Dualite (düzen teorisi) - Duality (order theory)

Olarak matematiksel alan düzeni teorisi , her kısmi sıralı grubu P , bir yol açan iki (ya da tam tersi ) çoğu zaman ile gösterilir kısmi sıralı bir dizi P ^op veya P ^d . Bu ikili sıralı P ^op aynı küme olarak tanımlanır, ancak ters sıra ile , yani x ≤ y , P ^op içinde geçerlidir, ancak ve ancak y ≤ x P içinde geçerliyse . Çevirme ile tasvir edilebilir, bu yapım, görmek kolaydır Hasse diyagramı için P ters gerçekten kısmen sıralı bir dizi üretecektir. Daha geniş anlamda, kısmen sıralı iki küme, ikili olarak eşbiçimliyse , yani bir pozt diğerinin ikilisine göre sıra eşbiçimliyse , ikili kümeler olarak da söylenir .

Bu basit tanımın önemi, düzen teorisinin her tanımının ve teoreminin kolaylıkla ikili düzene aktarılabilmesinden kaynaklanmaktadır. Resmi olarak, bu, sıralı kümeler için Dualite İlkesi tarafından yakalanır :

Verilen bir ifade tüm kısmen sıralı kümeler için geçerliyse, tüm sıra ilişkilerinin yönünün tersine çevrilmesi ve ilgili tüm sıralı teorik tanımların ikilileştirilmesiyle elde edilen ikili ifadesi de tüm kısmen sıralı kümeler için geçerlidir.

Bir ifade veya tanım, dualine eşdeğerse, o zaman self-dual olduğu söylenir . İkili mertebelerin dikkate alınmasının o kadar temel olduğuna dikkat edin ki, bu "yeni" sembolün önceden herhangi bir tanımını vermeden ≤ ikili mertebesi için ≥ yazarken genellikle örtük olarak ortaya çıkar.

Örnekler

Sınırlı bir dağıtım kafesi ve onun ikili

Doğal olarak, ikili kavramlar için çok sayıda örnek vardır:

• En büyük elementler ve en küçük elementler
• Maksimal elemanlar ve minimal elemanlar
• En küçük üst sınırlar (suprema, ∨) ve en büyük alt sınırlar (infima, ∧)
• Üst takımlar ve alt takımlar
• İdealler ve filtreler
• Kapatma operatörleri ve çekirdek operatörleri .

Kendinden çift olan kavramların örnekleri şunları içerir:

• ( Tam ) bir kafes olmak
• Fonksiyonların monotonluğu
• Kafeslerin dağılımı , yani ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )'nin sahip olduğu kafesler , tam olarak ∀ x , y , z ikili ifadesinin sahip olduğu kafeslerdir . : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) tutar
• Boole cebiri olmak
• Sıralı izomorfizm olmak .

Kısmi mertebeler antisimetrik olduğundan, öz-dual olan sadece denklik bağıntılarıdır .

Ayrıca bakınız

• ters ilişki
• Boole cebri konularının listesi
• Grafiği devrik
• Kategori teorisindeki dualite, ki bunun özel bir durumu sıra teorisindeki dualitedir

Referanslar

• Davey, BA; Priestley, HA (2002), Kafeslere ve Düzene Giriş (2. baskı), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1