eliptik fonksiyon - Elliptic function

Karmaşık analizin matematiksel alanında eliptik fonksiyonlar , iki periyodiklik koşulunu karşılayan özel bir tür meromorfik fonksiyonlardır. Eliptik integrallerden geldikleri için eliptik fonksiyonlar olarak adlandırılırlar . Başlangıçta bu integraller bir elipsin yay uzunluğunun hesaplanmasında meydana geldi .

Önemli eliptik fonksiyonları Jacobi eliptik fonksiyonlar ve Weierstrass'ın taşımasının avantajlı${\görüntüleme stili \wp }$ .

Bu teorinin daha da geliştirilmesi hipereliptik fonksiyonlara ve modüler formlara yol açtı .

Tanım

Bir meromorfik işlevi iki varsa, eliptik bir fonksiyonu olarak adlandırılır - bağımsız lineer karmaşık sayılar bu şekilde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$ve .${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Dolayısıyla eliptik fonksiyonların iki periyodu vardır ve bu nedenle çift ​​periyodik olarak da adlandırılırlar .

Periyot kafesi ve temel etki alanı

Eğer periyotları olan bir eliptik fonksiyon ise, şunu da tutar: ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\görüntüleme stili f(z+\gamma )=f(z)}$

ile her doğrusal kombinasyon için . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

değişmeli grubu

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

periyot kafesi denir .

Paralelkenar tarafından üretilen ve${\görüntüleme stili \omega _{1}}$${\ Displaystyle \ omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

temel alan adı verilir .

Geometrik olarak karmaşık düzlem paralelkenarlarla döşenmiştir. Temel alanda olan her şey, diğer tüm alanlarda tekrarlanır. Bu nedenle, eliptik işlevi, bölüm gruplarının etki alanı olduğu işlevler olarak görebiliriz . Bu bölüm grubu, topolojik olarak bir torus olan karşıt tarafların tanımlandığı bir paralelkenar olarak görselleştirilebilir . ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Liouville teoremleri

Aşağıdaki üç teorem, Liouville teoremleri (1847) olarak bilinir .

1. teorem

Holomorfik bir eliptik fonksiyon sabittir.

Bu, Liouville teoreminin orijinal şeklidir ve ondan türetilebilir. Bir holomorfik eliptik fonksiyon, bütün değerlerini kompakt olan temel domen üzerinde aldığı için sınırlıdır. Yani Liouville teoremi tarafından sabittir.

2. teorem

Her eliptik fonksiyonun sonlu sayıda kutbu vardır ve kalıntılarının toplamı sıfırdır. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Bu teorem, temel etki alanında tam olarak bir dereceli bir kutup veya tam olarak bir derece bir sıfır ile sıfıra eşit olmayan hiçbir eliptik fonksiyonun olmadığını ima eder.

3. teorem

Sabit olmayan bir eliptik fonksiyon, çokluklu saymada her değeri aynı sayıda alır . ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Weierstrass -fonksiyonu${\görüntüleme stili \wp }$

En önemli eliptik fonksiyonlardan biri Weierstrass fonksiyonudur. Belirli bir periyot kafesi için şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili \wp }$${\ Displaystyle \ Lambda }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1 }{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sağ).}$

Her kafes noktasında iki mertebeden bir kutbu olacak şekilde inşa edilmiştir. Terim , seriyi yakınsak yapmak için vardır. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\görüntüleme stili \wp }$çift ​​eliptik bir fonksiyondur, yani . ${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

türevi

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

garip bir fonksiyondur, yani ${\görüntüleme stili \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Eliptik fonksiyonlar teorisinin ana sonuçlarından biri şudur: Verilen süre kafesine göre her eliptik fonksiyon açısından rasyonel bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir ve . ${\ Displaystyle \ Lambda }$${\görüntüleme stili \wp }$${\görüntüleme stili \wp '}$

Taşımasının avantajlı tatmin diferansiyel denklem${\görüntüleme stili \wp }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$

${\ Displaystyle g_{2}}$ve bağlı olan sabitlerdir . Daha doğrusu ve nerede ve sözde Eisenstein serileri . ${\ Displaystyle g_{3}}$${\ Displaystyle \ Lambda }$${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\görüntüleme stili G_{4}}$${\görüntüleme stili G_{6}}$

Cebirsel dilde: Eliptik fonksiyonların alanı alanla eşbiçimlidir

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

nerede İzomorfizma eşler için ve için .${\görüntüleme stili \wp }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \wp '}$${\görüntüleme stili Y}$

• 

  Weierstrass - periyot kafesli fonksiyon${\görüntüleme stili \wp }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$

• 

  -fonksiyonun türevi${\görüntüleme stili \wp }$

Eliptik İntegrallerle İlişkisi

Eliptik İntegrallerle olan ilişkinin temel olarak tarihsel bir arka planı vardır. Eliptik İntegraller , çalışmaları Niels Henrik Abel ve Carl Gustav Jacobi tarafından üstlenilen Legendre tarafından çalışılmıştı .

Abel , eliptik integral fonksiyonunun ters fonksiyonunu alarak eliptik fonksiyonları keşfetti.${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2 }t^{2})}}}}$

ile . ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Ek olarak işlevleri tanımladı

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

ve

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

Karmaşık düzleme devam edildikten sonra iki kat periyodik oldukları ortaya çıktı ve Abel eliptik fonksiyonları olarak bilinirler .

Jacobi eliptik fonksiyonlar benzer şekilde eliptik integrallerin ters fonksiyonları olarak elde edilir.

Jacobi integral fonksiyonunu düşündü

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2) })}}}}$

ve onu tersine çevirdi: . sinüs amplitudinis anlamına gelir ve yeni fonksiyonun adıdır. Daha sonra aşağıdaki gibi tanımlanan cosinus amplitudinis ve delta amplitudinis fonksiyonlarını tanıttı : ${\displaystyle x=\operatöradı {sn} (\xi )}$${\ Displaystyle \ operatör adı {sn} }$

${\displaystyle \operatöradı {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatöradı {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Jacobi, ancak bu adımı atarak, 1827'de eliptik integrallerin genel dönüşüm formülünü kanıtlayabildi.

Tarih

Sonsuz küçük hesabın geliştirilmesinden kısa bir süre sonra, eliptik fonksiyonlar teorisi, İtalyan matematikçi Giulio di Fagnano ve İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından başlatıldı . Bir lemniskatın yay uzunluğunu hesaplamaya çalıştıklarında, 3. ve 4. derece polinomların karekökünü içeren integralleri içeren problemlerle karşılaştılar. Fagnano, 1750'de yayınladığı eliptik integraller arasında cebirsel bir ilişki gözlemledi. Euler, Fagnano'nun sonuçlarını hemen genelleştirdi ve eliptik integraller için cebirsel toplama teoremini ortaya koydu.

Tarafından bir açıklama hariç Landen onun fikirleri 1786 yılına kadar takip değildi Legendre onun kağıt yayınlanan kavisler d'elips par Hatıratlardaki sur les entegrasyonları . Legendre daha sonra eliptik integralleri inceledi ve bunlara eliptik fonksiyonlar adını verdi . Legendre, o zamanlar oldukça karmaşık teorinin çok önemli bir basitleştirmesi olan üç katlı bir sınıflandırma - üç tür - tanıttı. Legendre'nin diğer önemli eserleri şunlardır: Mémoire sur les transcendantes eliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811–1817), Traité des fonctions eliptiques (1825–1832). Legendre'nin çalışmasına, 1826'ya kadar matematikçiler tarafından çoğunlukla dokunulmadı.

Daha sonra, Niels Henrik Abel ve Carl Gustav Jacobi soruşturmalara devam etti ve hızla yeni sonuçlar keşfetti. İlk başta eliptik integral fonksiyonunu tersine çevirdiler. Jacobi'nin 1829'daki önerisini takiben, bu ters fonksiyonlar artık eliptik fonksiyonlar olarak adlandırılıyor . Jacobi'nin en önemli eserlerinden biri , 1829'da yayınlanan Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum'dur. Euler'in bulduğu toplama teoremi, 1829'da Abel tarafından ortaya atılmış ve genel biçimiyle kanıtlanmıştır. periyodik fonksiyonlar farklı teoriler olarak kabul edildi. 1856'da Briout ve Bouquet tarafından bir araya getirildiler . Gauss , 30 yıl önce eliptik fonksiyonların birçok özelliğini keşfetti, ancak bu konuda hiçbir şey yayınlamadı.

Ayrıca bakınız

• eliptik integral
• Modüler grup
• Ramanujan teta işlevi

Referanslar

Edebiyat

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , der. (1983) [Haziran 1964]. "Bölüm 16" . Formüller, Grafikler ve Matematik Tabloları ile Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı . Uygulamalı Matematik Serisi. 55 (Düzeltmelerle birlikte onuncu orijinal baskının ek düzeltmeleriyle birlikte dokuzuncu baskı (Aralık 1972); ilk baskı). Washington DC; New York: Amerika Birleşik Devletleri Ticaret Bakanlığı, Ulusal Standartlar Bürosu; Dover Yayınları. s. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 . Ayrıca bkz . bölüm 18 . (yalnızca gerçek değişmezler durumunu dikkate alır).
• NI Akhiezer , Elements of the Theory of Eliptic Functions , (1970) Moskova, İngilizce'ye çevrildi AMS Translations of Mathematical Monographs Cilt 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Sayı Teorisinde Modüler Fonksiyonlar ve Dirichlet Serisi , Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN  0-387-97127-0 (Bkz. Bölüm 1.)
• ET Whittaker ve GN Watson . Modern bir analiz kursu , Cambridge University Press, 1952

Dış bağlantılar

• "Eliptik fonksiyon" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Abel'ın eliptik fonksiyonlarla ilgili makalesinin çevirisi.
• YouTube'da Eliptik Fonksiyonlar ve Eliptik İntegraller ,William A. Schwalm tarafından ders (4 saat)
• Johansson, Fredrik (2018). "Eliptik Fonksiyonların, Eliptik İntegrallerin ve Modüler Formların Sayısal Değerlendirilmesi". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].