milyar civarında bir sayının oluşturulmasının ortalama olarak üç asal sayı gerektirdiği anlamına gelir.

Örneğin, 1.000.000,003 = 23 × 307 × 141623. Aşağıdaki tablo, bir doğal sayının farklı asal çarpanlarının ortalama sayısının artan . ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$

Erdos-Kac teoremini gösteren farklı asal sayıların yayılan Gauss dağılımı

10.000 basamaklı sayıların yaklaşık %12,6'sı 10 farklı asal sayıdan ve yaklaşık %68'i 7 ila 13 asal sayıdan oluşur.

İnce kumla doldurulmuş, Dünya gezegeni büyüklüğünde içi boş bir küre, yaklaşık 10 ³³ taneye sahip olacaktır . Gözlemlenebilir evren büyüklüğünde bir hacimde yaklaşık 10 ⁹³ kum tanesi bulunur. Böyle bir evrende 10 ¹⁸⁵ kuantum dizisine yer olabilir.

186 basamaklı bu büyüklükteki sayılar, yapım için ortalama olarak sadece 6 asal sayı gerektirecektir.

Erdös-Kac teoremini deneysel olarak keşfetmek imkansız değilse de çok zordur, çünkü Gauss sadece ortalıkta dolaşmaya başladığında ortaya çıkar . Daha kesin olarak, Rényi ve Turán , bir Gauss'a yaklaşımda hata üzerinde mümkün olan en iyi düzgün asimptotik sınırın . ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili 10^{100}}$${\displaystyle O\sol({\frac {1}{\sqrt {\log \log n}}}\sağ)}$

Referanslar

• Erdös, Paul ; Kaç, Mark (1940). "Toplam Sayı Teorik Fonksiyonlar Teorisinde Hataların Gauss Yasası". Amerikan Matematik Dergisi . 62 (1/4): 738-742. doi : 10.2307/2371483 . ISSN  0002-9327 . Zbl  0024.10203 .
• Kuo, Wentang; Liu, Yu Ru (2008). "Erdős-Kac teoremi ve genellemeleri". De Koninck, Jean-Marie'de; Granville, Andrew ; Luca, Florian (ed.). Tam sayıların anatomisi. 13-17 Mart 2006 tarihlerinde Montreal, Kanada'da düzenlenen CRM atölye çalışmasına dayanmaktadır . CRM Bildiriler Kitabı ve Ders Notları. 46 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . s. 209–216. ISBN'si 978-0-8218-4406-9. Zbl  1187.11024 .
• Kaç, Mark (1959). Olasılık, Analiz ve Sayılar Teorisinde İstatistiksel Bağımsızlık . John Wiley ve Oğulları, Inc.

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Erdős–Kac Teoremi" . Matematik Dünyası .
• Timothy Gowers: Matematiğin Önemi (bölüm 6, 4 dakika) ve (bölüm 7)