Çift üstel fonksiyon - Double exponential function

Tek bir üstel işleve (mavi eğri) kıyasla bir çift üstel işlev (kırmızı eğri).

Bir çift üstel fonksiyon olan sabit bir gücü yükseltilmiş üstel fonksiyon . Genel formül ( a >1 ve b >1) şeklindedir ve üstel bir fonksiyondan çok daha hızlı büyür. Örneğin, a = b = 10 ise: ${\displaystyle f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}}$

• f (0) = 10
• f (1) = 10 ¹⁰
• f (2) = 10 ¹⁰⁰ = googol
• f (3) = 10 ¹⁰⁰⁰
• f (100) = 10 ^{10 100} = googolplex .

Faktöriyeller , üstel işlevlerden daha hızlı büyür, ancak iki kat üstel işlevlerden çok daha yavaş büyür. Ancak, tetratasyon ve Ackermann işlevi daha hızlı büyür. Çeşitli fonksiyonların büyüme oranlarının karşılaştırılması için Big O notasyonuna bakın .

Çift üstel fonksiyonun tersi, çift ​​logaritma ln(ln( x )).

çift ​​üstel diziler

Pozitif tamsayılar (ya da gerçek sayılar) ihtiva eden bir dizi olduğu söylenmektedir büyüme iki kat eksponansiyel oranını veren fonksiyonu ise n dizisinin inci terimi bir çift üstel fonksiyon yukarıda ve aşağıda sınırlanan n . Örnekler şunları içerir:

• Fermat sayılar
  $${\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1}$$

  
• Harmonik asal: asal s , ki burada dizi 1/2 + ⋯ + 1 / 1/3 + 1/5 + 1/7 p 0 aşan, 1, 2, 3, ...
  0'dan başlayarak ilk birkaç numaraları, 2, 5, 277, 5195977 vardır ... (sekans A016088 içinde OEIS )
• Çift Mersenne sayıları
  $${\displaystyle MM(p)=2^{2^{p}-1}-1}$$

  
• Unsurları Sylvester sekans (dizi A000058 içinde OEIS )
  $${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$$

  
  burada D ≈ 1,264084735305302 olan Vardi sabiti (dizi A076393 olarak OEIS ).
• Sayısı k -ary Boole fonksiyonları :
  $${\ Displaystyle 2^{2^{k}}}$$

  
• Asal sayılar 2, 11, 1361, ... (sekans A051254 içinde OEIS )
  $${\displaystyle a(n)=\sol\lkat A^{3^{n}}\sağ\rkat }$$

  
  burada A ≈ 1.306377883863 Mills sabitidir .

Aho ve Sloane , birkaç önemli tamsayı dizisinde , her terimin bir sabit artı önceki terimin karesi olduğunu gözlemledi . Bu tür dizilerin, orta üs 2 olan bir çift üstel fonksiyonun değerlerinin en yakın tam sayıya yuvarlanmasıyla oluşturulabileceğini gösteriyorlar. .

Uygulamalar

algoritmik karmaşıklık

Gelen hesaplama karmaşıklığı teorisi , bazı algoritmalar iki kat üstel zaman alır:

• Presburger aritmetiği için her karar prosedürü kanıtlanabilir şekilde en az iki kat üstel zaman gerektirir
• Bir Bilgisayar Gröbner temelini bir alanın üzerine. En kötü durumda, bir Gröbner temeli, değişken sayısında iki kat üstel olan bir dizi öğeye sahip olabilir. Öte yandan, Gröbner tabanlı algoritmaların en kötü durum karmaşıklığı , giriş boyutunda olduğu kadar değişken sayısında da iki kat üsteldir.
• Birleştirici-değişmeli birleştiricilerin eksiksiz bir setini bulma
• Tatmin edici CTL ⁺ (aslında 2-EXPTIME -tamamlandı )
• Miktar belirleyici eleme üzerinde gerçek kapalı alanların iki kat üstel zaman (bkz alır Silindirik cebirsel ayrışma ).
• Hesaplanması tamamlayıcı a düzenli ifade

Algoritmaların tasarımı ve analizindeki diğer bazı problemlerde, bir algoritmanın analizinden ziyade tasarımında çift üstel diziler kullanılır. Bir örnek, Chan'ın dışbükey gövdeleri hesaplama algoritmasıdır ; bu algoritma , h _i  = 2 ^{2 i} (nihai çıktı boyutu için tahminler) test değerlerini kullanarak bir dizi hesaplama gerçekleştirir ve dizideki her test değeri için O( n  log  h _i ) zaman alır. . Bu test değerlerinin çift üstel büyümesi nedeniyle, dizideki her hesaplamanın süresi, i'nin bir fonksiyonu olarak tek başına üstel olarak büyür ve toplam süreye dizinin son adımının zamanı hakimdir. Bu nedenle, algoritmanın toplam süresi O( n  log  h )'dir, burada h gerçek çıktı boyutudur.

Sayı teorisi

Bazı sayı teorik sınırları çift üsteldir. Tek mükemmel sayılar ile n farklı asal faktörlerin en fazla olduğu bilinen

${\ Displaystyle 2^{4^{n}}}$

Nielsen'in (2003) bir sonucudur. Maksimal hacmi d -lattice politop ile k ≥ 1 iç örgü noktaları en olduğu

${\displaystyle (8d)^{d}\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}}}$

Pikhurko'nun bir sonucu.

Bilinen en büyük asal sayı beri elektronik çağda yılın çifte üstel fonksiyonu olarak kabaca büyüdü Miller ve Wheeler üzerinde 79 basamaklı asal bulundu EDSAC 1951 yılında 1.

teorik biyoloji

Gelen nüfus dinamikleri insan nüfusunun artışı bazen çift üstel olması gerekiyordu. Varfolomeyev ve Gurevich deneysel olarak uyuyor

${\displaystyle N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,}$

nerede N ( y ) yıl içinde milyonlarca nüfusu y .

Fizik

Gelen Toda osilatör modeline kendini nabız , genlik logaritması, böylece genlik zaman iki kat üstel fonksiyonu olarak değişir, (büyük amplitüdler için) zamanla katlanarak değişir.

Dendritik makromoleküllerin iki kat üstel bir şekilde büyüdüğü gözlemlenmiştir.

Referanslar