Doğrusal elastikiyet , katı nesnelerin öngörülen yükleme koşulları nedeniyle nasıl deforme olduğunu ve dahili olarak nasıl gerildiğini gösteren matematiksel bir modeldir. Daha genel doğrusal olmayan elastisite teorisinin basitleştirilmiş halidir ve sürekli ortamlar mekaniğinin bir dalıdır .
Doğrusal esnekliğin temel "doğrusallaştırma" varsayımları şunlardır: sonsuz küçük gerinimler veya "küçük" deformasyonlar (veya gerinimler) ve gerilim ve gerinim bileşenleri arasındaki doğrusal ilişkiler . Elastisite Lineer ek olarak sadece üretmek değil stres durumları için geçerlidir veren .
Bu varsayımlar, birçok mühendislik malzemesi ve mühendislik tasarım senaryosu için makuldür. Bu nedenle lineer elastikiyet, yapısal analiz ve mühendislik tasarımında, genellikle sonlu eleman analizi yardımıyla yaygın olarak kullanılmaktadır .
matematiksel formülasyon
Bir lineer elastik sınır değeri problemini yöneten denklemler , lineer momentum dengesi ve altı sonsuz küçük gerinim - yer değiştirme ilişkisi için üç tensör kısmi diferansiyel denklemine dayanmaktadır . Diferansiyel denklemler sistemi, bir dizi lineer cebirsel kurucu ilişki ile tamamlanır .
Doğrudan tensör formu
Koordinat sistemi seçiminden bağımsız olan doğrudan tensör formunda, bu yöneten denklemler şunlardır:
-
Bünye denklemleri . Elastik malzemeler için, Hooke yasası malzeme davranışını temsil eder ve bilinmeyen gerilmeler ve gerinimler arasında ilişki kurar. Hooke yasasının genel denklemi
burada bir Cauchy gerilme tensörü , bir sonsuz suşu tensörü, bir yer değiştirme vektörü , dördüncü dereceden olan sertlik tensör , birim hacim başına vücut kuvvet, kütle yoğunluğu, temsil nabla operatör , bir temsil devrik , temsil eder zamana göre ikinci türev ve iki ikinci dereceden tensörün iç çarpımıdır (tekrarlanan indekslerin toplamı ima edilir).
Kartezyen koordinat formu
- Not: Tekrarlanan indekslerde toplamanın Einstein toplama kuralı aşağıda kullanılmıştır.
Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemine göre bileşenler cinsinden ifade edildiğinde , lineer esnekliğin ana denklemleri şunlardır:
mühendislik gösterimi
|
|
- burada alt simgenin kısaltmasıdır ve 'yi belirtir , Cauchy stres tensörüdür, vücut kuvveti yoğunluğudur, kütle yoğunluğudur ve yer değiştirmedir.
- Bunlar, 6 bağımsız bilinmeyenli (gerilmeler) 3 bağımsız denklemdir.
mühendislik gösterimi
|
|
|
|
|
|
|
- gerginlik nerede . Bunlar, 9 bağımsız bilinmeyenli (gerilmeler ve yer değiştirmeler) gerinim ve yer değiştirmeleri ilişkilendiren 6 bağımsız denklemdir.
- sertlik tensörü nerede . Bunlar, gerilmeler ve gerinimler ile ilgili 6 bağımsız denklemdir. Gerilme ve gerinim tensörlerinin simetri gereksinimi, farklı elemanların sayısını 21'e indirerek, birçok elastik sabitin eşitliğine yol açar .
Bir izotropik-homojen ortam için bir elastostatik sınır değer problemi, 15 bağımsız denklem ve eşit sayıda bilinmeyenden oluşan bir sistemdir (3 denge denklemi, 6 gerinim-yer değiştirme denklemi ve 6 kurucu denklem). Sınır koşulları belirlenerek sınır değer problemi tam olarak tanımlanır. Sistemi çözmek için sınır değer probleminin sınır koşullarına göre iki yaklaşım alınabilir: bir yer değiştirme formülasyonu ve bir stres formülasyonu .
Silindirik koordinat formu
Silindirik koordinatlarda ( ) hareket denklemleri
Gerinim-yer değiştirme ilişkileri,
Yardımcı kanunlar endeksleri o hariç, kartezyen koordinatlar aynıdır , , şimdilik standı , , sırasıyla.
Küresel koordinat formu
Küresel koordinatlarda ( ) hareket denklemleri
Fizikte yaygın olarak kullanılan küresel koordinatlar ( r , θ , φ ) : radyal mesafe r , kutup açısı θ ( teta ) ve azimut açısı φ ( phi ). Genellikle r yerine ρ ( rho ) sembolü kullanılır .
Küresel koordinatlarda gerinim tensörü
(An)izotropik (in)homojen ortam
Olarak izotropik ortam, sertlik tensör stresleri (iç gerilimleri elde edilen) ve suşlar (deformasyonlar) arasındaki ilişkiyi verir. İzotropik bir ortam için, sertlik tensörünün tercih edilen bir yönü yoktur: uygulanan bir kuvvet, kuvvetin uygulandığı yön ne olursa olsun (kuvvetin yönüne göre) aynı yer değiştirmeleri verecektir. İzotropik durumda, sertlik tensörü şöyle yazılabilir:
burada bir Kronecker'in ö , K olan bulk modülü (ya da sıkıştırılamaz) ve bir kayma modülü (ya da sertliği), iki adet elastik modülü . Ortam homojen değilse, izotropik model, ortam parçalı sabitse veya zayıf bir şekilde homojen değilse; Güçlü homojen olmayan düz modelde, anizotropi hesaba katılmalıdır. Ortam homojen ise , elastik modül ortamdaki konumdan bağımsız olacaktır. Kurucu denklem şimdi şu şekilde yazılabilir:
Bu ifade, gerilimi solda skaler bir basınçla ilişkilendirilebilecek skaler bir parçaya ve sağda kesme kuvvetleriyle ilişkilendirilebilecek izsiz bir parçaya ayırır. Daha basit bir ifade:
burada λ, Lame'nin ilk parametresidir . Yapıcı denklem sadece bir dizi lineer denklem olduğundan, gerinim, gerilmelerin bir fonksiyonu olarak şu şekilde ifade edilebilir:
bu da solda skaler bir parça ve sağda izsiz bir kesme parçası. Daha basit:
nerede olduğunu Poisson oranı ve bir Young modülü .
Elastostatik
Elastostatik, elastik cisim üzerindeki tüm kuvvetlerin sıfıra eşit olduğu ve yer değiştirmelerin zamanın bir fonksiyonu olmadığı denge koşulları altında doğrusal elastikiyet çalışmasıdır. Denge denklemleri daha sonra
Mühendislik notasyonu (tau kayma gerilmesidir )
|
|
Bu bölümde sadece izotropik homojen durum tartışılacaktır.
yer değiştirme formülasyonu
Bu durumda, yer değiştirmeler sınırın her yerinde belirtilir. Bu yaklaşımda, şekil değiştirmeler ve gerilimler formülasyondan elimine edilir ve yer değiştirmeler, ana denklemlerde çözülmesi gereken bilinmeyenler olarak bırakılır. İlk olarak, gerinim-yer değiştirme denklemleri, kurucu denklemlere (Hooke Yasası) ikame edilir ve gerinimler bilinmeyenler olarak elimine edilir:
Farklılaşan (varsayılarak ve uzay sal olarak düzgün olan) dönüşleri:
Denge denkleminde yerine koymak şu sonuçları verir:
veya (çift (kukla) (=toplam) indeksleri j,j ile değiştirmek ve indeksleri, ij to, ji'den sonra, Schwarz' teoremi sayesinde değiştirmek )
Nerede ve Hangi Lamé parametreler . Bu şekilde, geriye kalan tek bilinmeyenler yer değiştirmelerdir, bu nedenle bu formülasyonun adı. Bu şekilde elde edilen ana denklemler , aşağıda verilen Navier-Cauchy denklemlerinin özel durumu olan elastostatik denklemler olarak adlandırılır .
Mühendislik gösteriminde Navier-Cauchy denklemlerinin türetilmesi
|
İlk olarak, -yön dikkate alınacaktır. Gerinim-yer değiştirme denklemlerini, elimizdeki yönde
denge denkleminde yerine koymak
Daha sonra bu denklemleri elimizdeki -yönünde denge denkleminde yerine koyarsak
ve sabit olduğu varsayımını kullanarak yeniden düzenleyebilir ve şunları elde edebiliriz:
-Yön ve yön için aynı prosedürü izleyerek
Bu son 3 denklem, vektör gösteriminde şu şekilde de ifade edilebilen Navier-Cauchy denklemleridir.
|
Yer değiştirme alanı hesaplandıktan sonra, yer değiştirmeler gerinimleri çözmek için gerinim-yer değiştirme denklemlerine dönüştürülebilir ve bunlar daha sonra gerilmeleri çözmek için yapısal denklemlerde kullanılır.
biharmonik denklem
Elastostatik denklem şu şekilde yazılabilir:
Elastostatik denklemin her iki tarafının diverjansını alarak ve vücut kuvvetlerinin sıfır diverjansa sahip olduğunu varsayarak (bölgede homojen) ( ) elde ederiz.
Toplanan endekslerin eşleşmesi gerekmediğine ve kısmi türevlerin yer değiştirdiğine dikkat edilerek, iki diferansiyel terimin aynı olduğu görülür ve elimizde:
buradan şu sonucu çıkarıyoruz:
Elastostatik denklemin her iki tarafının Laplacian'ını alarak ve ek olarak varsayarak ,
Diverjans denkleminden, soldaki ilk terim sıfırdır (Not: yine, toplam indekslerin eşleşmesi gerekmez) ve elimizde:
buradan şu sonucu çıkarıyoruz:
ya da, serbest gösterim koordinatı , sadece bir biharmonik denklem içinde .
stres formülasyonu
Bu durumda, yüzey çekişleri, yüzey sınırının her yerinde belirtilir. Bu yaklaşımda, gerilimler ana denklemlerde çözülecek bilinmeyenler olarak bırakılarak gerinimler ve yer değiştirmeler ortadan kaldırılır. Gerilme alanı bulunduktan sonra, yapısal denklemler kullanılarak suşlar bulunur.
Gerilme tensörünün belirlenmesi gereken altı bağımsız bileşeni vardır, ancak yer değiştirme formülasyonunda, yer değiştirme vektörünün belirlenmesi gereken yalnızca üç bileşeni vardır. Bu, serbestlik derecesi sayısını üçe indirgemek için gerilim tensörüne yerleştirilmesi gereken bazı kısıtlamalar olduğu anlamına gelir. Yapıcı denklemleri kullanarak, bu kısıtlamalar, aynı zamanda altı bağımsız bileşene sahip olan gerinim tensörü için tutması gereken ilgili kısıtlamalardan doğrudan türetilir. Gerinim tensörü üzerindeki kısıtlamalar, yer değiştirme vektörü alanının bir fonksiyonu olarak gerinim tensörünün tanımından doğrudan türetilebilir; bu, bu kısıtlamaların hiçbir yeni kavram veya bilgi getirmediği anlamına gelir. En kolay anlaşılan, gerinim tensörü üzerindeki kısıtlamalardır. Elastik ortam, gerilmemiş durumda sonsuz küçük küpler kümesi olarak görselleştirilirse, ortam gerildikten sonra, keyfi bir gerinim tensörü, çarpık küplerin hala örtüşmeden birbirine uyduğu bir durum vermelidir. Başka bir deyişle, belirli bir gerinim için, bu gerinim tensörünün türetilebileceği sürekli bir vektör alanı (yer değiştirme) mevcut olmalıdır. Durumun böyle olduğundan emin olmak için gerekli olan gerinim tensörü üzerindeki kısıtlamalar, Saint Venant tarafından keşfedilmiştir ve " Saint Venant uyumluluk denklemleri " olarak adlandırılmaktadır . Bunlar, farklı gerinim bileşenlerini ilişkilendiren, 6'sı önemsiz olmayan bağımsız denklemler olan 81 denklemdir. Bunlar indeks notasyonunda şu şekilde ifade edilir:
mühendislik gösterimi
|
|
Bu denklemdeki gerinimler daha sonra gerilme tensörü üzerinde karşılık gelen kısıtlamaları veren kurucu denklemler kullanılarak gerilmeler cinsinden ifade edilir. Gerilme tensörü üzerindeki bu kısıtlamalar, Beltrami-Michell uyumluluk denklemleri olarak bilinir :
Vücut kuvvetinin homojen olduğu özel durumda, yukarıdaki denklemler
Bu durumda uyumluluk için gerekli, ancak yetersiz bir koşul veya .
Bu kısıtlamalar, denge denklemi (veya elastodinamik için hareket denklemi) ile birlikte stres tensör alanının hesaplanmasına izin verir. Gerilme alanı bu denklemlerden hesaplandıktan sonra, şekil değiştirmeler kurucu denklemlerden ve yer değiştirme alanı şekil değiştirme-yer değiştirme denklemlerinden elde edilebilir.
Alternatif bir çözüm tekniği, denge denklemine otomatik olarak bir çözüm veren stres fonksiyonları cinsinden stres tensörünü ifade etmektir . Gerilim fonksiyonları daha sonra uyumluluk denklemlerine karşılık gelen tek bir diferansiyel denkleme uyar.
Elastostatik durumlar için çözümler
Thomson'ın çözümü - sonsuz izotropik bir ortamda noktasal kuvvet
|
Navier-Cauchy veya elastostatik denklemin en önemli çözümü, sonsuz izotropik ortamda bir noktaya etki eden bir kuvvetin çözümüdür. Bu çözüm William Thomson (daha sonra Lord Kelvin) tarafından 1848'de (Thomson 1848) bulundu. Bu çözüm benzeşir Coulomb yasası içinde elektrostatikte . Landau & Lifshitz'de bir türetme verilmiştir. Tanımlama
Poisson oranı nerede , çözüm şu şekilde ifade edilebilir:
noktada uygulanan kuvvet vektörü nerede ve Kartezyen koordinatlarda şu şekilde yazılabilen bir tensör Green fonksiyonudur :
Ayrıca kompakt olarak şu şekilde yazılabilir:
ve açıkça şu şekilde yazılabilir:
Silindirik koordinatlarda ( ) şu şekilde yazılabilir:
burada r, noktaya olan toplam mesafedir.
Z ekseni boyunca yönlendirilen bir nokta kuvveti için yer değiştirmeyi silindirik koordinatlarda yazmak özellikle yararlıdır . Tanımlama ve birim vektör olarak ve yön, sırasıyla verim:
Elektrostatikteki potansiyelde olduğu gibi, büyük r için 1/r olarak azalan kuvvet yönündeki yer değiştirmenin bir bileşeni olduğu görülebilir. Ayrıca ρ-yönelimli bir bileşen daha vardır.
|
Boussinesq–Cerruti çözümü - sonsuz izotropik yarı uzayın orijinindeki nokta kuvveti
|
Bir başka yararlı çözüm, sonsuz bir yarı uzayın yüzeyine etki eden noktasal bir kuvvettir. Normal kuvvet için Boussinesq ve teğet kuvvet için Cerruti tarafından türetilmiştir ve Landau & Lifshitz'de bir türetme verilmiştir. Bu durumda, çözüm yine sonsuzda sıfıra giden bir Green tensörü ve bileşeni olarak yazılır. yüzeye dik gerilme tensörü kaybolur. Bu çözüm Kartezyen koordinatlarda [not: a=(1-2ν) ve b=2(1-ν), ν== Poissons oranı] olarak yazılabilir:
|
Diğer çözümler:
- Sonsuz izotropik yarı uzayda noktasal kuvvet.
- İzotropik bir yarı uzayın yüzeyinde noktasal kuvvet.
- İki elastik cismin teması: Hertz çözümü ( Matlab koduna bakınız ). Ayrıca İletişim mekaniği sayfasına da bakın .
Yer değiştirmeler açısından elastodinamik
Elastodinamik, elastik dalgaların incelenmesidir ve zaman içinde değişkenlik gösteren doğrusal esnekliği içerir. Bir elastik dalga türüdür mekanik dalga elastik veya yayılır viskoelastik malzemelerin. Malzemenin esnekliği , dalganın geri yükleme gücünü sağlar . Bir deprem veya başka bir rahatsızlık sonucu Dünya'da meydana geldiklerinde , elastik dalgalara genellikle sismik dalgalar denir .
Doğrusal momentum denklemi, ek bir atalet terimiyle basitçe denge denklemidir:
Malzeme, anizotropik Hooke yasası tarafından yönetiliyorsa (sertlik tensörü malzeme boyunca homojendir), elastodinamiğin yer değiştirme denklemi elde edilir :
Malzeme izotropik ve homojen ise Navier-Cauchy denklemi elde edilir :
Elastodinamik dalga denklemi şu şekilde de ifade edilebilir:
nerede
bir akustik diferansiyel operatör ve bir Kronecker'in ö .
Olarak izotropik ortam, sertlik tensör formu vardır
burada
bir hacim modülü (ya da sıkıştırılamazlık) ve
bir kayma modülü (ya da sertliği), iki adet elastik modülü . Malzeme homojen ise (yani, sertlik tensörü malzeme boyunca sabitse), akustik operatör şöyle olur:
İçin düzlem dalgaların , yukarıda diferansiyel operatör olur akustik cebirsel operatörü :
nerede
olan özdeğerler arasında olan özvektörler paralel ve yayılma yönüne ortogonal sırasıyla. İlişkili dalgalara boyuna ve kayma elastik dalgaları denir . Sismolojik literatürde, karşılık gelen düzlem dalgalara P-dalgaları ve S-dalgaları denir (bkz. Sismik dalga ).
Gerilimler açısından elastodinamik
Ana denklemlerden yer değiştirmelerin ve gerinimlerin ortadan kaldırılması, elastodinamiğin Ignaczak denklemine yol açar
Yerel izotropi durumunda, bu azalır
Bu formülasyonun temel özellikleri şunları içerir: (1) uyum gradyanlarını önler ancak kütle yoğunluğu gradyanlarını ortaya çıkarır; (2) bir varyasyon ilkesinden türetilebilir; (3) çekiş başlangıç-sınır değeri problemlerini ele almak için avantajlıdır, (4) elastik dalgaların tensörel bir sınıflandırmasına izin verir, (5) elastik dalga yayılım problemlerinde bir dizi uygulama sunar; (6), doğrusal olmayan ortamların yanı sıra, çeşitli türlerde (termoelastik, sıvı-doymuş gözenekli, piezoelektro-elastik...) etkileşen alanlarla klasik veya mikropolar katıların dinamiğine genişletilebilir.
Anizotropik homojen ortam
Anizotropik ortam için sertlik tensörü daha karmaşıktır. Gerilim tensörünün simetrisi , en fazla 6 farklı gerilim unsuru olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, gerinim tensörünün en fazla 6 farklı elemanı vardır . Dolayısıyla dördüncü dereceden sertlik tensörü bir matris (ikinci dereceden bir tensör) olarak yazılabilir . Voigt notasyonu , tensör indeksleri için standart eşlemedir,
Bu gösterimle, herhangi bir doğrusal elastik ortam için esneklik matrisi şu şekilde yazılabilir:
Gösterildiği gibi, matris simetriktir, bu, 'yi karşılayan bir gerinim enerji yoğunluğu fonksiyonunun varlığının bir sonucudur . Bu nedenle, en fazla 21 farklı öğesi vardır .
İzotropik özel durum 2 bağımsız öğeye sahiptir:
En basit anizotropik durum, kübik simetrinin 3 bağımsız elemanı vardır:
Kutup anizotropi olarak da adlandırılan enine izotropi durumu ( tek bir eksen (3 eksenli simetri) ile) 5 bağımsız öğeye sahiptir:
Enine izotropi zayıf olduğunda (yani izotropiye yakın), dalga hızları için formüller için Thomsen parametrelerini kullanan alternatif bir parametreleştirme uygundur.
Ortotropi durumu (bir tuğlanın simetrisi) 9 bağımsız elemana sahiptir:
elastodinamik
Anizotropik ortam için elastodinamik dalga denklemi şu şekilde ifade edilebilir:
nerede
bir akustik diferansiyel operatör ve bir Kronecker'in ö .
Düzlem dalgalar ve Christoffel denklemi
Bir düzlem dalga formuna sahiptir
ile birim uzunluğu. Bu, ancak ve ancak, eğer, zorlama sıfır dalga denkleminin bir çözeltidir
ve bir özdeğer / özvektör çifti oluşturan
akustik cebirsel operatör
Bu yayılma koşulu ( Christoffel denklemi olarak da bilinir ) şu şekilde yazılabilir:
burada
yayılma yönünü belirtir ve faz hızıdır.
Ayrıca bakınız
Referanslar