Eliptik kısmi diferansiyel denklem - Elliptic partial differential equation

İkinci dereceden doğrusal kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler), eliptik , hiperbolik veya parabolik olarak sınıflandırılır . İki değişkenli herhangi bir ikinci dereceden doğrusal PDE formda yazılabilir

burada A , B , C , D , E , F , ve G, fonksiyonlarıdır x ve y ve burada , ve benzer şekilde, için . Bu formda yazılan bir PDE, eğer

düzlemsel bir elipsin denkleminden esinlenen bu adlandırma kuralıyla .

Eliptik PDE yılların en basit nontrivial örnekleridir Laplace denklemi , ve Poisson denklemi , her zaman içine konabilir gibi bir anlamda, iki değişken başka eliptik PDE, bu denklemlerin birinin bir genelleme olarak kabul edilebilir kanonik biçim

değişkenlerin değişmesiyle.

Niteliksel davranış

Eliptik denklemlerin gerçek karakteristik eğrileri yoktur , eğriler boyunca Cauchy probleminin koşullarından en az bir saniye türevini ortadan kaldırmak mümkün değildir . Düzgün parametrelere sahip kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin süreksiz türevlere sahip olabileceği tek eğriler karakteristik eğriler olduğundan, eliptik denklem çözümlerinin hiçbir yerde süreksiz türevleri olamaz. Bu, eliptik denklemlerin, herhangi bir süreksizliğin zaten düzeltilmiş olduğu denge durumlarını tanımlamak için çok uygun olduğu anlamına gelir. Örneğin ısı denkleminden ayarlayarak Laplace denklemini elde edebiliriz . Bu, Laplace denkleminin ısı denkleminin sabit bir durumunu tanımladığı anlamına gelir.

Parabolik ve hiperbolik denklemlerde, özellikler, ilk verilerle ilgili bilgilerin hareket ettiği çizgileri tanımlar. Eliptik denklemlerin gerçek karakteristik eğrileri olmadığından, eliptik denklemler için anlamlı bir bilgi yayılma duygusu yoktur. Bu, eliptik denklemleri dinamik süreçlerden ziyade statik süreçleri tanımlamak için daha uygun hale getirir.

Kanonik formun türetilmesi

Eliptik denklemler için kanonik formu iki değişkenli türetiyoruz ,.

ve .

Eğer verir kez zincir kuralını uygulayarak,

ve ,

ikinci bir uygulama verir

ve

PDE'mizi x ve y'deki eşdeğer bir denklemle değiştirebiliriz ve

nerede

ve

PDE'mizi istenen kanonik forma dönüştürmek için, ararız ve öyle ki ve . Bu bize denklem sistemini verir

Birinciye ikinci denklemin çarpımını eklemek ve ayarlamak ikinci dereceden denklemi verir

Ayrımcı olduğundan , bu denklemin iki farklı çözümü vardır,

karmaşık eşlenikler olan. Her iki çözüm seçimi, biz çözebiliriz ve kurtarmak ve dönüşümler ile ve . Yana ve tatmin edecek ve bu yüzden bir x değişkenlerin değişiklik ve y ve PDE dönüştürecek

kanonik biçime

istediğiniz gibi.

Daha yüksek boyutlarda

N değişkenli genel bir ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem şekli alır

Bu denklem, karakteristik yüzeyler, yani Cauchy probleminin koşullarından en az bir ikinci u türevini ortadan kaldırmanın mümkün olmadığı yüzeyler yoksa eliptik olarak kabul edilir .

İki boyutlu durumun aksine, bu denklem genel olarak basit bir kanonik forma indirgenemez.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar