Elektromanyetik dört potansiyel - Electromagnetic four-potential

Bir elektromanyetik dört potansiyel a, göreli vektör fonksiyonu olan elektromanyetik alan türetilebilir. Bir kaynaştıran elektrikli skaler potansiyeli ve manyetik vektör potansiyeli tek içine dört vektör .

Belirli bir referans çerçevesinde ve belirli bir ölçü için ölçüldüğü gibi , elektromanyetik dört potansiyelin ilk bileşeni geleneksel olarak elektrik skaler potansiyel olarak alınır ve diğer üç bileşen manyetik vektör potansiyelini oluşturur. Hem skaler hem de vektör potansiyeli çerçeveye bağlıyken, elektromanyetik dört potansiyel Lorentz kovaryantıdır .

Diğer potansiyeller gibi, birçok farklı elektromanyetik dört potansiyel, ayar seçimine bağlı olarak aynı elektromanyetik alana karşılık gelir.

Bu makale tensör indeks gösterimini ve Minkowski metrik işaret kuralını (+ − − −) kullanır . Notasyonla ilgili daha fazla ayrıntı için ayrıca vektörlerin kovaryansı ve kontravaryansı ve yükselme ve alçaltma endekslerine bakın. Formüller SI birimleri ve Gauss-cgs birimleri olarak verilmiştir .

Tanım

Elektromanyetik dört potansiyel olarak tanımlanabilir:

SI birimleri Gauss birimleri

ki burada φ olan elektrik potansiyeli ve bir olan manyetik potansiyel (bir vektör potansiyeli ). Birimleri A α olan V · s · m -1 SI ve Mx · cm -1 içinde Gauss-cgs .

Bu dört potansiyel ile ilişkili elektrik ve manyetik alanlar şunlardır:

SI birimleri Gauss birimleri

Gelen özel görelilik , elektrik ve manyetik alanlar altında dönüşümü Lorentz dönüşümleri . Bu bir tensör - elektromanyetik tensör şeklinde yazılabilir . Bu, elektromanyetik dört-potansiyel ve dört gradyan cinsinden şu şekilde yazılır :

Minkowski metriğinin imzasının (+ − − −) olduğunu varsayarsak . Söz konusu imza bunun yerine (- + + +) ise:

Bu, esasen dört potansiyeli fiziksel olarak gözlemlenebilir nicelikler açısından tanımlar ve yukarıdaki tanıma indirgenir.

Lorenz ölçeğinde

Çoğu zaman, bir eylemsiz referans çerçevesindeki Lorenz ayar koşulu , Maxwell denklemlerini şu şekilde basitleştirmek için kullanılır :

SI birimleri Gauss birimleri

burada J α dört akımın bileşenleridir ve

olduğu d'Alembertian operatörü. Skaler ve vektör potansiyelleri açısından, bu son denklem şöyle olur:

SI birimleri Gauss birimleri

Belirli bir yük ve akım dağılımı için, ρ ( r , t ) ve j ( r , t ) , bu denklemlerin SI birimleri cinsinden çözümleri:

nerede

olduğu özürlü zaman . Bu bazen şu şekilde de ifade edilir:

burada köşeli parantezler, zamanın geciktirilmiş zamanda değerlendirilmesi gerektiğini belirtmek içindir. Tabii ki, yukarıdaki denklemler basitçe homojen olmayan bir diferansiyel denklemin çözümü olduğundan, sınır koşullarını sağlamak için homojen denklemin herhangi bir çözümü bunlara eklenebilir . Genel olarak bu homojen çözümler, sınır dışındaki kaynaklardan yayılan dalgaları temsil eder.

Yukarıdaki integraller tipik durumlar için, örneğin bir salınım akımı (veya yük) için değerlendirildiğinde, bunların hem r −2'ye ( indüksiyon alanı ) göre değişen bir manyetik alan bileşeni hem de r −1 olarak azalan bir bileşen ( radyasyon alan ).

Ölçme özgürlüğü

Tüm düzleştirilmiş a -formu , A ile ayrıştırılabilir Hodge bozunma teoremi bir toplamı olarak tam bir coexact ve harmonik formda,

.

Orada göstergesi özgürlük içinde A bu ayrışma üç formların ki, sadece coexact formu üzerinde herhangi bir etkisi yoktur elektromanyetik tensör

.

Tam formlar, uygun bir etki alanı üzerindeki harmonik formlar gibi kapalıdır, bu nedenle ve , her zaman. Yani ne olursa olsun, ne ve biz sadece kalır edilir

.

Ayrıca bakınız

Referanslar